Теория вероятности

Теория вероятности
1.Пространство элементарных событий
Пространство элементарных событий — множество всевозможных исходов одного эксперимента.
Исход—результат эксперимента.
Случайный эксперимент—процесс, который мы наблюдаем согласно четко
определенной процедуре, но который может привести к неизвестному заранее результату.
Испытание—единичное осуществление какого –либо эксперимента.
Любой исход эксперимента—элементарное событие.
Ω –все пространство элементарных событий.
2.Классификация событий.
Достоверное событие– все пространство элементарных событий.
Невозможное событие – событие соответствующее исходу, который невозможен при осуществлении эксперимента.
Пространство элементарных событий – множество всевозможных исходов
одного эксперимента.
Элементарное событие – любой исход эксперимента.
3.Понятие об σ- алгебре.
σ-алгебра – сумма всех возможных событий, построенных на объединении,
пересечении событий, которые принадлежат элементарным событиям.
 – алгебра
События: 1 – упала решка;
 2 – упал орел;
( 1 и  2 ) – и то и то упало;
0 – кинул – “нет”.
  {1 ,  2 , 1и 2 ,  2 или 3, 0}.
4.Аксиомы теории вероятности.
1. Р(ø)  0; Р()  1 ;
2. А  ; 0  Р( А)  1;
3. А, В; А  В  ø; Р( А  В)  Р( А)  Р( В) ;
4. Р ( А  В ) =
n A  nB n A nB


 Р( А)  Р( В)
n
n
n
Вероятность – это мера случайного процесса.
Вероятность – неотрицательная величина.
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей.
5.Классический метод задания вероятности.
Вероятность – степень возможности наступления случайного события, которое соизмеряется с тем, какую часть от единицы оно составляет.
«Классическое определение вероятностей» – подсчет вероятностей произвольных событий в пространстве равных вероятностей.
Вероятность произвольного события А в пространстве равных вероятностей – есть отношение числа элементарных событий, благоприятствующих
событию А к числу элементарных событий во всем пространстве .
Р( А) 
nА
n
6.Условная вероятность.
Условная вероятность–это вероятность события А, при условии, что событие В произошло.
Р( А )  РВ ( А).
В
7.Формула полной вероятности.
Р( А)  Р( А
Е1
)  Р( Е1 )  ...  Р( А
Еn
)  Р( Е n )
Например, имеется 3 метода измерений, тогда:
Р(Е1) – вероятность грубых ошибок в методе 1;
Р(Е2) – вероятность проявления таких же ошибок в методе 2;
Р(Е3) – вероятность проявления таких же ошибок в методе 3;
Р(А/Е1) – вероятность качественного исполнения работ при 1методе;
Р(А/Е2) – вероятность качественного исполнения работ при 2методе;
Р(А/Е3) – вероятность качественного исполнения работ при 3методе;
Вероятность качественного исполнения работ – полная вероятность:
Р А  Р( А
Е1
)  Р( Е1 )  Р( А
Е2
)  Р( Е 2 )  Р( А
Е3
)  Р( Е3 ).
8.Формула Байеса.
Р( Еi А) 
Р ( А Е i )  Р( Еi )
.
Р( А Е1 )  Р( Е1 )  ...  Р( А Еi )  Р( Еi )
9.Понятие случайной величины.
Случайная величина – это есть функция случайного события.
Вероятностное пространство – это ( Ω, F, P)
1. Ω –алгебра событий
2. F – множество элементарных событий
3. P – вероятность каждого из событий
10.Функция распределения.
F(X)=P(X≤x)
Функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее некоторого ее заданного значения
х.
11.Дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайная величина – это величина, которая при проведении опытов принимает числовое значение, заранее неизвестно какое.
Дискретная случайная величина – такая случайная величина, возможное
значение которой можно заранее указать.
Непрерывная случайная величина – такая случайная величина, возможные
значения которой заполняют некоторый промежуток на числовой оси и не
могут быть перечислены заранее .
12.Плотность распределения вероятности.
Плотность распределения вероятности– это производная функции распределения.
f ( x) 
F F

.
X X
13. Распределение функций одномерных случайных величин
Вероятность попадания точки iх в интервал Х
равна вероятности попадания точки iу в интервал У.
у – плотность функции ;
х – плотность аргумента Х.
f x  x  f y  y  f ( y ) 
f x  x
y
x x
y

 ( ) 1 
y y
x
y
f y  f x  ( ) 1
x
y   (x)
x   1 ( y)
f y  f ( 1 ( y ))  (
y 1
)
x
14. Числовые характеристики одномерной случайной величины.
Е – математическое ожидание:

ЕХ 
 хf ( х)dx

Д – дисперсия:

ДХ  Е  ( Х  ЕХ ) 
2
 ( х  ЕХ )

 – среднее квадратическое отклонение:
  ДХ
2
f ( х)dх
15. Определение многомерной случайной величины.
х1, х2 ,…, хn –случайные величины
 х1 
 
х 
Х  2
....
 
х 
 n
16. Функция распределения и плотность распределения непрерывной
многомерной случайной величины.
Х1,Х2 – появляются совместно;
Функция распределения: F(Х1,Х2) = Р(Х1 х1 х2 Х2);
Плотность распределения:
Р( х1  Х 1  x1  x1   ...  X к  xк  хк )
x 0
х1  х2  ...  хк
f ( Х 1 ,..., Х к )  lim
f ( x1 , x 2 ,..., x к ) 
 к F ( x1 , x 2 ,..., x n )
x1  x 2  ...  x к
17.Числовые характеристики многомерных случайных величин.
М – математическое ожидание;
К – корреляционная матрица;
К у  АК х  АТ
18.Центральная предельная теорема.
Если случайная величина состоит из суммы Хк , то ее распределение приближается к нормальному распределению.