Метод моделирования нелинейных задач деформирования

МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
О. В. Старожилова
Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, Самара, Россия
Тонкостенные элементы конструкций обеспечивают высокие прочностные
показатели. Расширение сферы применения тонкостенных элементов приводит к
необходимости возможно более полного учета реальных свойств материалов и
деформативности конструкций. Условия эксплуатации требуют решения задач в
упругопластической постановке, позволяющей определить истинный запас прочности.
Математическая модель решения дважды нелинейных задач деформирования гибких
неоднородных оболочек использует пятимерное девиаторное пространство с
последующим итерационным процессом.
Рассматриваются неоднородные многослойные оболочки переменной толщины и
кривизны, удовлетворяющие условиям текучести Мизеса в каждом из слоев модели.
Процесс нагружения реализован компонентами в девиаторных пространствах
А. А. Ильюшина: пространства напряжений  , деформаций Э , деформаций срединной
поверхности Э – , изменений кривизн срединной поверхности  . Напряженно-деформированное состояние определяется симметричными тензорами напряжений и деформаций.
Используется гипотеза единой кривой деформирования  u  f  u  .
Связь между векторами напряжений и деформаций для применяемой теории
пластичности имеет вид
  N Э  q,
где N  2G , q  0 или N  2Gs , q  0 – соотношения теории малых упругопластических
деформаций,
E
– модуль сдвига,
G
2 1   
E – модуль упругости,

Gs  u – секущий модуль к диаграмме
3u
деформирования (рис. 1).
Рис. 1 Диаграмма деформирования
Связь между напряжениями и деформациями представима в матричном виде:
c
  11   a11 a12 a13   11  z 11   h1 
  

 
  c
  22    a21 a22 a23     22  z  22    h2  ,
   a
  c
  
 12   31 a32 a33   12  2 z 12   h3 
где a11  a22 
Gsk 
виде
4Gs  1  Gsk 
,
1  4Gsk
a12  a21 
2Gs (1  2Gsk )
,
1  4Gsk
a13  a31  a23  a32  0,
a33  Gs ,
Gs
1 2  1
1
1 2   

1
, h1 
q1 
q2 , h3 
q3 .
q1 
q2 , h2 
3K
2
6 (1   )
2 1   
6 1 
2 1   
Дефоpмации в эквидистантных слоях в произвольной точке оболочки запишем в
11  11c  z 11 ,  22   22c  z  22 , 12  12c  z 12
где 11  wxx ,  22   wyy , 12   wxy – изменения кривизн и кручения срединной
поверхности.
Таким образом, деформация оболочки полностью определяется совокупностью
шести функций  11c ,  22c , 12с , 11 ,  22 , 12 , из которых первые три характеризуют
изменения размеров малого элемента срединной поверхности, а три последние позволяют
судить о деформациях изгиба, вызванных искривлениями этой поверхности.
В соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява деформации сдвига 13 ,  23 считаются
пренебрежимо малыми.
В теории тонких оболочек напряжения, действующие в нормальном сечении,
заменяются статически эквивалентной системой усилий и моментов, приложенных к
сpединной повеpхности.
0
1
T  C    C     H ,
M  C 1  C  2   G,
где
0.5 h
 0.5 h

a
dz
a12 dz
0
  11


0.5 h
0.5 h


 11c 
 T11   0.5 h
0.5 h

 c 
 ,    22
T  T22     a21dz
a22 dz
0

,
 0.5 h

0.5 h
 12c 
T12  

 
0.5 h


0
0
 a33dz 

0.5 h

0.5 h
 0.5 h

a
zdz
a12 zdz
0
  11


0.5 h
0.5 h


 M 11   0.5 h
 11 
0.5 h



 ,     22  ,
M   M 22     a21 zdz  a22 zdz
0




0.5 h
 M 12   0.5 h

2

 12 

0.5 h

0
0
a33 zdz 



0.5 h
0.5 h
 2   0.5h


q
dz

q
dz

1
2

h 
2 1    0.5
 6 1    0.5h

0.5 h
 2   1 0.5h

1
H 
q
dz

q
dz
h 1
 h 2  ,
2 1    0.5
 6 1    0.5


0.5 h
1


q3dz



2 0.5h


0.5 h
 2   0.5h


q
zdz

q2 zdz 

1


2 1    0.5h
 6 1    0.5h

0.5
h
0.5 h
 2  1

1
G
q
zdz

q
zdz
h 1
 h 2  ,
2 1    0.5
 6 1    0.5


0.5 h
1


q3 zdz



2 0.5h


C  m
c11 m
  m
 c21
  m
c31
c12 m
 m
c22
 
c32
m
c13 m 
0.5 h

 m
m
c23  , m  0, 1, 2, cik   aik z m dz,
0.5 h
 m 
c33

T0  3kh 0c , M 0  0, 25kh3  0 .
Расчет
упругопластических
деформаций
в
оболочках
выполняется
последовательными приближениями по вычисляемым в сечениях перемещениям и
усилиям. Силовые факторы: усилия и моменты, – определяются интегрированием
напряжений  ij по толщине. При расчете по теории малых упругопластических
деформаций без учета разгрузки элементы матриц-столбцов H , G равны нулю.
Выявлены
особенности
упругопластического
поведения
оболочек,
связанные с несимметрией нагрузки, граничных
условий, распределением толщин. Построенная
математическая модель учитывает сжимаемость
материала и реальный вид диаграммы
деформирования. Дано решение широкого
класса
несимметричных
задач
упругопластического изгиба неоднородных
оболочек переменной жесткости.
Рис. 2 Моделирование процесса
деформирования гибкой оболочки
Исследовано влияние на напряженно-деформированное состояние оболочек
параметров геометрии, переменности толщины, граничных условий, характера
нагружения, свойств материала, механических свойств слоев в многослойных оболочках.
Исследованы траектории напряжений и деформаций.
Разработанный пакет программ позволяет единообразно проводить расчет гибких
слоистых оболочек с учетом упругопластических деформаций, прослеживать развитие зон
пластичности, разгрузки, вторичных пластических деформаций. Установлено, что
неоднородность свойств материала по толщине оболочки может приводить к
качественному изменению распределения напряжений.
Моделирование задач деформирования нелинейных оболочек показали хорошую
сходимость двухступенчатого итерационного метода, разработанного автором, при
расчете упругопластического деформирования гибких неоднородных оболочек.