recurr

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ЗАДАННЫЕ РЕКУРРЕНТНО (П.В. Семенов, для школы в «Менделеево», 20 октября)
Один из способов задать числовую последовательность таков: надо указать, чему равны несколько первых, подряд
идущих членов последовательности, а затем рассказать, как каждый последующий член последовательности получается из
предыдущих членов. Первая и основная проблема при таком рекуррентном задании последовательности состоит в том, чтобы
найти явную формулу, которая позволит найти
n  й член последовательности a
n
n . Некоторые простейшие
по его номеру
случаи известны по школьному курсу «Алгебра 9».
Пример 1.
f ( x)  x  d .
Пример 2.
f ( x)  qx .
Пример 3.
Если
an 1  f (an ) , то an  a1  (n  1)d - арифметическая прогрессия.
an 1  f (an ) , то an  q n 1a1 - геометрическая прогрессия.
(Рекуррентность 2-го порядка) f ( x, y )  x  y , a  a  1 , a
 f (an , an 1) . Найти an  ?
1
2
n2
Если
Получаются числа Фибоначчи, а ответ (формула Бине) достаточно сложен.
Задача 1. Найти
б)
a
n
, если известно, что:
а)
f ( x)  2 x  3, a1  2004, an 1  f (an ) ;
f ( x)  2 x  3, a1  4, an 1  f (an ) ;
в)
f ( x)  Ax  B, a1  a, an 1  f (an ) .
f ( x)  x , т.е. найти неподвижную точку.)
(После решения: самое главное – решить уравнение
Задача 2. Над цепью озер летела цепь гусей. На первом озере села половина всех гусей и еще полгуся. На втором села
половина пролетевших и еще полгуся. И так далее. На семи озерах сели все гуси. Сколько гусей летело?
Решение. К
n -ному озеру подлетело a


n


an 1  an  0,5an  0,5  0,5(an  1) .
гусей. Тогда
7
a8  0 , то 0  1  a1  1 0,57 . Откуда a1  2  1  127 .
Так как
Ответ: 127.
Мы займемся рекуррентностями 1-го порядка, которые заданы не линейными, как в задаче 1, но дробно-линейными
функциями. Итак, вот основная задача.
f ( x) 
Известно, что
Ax  B
, C0и a
 f (an ) . Выразить a
n 1
n
Cx  D
Задача 3. (вспомогательная) а) Дробно-линейная функция
f
Дробно-линейная функция
f
n
и
a
1
.
однозначно задается своими значениями в трех любых точках. б)
сохраняет сложное отношение четырех точек
ac ad
). в) Наоборот, если f
:
bc bd
дробно-линейна. г) Неподвижные точки f ?
(Определение:
через
[a : b : c : d ] 
[ f ( x) : f ( y) : f ( z ) : f (t )]  [ x : y : z : t ] .
сохраняет сложное отношение четырех точек, то
f
Рассмотрим конкретный пример.
Задача 4. Дано, что
a n 1 
возрастает и стремится к
Тогда
a
n
1 . в)
2
3  an
Пусть
a1  a  (1;2) . Тогда a
не монотонна, но все равно стремится к
Задача 5 (продолжение 3). а) Сравнить
отношение
1.
an 1  1
[an 1 : an :1 : 2] . г) Вывести формулу
Задача 6. а) Выразить
a
n
Определение. Уравнение
Задача 7. Пусть
через

1 и  2
a1  1 или a1  2 ?
. а) Что получится, если
n , если a1  7
A  B
C  D
и
n
б) Пусть
a  0,5 . Тогда a
1
убывает и стремится к 1 . г) Пусть
n
a  a  (2,) .
1
(Можно и по графику)
и
an  1 . б)
Сравнить
n –го члена (=выразить
a n 1 
6
5  an
an 1  2
a
n
через
. б) Найти
n
и
an  2 . в) Вычислить сложное
и
a
1
.) д) Найти
lim n  an .
lim n  an .
называется характеристическим.
- корни характеристического уравнения. а) Сравнить
an 1  1
и
an  1 . б)
Сравнить
an 1  2
(=выразить
an  2 . в) Вычислить
a через n и a1 .)
и
сложное отношение
[an 1 : an : 1 : 2 ] . г) Вывести
2
формулу n –го члена
n
Неприятность состоит в том, что корни характеристического уравнения могут быть комплексными. Впрочем, тогда
сложное отношение вычисляется в комплексных числах. Удивительно, но ответ все равно получится действительным(?). По
этой причине дробно-линейной рекуррентности иногда приводят к периодическим последовательностям.
Задача 8. Пусть
a  0,5
1
и
a n 1  
1
.
1  an
а) Вывести формулу n –го члена. б)
Доказать периодичность этой
последовательности. в) Докажите, что дробно-линейная рекуррентность периодична, если корни характеристического
уравнения являются корнями из единицы.
Иногда дробно-линейные рекуррентности можно свести к арифметико-геометрическим прогрессиям, см. задача 1.
Задача 9.
bn  1/ an .
последовательности
an 1 
an 1 
а) Для рекуррентности
an
3an  1
, a1  2 .
Aa n
Can  D
n  ного
б). Найти формулу
(Ответ
an 
, an  0
вывести формулу
n  го
члена, перейдя к
члена последовательности, заданной рекуррентно:
2
)
6n  5
Задача 10 (отклонение от дробно-линейности, но идея – переход к обратному). Найти формулу n-ного члена
последовательности, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему гармоническому двух предыдущих членов и
a  a, a b.
1
(Ответ
2
an 
ab
a  nb  a 
)
Задача 11 . Всесоюзная олимп. (1985)
Решите уравнение
Прибавив к обеим частям уравнения 2, получим, что левая часть будет
x
1
x
2
x

2
2
начальным
x
1 1 x
an 1  2 
записана в виде рекуррентного соотношения вида
условием
a 1 1 x .
1
Характеристическое
x
an
с
уравнение
2  2    x  0 , одним из корней будет   1  1  x . Следовательно,
данная
.
последовательность
постоянна.
Поэтому,
получим
уравнение
1  1  x  3 . Откуда x  3 .
Задача 12. Найти общее сопротивления электрической цепи, составленной из
показано на рисунке (сопротивление каждого резистора R  1):
n
одинаковых участков, расположенных так, как
n  цепи:
u 2n 1
,
Rn 
u
Для сопротивления
R n 1  1 
1
1
1
R
и
Rn 1  1 
Rn
1  Rn
 2
1
3  Rn  2
n
u n  числа Фибоначчи. В частности, lim R 
n
n
5 1
.
2

 . Если R1  2 , то
2n
где