Различные способы решения алгебраических уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа п. Лиан
Хурмулинского сельского поселения
Солнечного муниципального района
Хабаровского края
Различные способы решения
алгебраических уравнений
Выполнил: ученик 9 класса
Шаповал Артём Витальевич
Руководитель: Погорелова
Надежда Васильевна,
учитель математики
п. Лиан
2010 г.
Содержание
I. Вступление ………………………………………………………..3стр.
II. Основная часть……………………………………………
3-10стр.
1. Полиномиальные уравнения …………………………….. 4-7 стр.
1.1 Решение уравнения с помощью деления многочленов…. 4-5стр.
1.2 Решение возвратного уравнения………………………… 5-6 стр.
1.3 Решение уравнения с помощью выделения степени…… 6 стр.
1.4 Решение уравнения путём введения новой переменной ..6-7 стр.
1.5 Решение уравнения с использованием однородности…….7 стр.
2. Дробно-рациональные уравнения……………………………7-9стр.
2.1 Решение уравнения с помощью выделения целой части...7-8 стр.
2.2 Решение уравнений с помощью формул………………….8-9 стр.
2.3 Решение уравнения путём делением числителя и знаменателя
на одно и то же выражение ……………………………….. 9 стр.
3.Иррациональные уравнения……………………………… 9-10 стр.
3.1 Решение уравнения с помощью возведения обеих частей в
квадрат …………………………………………………. 9-10 стр.
III. Заключение………………………………………………………11 стр.
IV. Библиография ……………………………………………….......12 стр.
V. Приложение……………………………………………………… 13 стр.
Вступление
Значительное место в школьном курсе математики средней школы
занимают
уравнения.
Изучаются
линейные,
квадратные,
кубические,
логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения.
Я решил в своей работе отразить решение алгебраических уравнений,
потому что при проведении анкеты среди учащихся 9-11 классов только 2
уравнения из 10 предложенных учащиеся взялись решать. Это составляет
Кроме того, в школьном курсе математики многие виды уравнений не
рассматриваются, а при сдаче экзаменов они могут пригодиться. И
после
окончания школы я хочу стать военнослужащим, а для поступления мне
понадобится математика.
Поэтому я решил написать исследовательскую работу на тему
«Различные способы решения алгебраических уравнений».
Цель работы: научиться решать некоторые виды полиномиальных,
дробно-рациональных, иррациональных уравнений.
Задачи:
1) изучить литературу по выбранной теме;
2) рассмотреть
решение
алгебраических
уравнений
различными
способами;
3) выявить самые чаще всего встречающиеся в математике уравнения и
распространённые способы решения уравнений.
При выполнении работы я обращался к «Сборнику задач по математике»
Сканави М.И. Из главы II «Алгебраические уравнения» я выбрал образцы
полиномиальных, дробно-рациональных и рациональных уравнений. А затем
по образцу решил некоторые из них. А также я использовал «Задачи по
алгебре и началам анализа для 10-11 классов» С. М. Саакяна, главу IV, где
приведено множество иррациональных уравнений. В
«Сборнике задач по
алгебре 8-9» М.Л.Галицкого в §9 «Уравнения и системы уравнений» я нашёл
интересующие меня уравнения. Некоторые их них я привёл в своей работе.
Основная часть
1. Полиномиальные уравнения
Полиномиальные уравнения вида Pn(x) = 0, где Pn(x) — многочлен n-й
степени относительно x.
1.1. Решение уравнения с помощью деления многочленов
Пример 1. Решить уравнение 30x4 + x3 – 30x2 + 3x + 4 = 0.
Составим различные несократимые дроби, числители которых — делители
свободного члена, т.е. 4, а знаменатели — делители старшего коэффициента,
т.е. 30.
В левом столбике в знаменателях участвуют все делители числа 30.
Видно, что – 1 — корень многочлена. По следствию из теоремы Безу делим
многочлен на (x + 1)
Для
поиска
корней
таблицей дробей. При
Значит,
многочлена
30x3 – 29x2 – x + 4
многочлен примет вид
корень многочлена.
Решим уравнение 30
Ответ:
– 14
– 8 = 0 и получим корни
.
1.2. Решение возвратного уравнения
Пример 2. Решить уравнение 2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.
Разделим на x2, получим
Уравнение примет вид:
,
,
воспользуемся
t= .
=- ,
.
Ответ:
.
1.3. Решение уравнений с помощью выделения степени
П р им е р 3 .
x 3  3x 2  3x 
1
,
3
x  13  4 ,
3
x 1  3
x
3
4
,
3
36
 1.
3
 3 36  3 
.
 3 
Ответ: 
П р им е р 4 .
x4 – 2x2 – 400x = 9999,
x4 + 2x2 – 4x2 – 400x = 1002 –1,
x4 + 2x2 + 1 = 4x2 + 400x + 1002,
(x2 + 1)2 = (2x + 100)2,
x2 + 1 = – (2x + 100),
x2 + 2x + 101 = 0,
x2 + 1 = 2x + 100,
x2 – 2x – 99 = 0,
;
x = 11; – 9 .
Ответ: { – 9; 11 }.
1.4. Решение уравнения путём введения новой переменной
П р и ме р 5 .
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) – 24 = 0,
(x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) – 24 = 0,
Замена: x2 + 5x + 5 = t,
(t – 1) (t + 1) – 24 = 0,
t2 = 25,
t =  5,
x2 + 5x + 5 = – 5,
x2 + 5x + 5 = – 5.
.
x = 0; – 5 .
Ответ: { 0; – 5 }.
1.5. Решение уравнения с использованием однородности
П р им е р 6 .
(x2 – 5x + 1) (x2 – 4) = 6(x – 1)2
(x2 – 4 – 5x + 5) (x2 – 4) – 6(x – 1)2 = 0
Разделим почленно на (x – 1)2, т.к. x = 1 не является корнем уравнения.
2
 x2  4 
x2  4

 5
6  0
 x 1 
x

1


Замена
x2  4
t,
x 1
t2 – 5t – 6 = 0, t = – 1; 6.
Вернёмся к замене:
= -1,
x2 + x – 5 = 0,
x
  1  21

;3  7
2


Ответ: 
 1  21
;
2
x2 – 6x + 2 = 0,
x  3 7 .
2. Дробно-рациональные уравнения
2.1. Решение уравнения с помощью выделения целой части
П р им е р 7 .
x  4 x  4 x 8 x 8



6.
x 1 x 1 x  2 x  2
Запишем уравнение в виде
1
5
5
10
10
1
 1
1
6,
x 1
x 1
x2
x2
5
5
10
10



6,
x 1 x  1 x  2 x  2
10
x 1
2

40
x 4
2
 6 , замена x2 – 4 = t,
5
20

3  0,
t 3 t
5t  20t  60  3t 2  9t  0

t  3; 0
3t 2  24t  60  0

t  3; 0
t 2  8t  20  0

t  3; 0
Ответ: уравнение не имеет действительных корней.
2.2. Решение уравнений с помощью формул
2
2
x 1  x 1 
40
П р им е р 8 . 
.
 
 
 x 
 x2
9
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab (*)
Используем формулу (*), тогда уравнение перепишется в виде
2
x  1 x  1 40
 x 1 x 1 



,

 2
x2
x x2 9
 x
2
 x 2  3x  2  x 2  x 
( x  1) 2 40

 2

,


x( x  2)
x( x  2) 9


2
 2 x2  4 x  2 
( x  1) 2 40

 2

,
 x( x  2) 
x( x  2) 9


2
 ( x  1) 2 
( x  1) 2 40
 2
4

,

x
(
x

2
)
x
(
x

2
)
9


20
2
2t  t 
 0,
9
замена
( x  1) 2
t
x ( x  2)

9  1521
,
36
5
t1   ,
6
t
t2 
4
.
3
- 2 x = z,
z 1
5
 ,
z
6
z
z 1 4
 ,
z
3
6
,
11
z = 3,
Вернёмся к замене x 2  2 x  
2
x – 2x = 3
6
,
11
x = – 1; 311 55
x
11
x2 – 2x = 3,
;
x = -1;3.
11  55

;  1; 3
 11

Ответ: 
2.3. Решение уравнения путём делением числителя и знаменателя
на одно и то же выражение
П р им е р 9 . 3 
x 2  3x  1 2 x 2  x  2
.
 2
x2  x  1
x  x 1
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x (x  0).
1

1
 3 2 x    1
x

x
3

, замена
1
1
x  1
x  1
x
x
x
3
t  3 2t  1

,
t 1 t 1
x
1
t,
x
t   1,
t2 + 3t – 10 = 0,
t = – 5,
t = 2,
1
x
вернёмся к замене : x   5 ,
x
 5  21
;
2
x
1
 2,
x
x = 1.

Ответ:  1;

 5  21 
.
2

3. Иррациональные уравнения
3.1 Решение уравнения с помощью возведения обеих частей в квадрат
П р им е р 1 0 .
Пусть
x 2  x  4  x 2  x  1  2x 2  2x  9 .
x2  x 1  t  0 ,
t  3  t  2t  7 ,
t  3  t  2 t (t  3)  2t  7 ,
2 t 2  3t  4 ,
t 2  3t  2 ,
t 2  3t  4 ,
t 2  3t  4  0 ,
t = 1, t = – 4,
(t  0)
вернёмся к замене:
x2  x 1  1,
x = – 1; 0.
Проверка подтвердила, что данные числа являются корнями.
Ответ: {– 1; 0}.
Заключение
Алгебраические уравнения – важная составляющая часть школьного
курса математики.
В результате проделанной работы я научился решать полиномиальные,
дробно-рациональные, иррациональные уравнения; рассмотрел решение
алгебраических уравнений различными способами: выделение степени,
ведение новой переменной, использование однородности, выделение целой
части, применение формул, деление числителя и знаменателя на одно и то же
выражение, возведение обеих частей уравнения в квадрат.
В своей работе я привёл решение 10 алгебраических уравнений и
пришёл к следующим выводам:
1) самыми распространёнными являются полиномиальные уравнения;
2) самые чаще встречающиеся способы решения уравнений - с
помощью деления многочленов, путём введения новой переменной, с
помощью формул, путём делением числителя и знаменателя на
одно и то же выражение;
Думаю, что моя работа поможет успешно сдать экзамены по математике
в 9, 11 классах, а также поступить учиться в институт по выбранной
специальности. Работу по поиску новых способов их решения я продолжу в
10-11 классах.
Библиография
1. Шарыгин И. Ф.
Факультативный
курс
по
математике
–
М.:
Просвещение, 1989.
2. Сборник задач по математике для поступающих во ВУЗы/ Под ред.
Сканави М. И. – М.: Оникс Альянс, 1999.
3. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре 8-9. -М.: Просвещение, 2001.
4. Саакян с.М. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.М.: Просвещение, 1990.
Приложение
Анкета для учащихся 9-11 классов.
1.Какие виды алгебраических уравнений вы знаете?
2.Какие из предложенных уравнений вы смогли бы решить?
3.Умеете ли вы решать уравнения олимпиадного уровня?
Рецензия
Шаповал Артём работал над темой «Различные способы решения
алгебраических уравнений».
Работа написана по логично составленному плану. Во вступлении
ученик обосновал актуальность выбранной темы, чётко сформулировал цель
работы, поставленные задачи, дал
подробный
аналитический обзор
литературы по теме.
Основная часть работы содержит решение десяти
различных
алгебраических уравнений:
1) полиномиальных;
2) дробно-рациональных;
3) иррациональных.
При решении полиномиальных уравнений Шаповал Артём использовал
следующие методы: выделение степени, ведение новой переменной,
однородность, применение формул. При решении дробно-рациональных выделение целой части, деление числителя и знаменателя на одно и то же
выражение. И при решении иррациональных -
возведение обеих частей
уравнения в квадрат.
В заключение работы представлены точно соответствующие целям
работы выводы. Автор работы показывает перспективу работы над данной
темой.
Кроме того, в работе имеется библиография, свидетельствующая о
серьёзном отношении к проделанной работе. Также имеется приложение.
Работа
Шаповал
Артёма
рекомендуется
к
защите
на
научно-
практической конференции.
Учитель:
Погорелова Н.В.