финал - задачиx
advertisement
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 6 класс, лига А, бой за 1 место 1. В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 10 боксеров разной силы. Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя подкова подложена ровно у одного из двух его участников, то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший. По итогам чемпионата нашлось два боксера, выигравших больше боев, чем любой из двух сильнейших. Докажите, что все остальные боксеры участвовали в заговоре (кроме двух сильнейших) 2. При каких натуральных n>1 может случиться так, что в компании из n+1 девочки и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. Пусть n! = 1·2·3·…n. Рассмотрим числа 1!, 2!, 3!, …., 2000!. Можно ли выбросить из этого ряда ровно одно число так, чтобы произведение всех остальных было точным квадратом? 4. В таблице отмечено 10 элементов, причем так, что в каждой строке и в каждом столбце отмечен ровно один элемент. Докажите, что среди отмеченных есть хотя бы два равных. 5. На международном конгрессе за круглым столом сидят 12 человек, при этом среди 6 подряд сидящих человек есть представители не более чем трех стран. Какое наибольшее число стран могло быть представлено на конгрессе? 0 1 2 3 … 9 9 0 1 2 … 8 8 9 0 1 … 7 … 6. Ученик не заметил знака умножения между двумя трех1 2 значными числами x и y, и вместо этого написал одно шестизначное число, которое получилось в три раз больше, чем должно было быть произведение. Найдите эти трехзначные числа. … 3 4 … 0 7. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5×5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3×3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки? 8. На рисунке фигура, сложенная из восьми одинаковых кубиков. Определите, как выглядит основание этой фигуры. 9. Имеются гири весом 1г,2г,...,9г на каждой из которой указан ее вес. Одна из гирь имеет внутренний дефект поэтому несколько легче указанного на ней веса. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти дефектную гирю? 10. В сотах (см. рис.) закрашена одна клетка. За ход разрешается закрашивать любую соту, у которой к тому моменту закрашено нечетное количество соседей (соседями называются соты, имеющие общую сторону). Можно ли закрасить все соты? … Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 6 класс, лига А, бой за 3 место 1. Числа 1, 2, 3, … 25 выписаны в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел в третьем столбце? 2. При каких натуральных n>1 может случиться так, что в компании из n+1 девочки и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. Пусть n! = 1·2·3·…n. Рассмотрим числа 1!, 2!, 3!, …., 2010!. Можно ли выбросить из этого ряда ровно одно число так, чтобы произведение всех остальных было точным квадратом? 4. В таблице отмечено 10 элементов, причем так, что в каждой строке и в каждом столбце отмечен ровно один элемент. Докажите, что среди отмеченных есть хотя бы два равных. 0 9 8 … 1 1 0 9 2 1 0 3 2 1 … … … 9 8 7 … 0 5. На международном 2 3 4 … конгрессе за круглым столом сидят 12 человек, при этом среди 6 подряд сидящих человек есть представители не более чем трех стран. Какое наибольшее число стран могло быть представлено на конгрессе? 6. Через точку на плоскости провели несколько прямых. Среди углов между этими прямыми встречаются углы по 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Какое наименьшее количество прямых проведено? 7. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5×5 нужно закра- сить, чтобы в любом квадрате 3×3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки? 8. На рисунке фигура, сложенная из восьми одинаковых кубиков. Определите, как выглядит основание этой фигуры. 9. Имеются гири весом 1г,2г,.. .,9г на каждой из которой указан ее вес. Одна из гирь имеет внутренний дефект поэтому несколько легче указанного на ней веса. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти дефектную гирю? 10. Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить несколько красных и синих клеток таким образом, что у любой красной клетки будет ровно 4 синих соседа, а у любой синей - ровно 4 красных? (соседними называются клетки, имеющие общую сторону или вершину.) Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 6 класс, лига Б 1. Числа 1, 2, 3, … 25 выписаны в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания. Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в третьем столбце? 2. Может ли случиться так, что в компании из 11 девочек и 10 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. Сколько чисел от 1 до 2010 имеют сумму цифр, кратную 5? 4. Куб с ребром n таким образом составлен из кубиков с ребром 1, некоторые из которых – белые, а некоторые – черные, что каждый белый имеет трех черных соседей, а каждый черный – трех белых? (Соседями считаются кубики, имеющее общее ребро). При каких n это возможно? 5. Разрежьте фигуру на три равные части 6. Пусть n! = 1·2·3·…n. Рассмотрим числа 1!, 2!, 3!, …., 2010!. Можно ли выбросить из этого ряда ровно одно число так, чтобы произведение всех остальных было точным квадратом? 7. Через точку на плоскости провели несколько прямых. Среди углов между этими прямыми встречаются углы по 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Какое наименьшее количество прямых проведено? 8. На окружности поставлено 99 точек. Петя и Вася по очереди красят их: Петя в красный цвет, а Вася - в синий. Нельзя 2 соседние точки красить в один и тот же цвет. Начинает Вася, а тот, кто не может покрасить следующую точку по правилам, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре? 9. Матч по гандболу между "Спартаком" и "Динамо" закончился со счетом 23: 21 в пользу Спартака. В матче был момент когда "Спартак" забросил столько мячей, сколько "Динамо" осталось забросить. Сколько мячей в этот момент было заброшено обеими командами вместе? 10. Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с 1 до некоторого числа n включительно 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ….n. Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое число раз? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 6 класс, лига Б, бой за 7 место 1. Числа 1, 2, 3, … 25 выписаны в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания. Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в третьем столбце? 2. Может ли случиться так, что в компании из 11 девочек и 10 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. Сколько чисел от 1 до 2010 имеют сумму цифр, кратную 5? 4. Куб с ребром n таким образом составлен из кубиков с ребром 1, некоторые из которых – белые, а некоторые – черные, что каждый белый имеет трех черных соседей, а каждый черный – трех белых. (Соседями считаются кубики, имеющее общее ребро). При каких n это возможно? 5. Разрежьте фигуру на три равные части 6. По окружности записано шесть чисел, каждое из которых равно модулю разности двух чисел, стоящих сразу за ним почасовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1. Найдите эти числа. 7. Существуют ли 10 таких последовательных целых чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов девяти следующих за ними 9 последовательных чисел? 8. На окружности поставлено 99 точек. Петя и Вася по очереди красят их: Петя в красный цвет, а Вася - в синий. Нельзя 2 соседние точки красить в один и тот же цвет. Начинает Вася, а тот, кто не может покрасить следующую точку по правилам, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре? 9. Матч по гандболу между "Спартаком" и "Динамо" закончился со счетом 23: 21 в пользу Спартака. В матче был момент когда "Спартак" забросил столько мячей, сколько "Динамо" осталось забросить. Сколько мячей в этот момент было заброшеобеими командами вместе? но 10. Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с 1 до некоторого числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ….n. Докажите, что в данной строчке не могут все десять цифр встречаются одинаковое число раз? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 7 класс, лига А, финал, бой за 1 место 1. В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 100 боксеров разной силы. Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя подкова подложена ровно у одного из двух его участников, то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший. По итогам чемпионата нашлось три боксера, выигравших больше боев, чем любой из трех сильнейших участников. Каким могло быть наименьшее количество заговорщиков? 2. При каких натуральных n>1 может случиться так, что в компании из n+1 девочки и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. На плоскости провели 100 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и отметили все точки их пересечения. После этого все прямые и k отмеченных точек стерли. При каком наибольшем k по оставшимся точкам пересечения заведомо можно восстановить исходные 0 1 2 3 … 9 прямые? 9 0 1 2 … 8 4. В таблице отмечено 10 элементов, причем так, что в каждой 8 9 0 1 … 7 … строке и в каждом столбце отмечен ровно один элемент. Дока- … 1 2 3 4 … 0 жите, что среди отмеченных есть хотя бы два равных. 5. Пусть n, m, k - натуральные числа, причем nm = k(n—m), НОД (n, m, k) =1. Докажите, что n—m – точный квадрат. 6. В парламенте, состоящем из 10 человек, есть представители 512 партий (один человек может представлять несколько партий). Известно, что любые две партии имеют различный список представителей, зато любые три партии могут найти одного парламентера, который будет представлять сразу все три партии. Докажите, что можно выбрать председателя, который будет представителем сразу всех партий. 7. Какие правильные многоугольники со стороной a можно разрезать на другие правильные многоугольники со стороной a? 8. Сколькими способами коридор 315 метров можно покрыть в один слой без пропусков одинаковыми кусками линолеума 13 метра? 9. Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего угла. Найдите углы этого треугольника, если они выражаются целым числом градусов. 10. Ученик не заметил знака умножения между двумя трехзначными числами x и y, и вместо этого написал одно шестихзначное число, которое получилось в три раз больше, чем должно было быть произведение. Найдите эти трехзначные числа.. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 7 класс, лига А, финал, бой за 3 место 1. В чемпионате Жуликании по боксу участвуют 100 боксеров разной силы. Каждые два боксера проводят между собой один бой. Несколько боксеров составили заговор: каждый из них в одном из боев подложит себе в перчатку свинцовую подкову. Если во время боя подкова подложена ровно у одного из двух его участников, то побеждает именно он; в противном случае побеждает сильнейший. По итогам чемпионата нашлось три боксера, выигравших больше боев, чем любой из трех сильнейших участников. Каким могло быть наименьшее количество заговорщиков? 2. При каких натуральных n>1 может случиться так, что в компании из n+1 девочки и n мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. На плоскости провели 10 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и отметили все точки их пересечения. После этого все прямые и k отмеченных точек стерли. При каком 0 1 2 3 … 9 наибольшем k по оставшимся точкам 9 0 1 2 … 8 пересечения заведомо можно восстановить исходные прямые? 8 9 0 1 … 7 … 4. В таблице отмечено 10 элементов, причем так, что в каждой … строке и в каждом столбце отмечен ровно один элемент. Дока- 1 2 3 4 … 0 жите, что среди отмеченных есть хотя бы два равных. 5. Пусть n, m, k - натуральные числа, причем nm = k(n—m), НОД (n, m, k) =1. Докажите, что n—m – точный квадрат. 6. В парламенте, состоящем из 10 человек, есть представители 512 партий (один человек может представлять несколько партий). Известно, что любые две партии имеют различный список представителей, зато любые три партии могут найти одного парламентера, который будет представлять сразу все три партии. Докажите, что можно выбрать председателя, который будет представителем сразу всех партий. 7. Дан клетчатый прямоугольник 11000. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может покрасить клетки какого-то прямоугольника 11, 13 или 15 клеток (два раза красить одну и ту же клетку нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника? 8. Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с 1 до некоторого числа n включительно 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ….n. Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое число раз? 9. Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего угла. Найдите углы этого треугольника, если они выражаются целым числом градусов. 10. Ученик не заметил знака умножения между двумя трехзначными числами x и y, и вместо этого написал одно шестизначное число, которое получилось в три раз больше, чем должно было быть произведение. Найдите эти трехзначные числа.. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 7 класс, лига Б 1. Числа 1, 2, 3, … 25 выписаны в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания. Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел в третьем столбце? 2. Может ли случиться так, что в компании из 21 девочки и 20 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. Пусть n! = 1·2·3·…n. Рассмотрим числа 1!, 2!, 3!, …., 2010!. Можно ли выбросить из этого ряда ровно одно число так, чтобы произведение всех остальных было точным квадратом? 4. Куб с ребром n таким образом составлен их кубиков с ребром 1, некоторые из которых – белые, а некоторые – черные, что каждый белый имеет трех черных соседей, а каждый черный – трех белых? (Соседями считаются кубики, имеющее общее ребро). При каких n это возможно? 5. Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить несколько красных и синих клеток таким образом, что у любой красной клетки будет ровно 4 синих соседа, а у любой синей - ровно 4 красных? (соседними называются клетки, имеющие общую сторону или вершину) 6. На международном конгрессе за круглым столом сидят 12 человек, при этом среди 6 подряд сидящих человек есть представители не более чем трех стран. Какое наибольшее число стран могло быть представлено на конгрессе? 7. Имеются гири весом 1г, 2г,...,9г на каждой из которой указан ее вес. Одна из гирь имеет внутренний дефект поэтому несколько легче указанного на ней веса. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти дефектную гирю? 8. На окружности поставлено 99 точек. Петя и Вася по очереди красят их: Петя в красный цвет, а Вася - в синий. Нельзя 2 соседние точки красить в один и тот же цвет. Начинает Вася, а тот, кто не может покрасить следующую точку по правилам, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре? 9. Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего угла. Найдите углы этого треугольника, если они выражаются целым числом градусов. 10.. Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с 1 до некоторого числа n включительно 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ….n. Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое число раз? Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска II Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 31 января 2010 г., 7 класс, лига Б, бой за 5 место 1. Числа 1, 2, 3, … 25 выписаны в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания. Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в третьем столбце? 2. Может ли случиться так, что в компании из 11 девочек и 10 мальчиков все девочки знакомы с разным числом мальчиков, а все мальчики – с одним и тем же числом девочек? 3. Сколько чисел от 1 до 2010 имеют сумму цифр, кратную 5? 4. Куб с ребром n таким образом составлен из кубиков с ребром 1, некоторые из которых – белые, а некоторые – черные, что каждый белый имеет трех черных соседей, а каждый черный – трех белых? (Соседями считаются кубики, имеющее общее ребро). При каких n это возможно? 5. Разрежьте фигуру на три равные части 6. По окружности записано шесть чисел, каждое из которых равно модулю разности двух чисел, стоящих сразу за ним почасовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1. Найдите эти числа. 7. Существуют ли 10 таких последовательных целых чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов девяти следующих за ними 9 последовательных чисел? 8. На окружности поставлено 99 точек. Петя и Вася по очереди красят их: Петя в красный цвет, а Вася - в синий. Нельзя 2 соседние точки красить в один и тот же цвет. Начинает Вася, а тот, кто не может покрасить следующую точку по правилам, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре? 9. Матч по гандболу между "Спартаком" и "Динамо" закончился со счетом 23: 21 в пользу Спартака. В матче был момент когда "Спартак" забросил столько мячей, сколько "Динамо" осталось забросить. Сколько мячей в этот момент было заброшеобеими командами вместе? но 10. Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с 1 до некоторого числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ….n. Докажите, что в данной строчке не могут все десять цифр встречаются одинаковое число раз?
