Відділ виконкому Жовтневої районної у місті ради Районний

Відділ виконкому Жовтневої районної у місті ради
Районний методичний кабінет
Методичний кабінет КЗШ №32
Уроки математики в 5 класі
Калашніковова Наталя
Володимирівна
вчитель математики
КЗШ №32 І-ІІІ ступенів
Кривий Ріг
1
Видання відділу освіти виконкому Жовтневої районної у місті ради
Серія
«Теорія і практика»
Рецензент: Стьопіна Валентина Миколаївна – методист
методичного кабінету відділу освіти
районного
Калашнікова Наталя Володимирівна, учитель математики
Криворізької загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів №32.
Уроки математики в 5 класі
Кривий Ріг, - 34
У брошурі представлено цикл нестандартних уроків уроків в 5, 6
класів. Рекомендовано вчителям математики.
Рекомендовано до друку методичною радою відділу освіти
2
ДЕЙСТВИЯ
С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
5 класс
Цели:
1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
2. Научить обобщать знания, осмысливать материал, делать выводы по материалу обязательного уровня. Провести диагностику
усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения
практических заданий стандартного уровня с переходом на более
высокий уровень.
3. Содействовать рациональной организации труда; введением
игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать
познавательные процессы, память, воображение, мышление,
внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы
товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным задачам,
сформировать у них положительный мотив учения.
Содержание темы. Данная тема программы 5 класса по математике любого действующего учебника из Федерального комплекта.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации с дидактической
игрой «Олимпийские игры».
Организационные формы общения. Индивидуальная, парная,
групповая, коллективная.
Структура урока:
1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели для
игры.
2. Актуализация опорных знаний.
3.Игровые действия, включающие познавательное содержание
и диагностирующие уровень усвоения системы знаний и умений
каждого учащегося по заданной теме на этом этапе обучения.
4Подведение итогов игры и урока.
5 Домашнее задание.
3
6.Рефлексия.
Ход урока I. Мотивационная беседа.
Учитель. Сегодня мы проведем с вами необычный урок. Урок,
который даст нам возможность получить новую и интересную
спортивную информацию и одновременно поможет вспомнить все,
что вы знаете о действиях над натуральными числами. И, конечно же,
покажете, как вы умеете эти действия выполнять.
Кто же может рассказать, что такое Олимпийские игры?
Беседа с учащимися об Олимпийских играх.
Учитель. 15 сентября 2000 года были открыты летние Олимпийские игры. А произошло это событие там, где люди ходят «вверх
ногами», там, где живут необычные животные кенгуру.
II. Актуализация опорных знаний.
Учитель. Чтобы ответить на вопрос, как же называется эта страна,
каждый должен вспомнить, какие числа называются натуральными.
На доске таблица-подсказка, она будет нам сегодня помогать.
С помощью учащихся дается определение натуральных чисел.
Учитель. На доске - таблица с изображением алфавита. Каждая
буква алфавита, исключая букву ё, пронумерована числами от 1 до 32.
Это своеобразный шифр.
- Как же называется страна? Читайте шифровку. (((294 - 293) + + 2)
-6+ 1-2): 17+ 11 -3 + 23.
Выполняя задания по действиям, ученики получают ответы,
которые через запятую записывают на переносных досках. При этом
каждое число обозначает следующую букву слова. Таким образом,
выясняется название страны - Австралия.
III. Игровые действия.
4
Сегодня мы узнаем, что творится на обратной стороне Земли, кто
живет в этой далекой экзотической стране, что любят ее обитатели.
Беседа об Австралии.
Учитель. Вернемся все-таки к летним Олимпийским играм.
Поможет нам в этом тот же шифр, который составили аборигены
Австралии. Они прислали вам зашифрованную телеграмму, попробуйте расшифровать ее. И тогда вы узнаете, кто является талисманом
этих летних Олимпийских игр.
6 22 9 5 14 1- ехидна.
13 9 12 12 9-милли.
11 20 11 1 2 1 17 17 1 - кукабарра.
15 12 12 9~олли.
20 19 11 15 14 15 18 -утконос.
18 9 5-сид.
Рассказ об этих животных.
Учитель. Какими по счету стали эти летние Олимпийские игры?
Каждому ряду учащихся предлагаются различные задания на
применение правила о порядке действий при вычислениях.
1-й ряд-(225: 25 +11): 2 + 7
2-йряд-(125:5+15):2 + 7
3-йряд-(325:25 + 27):2 + 7
Учитель. Какие действия можно выполнять над натуральными
числами?
- Каков порядок действий?
- Какие виды спорта входят в перечень летних олимпийских игр?
Беседа с привлечением учащихся о различных видах спорта,
входящих в перечень летних Олимпийских игр.
Учитель. В первый день Олимпиады начались соревнования сразу
по нескольким видам спорта. У нас же соревнования будут
необыкновенные, хотя мы и назовем их так же, как и на Олимпиаде синхронное плавание. У доски сразу 4 человека, они выполняют
индивидуальные задания, 2 ученика- на открытых досках, а 2 других на закрытых. Остальные ученики класса разбиты на варианты
(упражнения дифференцированные). Эти соревнования отборочные,
5
они помогут вам принять участие в финальном туре.
Отборочные соревнования заканчиваются работой над ошибками.
IV.
Подведение итогов игры и урока.
Учитель. В конце урока финальный тур- самостоятельная работа,
которая проверяется с помощью заранее сделанных записей на доске.
Подводится итог урока: что нового с точки зрения болельщиков,
спортсменов, просто учеников узнали и вспомнили ребята.
V.
Домашнее задание.
Придумать и выполнить в тетради тренировочные упражнения для
соседа на умножение и деление трехзначных натуральных чисел,
примером могут служить задания отборочного тура (5 заданий).
VI.
Беседа с учащимися о прошедшем уроке.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
5 класс
Цели:
1. Обобщить и систематизировать знания по теме «Натуральные
числа»; обогатить систему знаний по теме; установить связи
между теорией и практикой.
2. Научить анализировать, наблюдать и делать выводы.
3. Содействовать рациональной организации труда; воспитывать
сознательное отношение к учебному труду; развивать творческие
способности, самостоятельность, организованность.
Содержание темы. Данная тема программы 5 класса по математике любого действующего учебника из Федерального комплекта.
Тип урока. Модульный урок с экскурсией в «Математический
музей».
Организационные формы общения. Индивидуальная, парная,
коллективная.
Структура урока:
1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Актуализация опорных знаний - устная работа, с помощью
6
которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.
3. Диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня
с переходом на более высокий уровень.
4. Подведение итогов урока.
5. Анализ домашних сочинений по теме «Натуральные числа».
6. Творческое домашнее задание.
7. Экскурсия в «Математический музей».
8. Рефлексия.
Подготовка к уроку. Работа со справочной литературой, дополнительным материалом по теме урока для подготовки сообщений
учащихся-экскурсоводов о различных системах счисления.
Оформление:
1. Портреты ученых-математиков Евклида, Мухаммад бенМуса ал-Хорезми, Лейбница, Лапласа.
2. Таблицы чисел в различных системах счисления.
Ход урока
I.
Мотивационная беседа.
II.
Актуализация опорных знаний (устный счет).
1) Верно ли утверждение, что среди этих записей нет натурального
ряда чисел:
0,1,2,3,4,5,..;
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;
1,2,3,4,5,7,8,9,...
Верно ли утверждение, что среди этих записей есть цифры?
2) Натуральный ряд чисел конечен, верно ли это?
3) Верно ли, что 0 не является натуральным числом?
4) Верно ли, что за числом 1005 следует 1006?
5) Верно ли, что за числом 30 следует число 31?
6) Верно ли, что за числом 1 следует число 2?
7) Верно ли, что для любого натурального числа можно указать
7
следующее, предыдущее?
8) Используя цифры 3, 4, 7, 9 назвать наибольшее, наименьшее
пятизначные числа, где каждая из цифр встречается только один
раз; сравнить эти числа, как это сделать?
9) Вспомнить правило сравнения чисел с помощью координатного
луча.
10)Какие действия можно производить с натуральными числами?
11)Всегда ли можно найти разность? Привести пример.
12) Всегда ли можно найти частное? Привести пример.
13) Догадайся, каковы корни уравнений:
(а)100 + х=100; (Ь) 100 х = 0; (с) х : х = 1; (<1) 269 - х = 269; (е) 150 •
х= 150; (Г) 250 : х = 250; (Е) х-х = 0;
14) Каковы правила нахождения неизвестных компонентов?
15) Когда сумма равна слагаемому?
16) Когда разность равна 0?
17) Когда произведение равно множителю?
18) Когда частное равно 1 ?
19) Какие свойства натуральных чисел вам известны?
20) По какому правилу выполняются упражнения, содержащие
различные действия?
21) Проверить, верно, ли равенство:
(1 + 11+21+31+41) +(9+19 +29+ 39+ 49) = 250.
22) Какие свойства можно использовать при проверке?
23) Какие свойства сложения вам известны?
24) Какие свойства натуральных чисел вам известны?
III. Диагностика.
Работа по индивидуальным карточкам.
1)
Выполнить действия:
((16531 -341+763- 1099): 718-65) • 104 .
2) Решить уравнения:
(а)х- 4 + 72= 164.
(Ь)(2х-47)-15 = 10.
3) Вычислить 6!.
Учащимся предлагается проставить порядок действий карандашом
8
на карточке; обменяться карточками, проверить своего соседа. Если
задание выполнено верно, то проверяющий ставит на полях соседа
плюс, если неверно, то минус. Поднятием руки учащиеся
демонстрируют учителю правильный результат. Затем задание
выполняется до конца и тетради сдаются учителю.
IV.
Итог урока.
V.
Анализ домашних сочинений.
Зачитывается лучшее сочинение на тему «Натуральные числа».
VI.
Творческое домашнее задание.
Учащимся предлагается, например, составить рекламу натуральным числам и придумать упражнение на порядок действий для
соседа, в своей тетради его выполнить.
VII.
Экскурсия.
Учитель. Мы попали в музей истории математики. Прежде чем
посмотреть его экспонаты, хотелось бы дать небольшую справку о
том, что мы будем рассматривать. Речь пойдет о системах счисления.
А кто из вас знает, что такое система счисления? В
энциклопедическом словаре дается определение этого понятия:
«Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для
прочтения и выполнения арифметических операций».
Рассматривая археологические находки эпохи палеолита, ученые
заметили, что люди стремились группировать точки, полосы, насечки
по 3, 4, 5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности
чаще всего считали на пальцах, поэтому предметы стали
группировать по 5 или 10. Для удобства записи узловые числа стали
обозначать особыми знаками. Вот сегодня мы узнаем, какие это были
знаки.
Сообщения учащихся.
Система счисления в Древнем Египте За 3000 лет до нашей эры
в Древнем Египте применяли десятичную систему счисления. Для
единиц, десятков, сотен были свои обозначения. (Ученик объясняет,
используя таблицу, каким образом записывали числа в те времена.
Сообщает, что эта система была непозиционная, в ней не было 0, но
она была десятичная.)
9
Система счисления в Вавилоне
За 2000 тысячи лет до нашей эры в Вавилоне пользовались
шестидесятиричной системой. (Ученик с помощью таблицы рассказывает, какой способ записи чисел был в то время.) До сих пор
мы используем эту систему: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд.
Эта система тоже непозиционная, в ней нет 0.
Система счисления в Риме
Римская система счисления знакома ученикам. Она используется в
учебнике литературы. (Ученик-экскурсовод напоминает, как
записывают римские числа.) Эта система тоже непозиционная, в ней
нет 0.
Учитель. Прочитайте текст, расположенный под портретом Евклида.
ССС. Как вы думаете, что означает эта запись? ССС = 300.
Система счисления в Древней Греции Древнегреческий ученыйматематик Евклид жил в III в. до нашей эры. В то время числа
записывали двумя способами: знаками и буквами греческого
алфавита. (Ученик рассказывает о записи чисел таким образом.) Эта
система счисления тоже непозиционная, в ней нет О.
Учитель. Как вы заметили, во всех трех сообщениях было сказано
о том, что системы счисления непозиционные. Что же это означает?
При такой записи числа знаки можно было располагать в любом
порядке, и значение записанного числа при этом не менялось.
Поскольку в такой записи положение знака не играет роли, то
подобные системы счисления стали называть непозиционными.
Непозиционные системы счисления были более пригодны для действий сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и
делении.
Индийская система счисления
Узбекский математик Мухаммад бен-Муса ал-Хорезми, живший в
XVII веке, написал «Арифметический трактат», в котором познакомил
европейских ученых с индийской позиционной системой счисления. В
VI веке в Индии создали способ записи, использующий лишь 9 цифр.
Вместо нуля оставляли пустое место, ставили точку или кружочек. А
10
в IX веке появился особый знак для 0. Широкое распространение
система получила в XVI веке. Числа стали записывать арабскими
цифрами 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эта система записи - десятичная
позиционная.
Двоичная система счисления
За основание системы можно принять не только числа 10, 60, но и
любое, большее, чем 1 число. Еще в 17 веке немецкий математик
Вильгельм Готфрид Лейбниц предложил перейти на двоичную
систему, где за единицу счисления было принято число 2. Но ему
помешало то, что запись чисел была слишком длинной, а вот для
электронно-вычислительных машин эта запись была в самый раз, и до
сих пор некоторые машины считают в двоичной системе.
Учитель. Дополнительный материал по этой теме вы можете найти
сейчас в учебнике под редакцией П. М. Эрдниева «Математика 5-6»
(М.: Просвещение, 1993). Откройте страницу 16. Обратите внимание
на слова французского математика Лапласа: «Мысль выражать все
числа десятью знаками, придавая им кроме значения по форме еще и
значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты
трудно понять, насколько она удивительна».
VIII. Рефлексия.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
5 класс
Цели:
1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по решению
различных типов задач стандартного уровня (на движение; на
вычисление периметра; на вычисление площади квадрата и площади
прямоугольника; на вычисление объема куба и прямоугольного
параллелепипеда).
2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений
каждого ученика на заключительном этапе изучения темы.
3. Содействовать рациональной организации труда; развивать
11
познавательный интерес.
Содержание темы. Данная тема программы 5 класса по математике любого действующего учебника из Федерального комплекта.
Тип урока. Интегрированный урок обобщения и систематизации
материала по данной теме с дидактической игрой «Встреча с
инопланетянами».
Организационные формы общения. Индивидуальная, парная,
групповая, коллективная.
Структура урока:
1. Актуализация опорных знаний.
2. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели для
игры.
3. Игровая проблемная ситуация - игровой замысел.
4. Игровые действия, включающие познавательное содержание
и диагностирующие уровень усвоения системы знаний и умений
каждого учащегося по заданной теме на этом этапе обучения.
5. Подведение итогов игры и урока.
6. Домашнее задание.
7.
Рефлексия.
Оформление:
1. Портрет Ю. А. Гагарина.
2. Карта созвездий.
3. Глобус.
4. Таблица для решения задач на движение.
5. Модели куба, прямоугольного параллелепипеда.
6. Раздаточный материал.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний.
Учащимся предлагаются устные упражнения.
1. Какие числа называются натуральными?
2. Вычислить: (100 + 500): 5 : 10;
(4000-4000 : 2): 500; (1200+ (100 • 7+ 183 : 3); 22 + (200 : 2 - 4) + 23.
3. В каждом задании выяснить порядок действий.
4. Что означает квадрат числа?
12
5. Что означает куб числа?
6. Ответы в устном задании записать в тетрадь (в строчку через
запятую) после записи сегодняшнего числа.
Ответы к устным упражнениям учитель записывает на доске через
запятую. 12,4,1961,108.
II. Мотивационная беседа.
Учитель. Сегодня урок у нас необычный, попробуем расшифровать
ответы: 12- число, 4- месяц, 1961- год, вспомните, что произошло в
этот день? 12 апреля 1961 года осуществлен первый полет в космос,
его выполнил Юрий Алексеевич Гагарин. А что может означать число
108, может быть, кто-то знает? (Первый полет длился 108 минут.)
Надеюсь, что вы уже поняли, наш урок будет посвящен космосу. В
этот день на космодроме Байконур бывает праздник, представим, что
нас с вами тоже пригласили туда.
III.
Игровой замысел.
Учитель. Мы в центре управления полетом, на экране монитора
видны космонавты, находящиеся сейчас на орбите, в этот момент с
ними осуществляется связь и вдруг... Экран погас, а затем появилась
на нем карта звездного неба, и все услышали голос.
Магнитофон. Мы, инопланетяне, наша планета находится в
созвездии Скорпиона, как называется ваша планета? Расскажите о
ней.
Игровые действия.
Учитель. Как же называется наша планета, какую форму она
имеет? (Земля, шар.) Наша планета единственная, где есть суша и
вода (с геометрической фигурой шар мы познакомимся в 6 классе, а о
созвездии Скорпиона поговорим на уроках астрономии в 11 классе), а
сейчас послушаем следующий вопрос.
Магнитофон. Как вы передвигаетесь по суше? Какая у вас
зависимость между временем, скоростью и расстоянием?
1.Как можно найти путь, если известны скорость и время?
2. Как можно найти скорость, если известны расстояние и время?
3. Как можно найти время, если известны скорость и расстояние?
IV.
13
Ученикам предлагается работа по карточкам
v
t
І
20 мин
ІІ
90 км/ч
ІІІ
45 ч
s
23 380 км
11 880 км
680 км
Магнитофон. Как вы передвигаетесь по рекам? Как учитывается
скорость течения реки? Как найти скорость движения по течению
реки, против течения?
Учитель. Найти скорость по течению, время, скорость против
течения, если собственная скорость - 12 км/ч, скорость реки-5 км/ч, а
время равно 14 ч.
Магнитофон. Какой формы ваше жилище? Как найти его объем?
Учащиеся работают с раздаточным материалом. На парте у
каждого модели куба, прямоугольного параллелепипеда.
Учитель. Измерить стороны и вычислить объем каждой фигуры.
Магнитофон. Какую форму имеют участки, на которых выращиваются сады? Найдите их площадь.
Учащиеся работают с раздаточным материалом. На парте у
каждого геометрические фигуры: квадрат и прямоугольник. Их
размеры одинаковые.
Учитель. Требуется выполнить измерения для квадрата и
прямоугольника; вычислить их площади; соответствующие записи
сделать в тетради.
Проверка ответов ведется устно.
V.
Подведение итогов игры.
Магнитофон. Благодарим за информацию, ждем в гости, запишите
в столбик наши координаты:
1. Сумма чисел 217 и 139.
2. Разность чисел 1236 и 124.
3. Произведение чисел 25 и 14.
4. Частное чисел 169 и 13.
5. Квадрат числа 7.
14
6. Куб числа 3.
Ученики записывают математический диктант.
Учитель. Вычислить значения этих выражений и после выполнения работы тетради сдать.
VI.
Домашнее задание.
Обращается внимание на записанное на доске домашнее задание.
VII. Рефлексия.
Проводится беседа о новой форме урока; о том, что нового узнали;
о том, что необходимо изменить, чтобы было интереснее.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
5 класс
Цели:
1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
2. Научить обобщать знания, осмысливать материал, делать выводы по материалу обязательного уровня. Провести диагностику
усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения
практических заданий стандартного уровня с переходом на более
высокий уровень.
3. Содействовать рациональной организации труда; введеним
игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать
познавательные процессы, память, воображение, мышление,
внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и
работытоварища; повысить интерес учащихся к нестандартным
задачам,сформировать у них положительный мотив учения.
Содержание темы. Данная тема по программе 5 класса любого
действующего учебника по математике из Федерального комплекта.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации с дидактической
игрой «Крестики-нолики».
Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.
Структура урока:
15
1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели
(игровой замысел).
2. Сообщение правил игры.
3. Входной контроль- игровые действия, в процессе которых
происходит актуализация опорных знаний.
4.Игровые действия, в процессе которых раскрывается познавательное содержание; происходит воспроизведение и коррекция
учебных знаний; проводится диагностика усвоения системы знаний
и умений и ее применение для выполнения практических заданий
стандарта с переходом на более высокий уровень.
5.Итог игры, подведение итогов урока.
6.Творческое домашнее задание.
7.Рефлексия.
Ход урока
I.Мотивационная беседа с учащимися (желательно пропедевтической направленности).
II.Сообщение правил игры.
Правила игры: класс разбивается на 2 команды, которые решают
задачи. С помощью жребия выбирается код команды -«крестик» или
«нолик». Выигрывает та команда, которая набирает большее
количество своих знаков. Команда, которая с очередным заданием
справилась быстрее, имеет право выбора следующего конкурса.
Непременное условие игры - начинать с конкурса «Вспомни».
Оформление: на доске расположена таблица с названием конкурсов, каждая графа которой содержит определенное задание.
вспомни
!
Состав задачу
Загадай желание
Чёрный ящик
Письмо из прошлого
Помоги другу
Реши уравнение
Эрудит
Если команда выиграла конкурс, то в таблице вместо названия
конкурса проставляется код команды - «крестик» или «нолик», так
участники могут следить за ходом игры.
16
III. Актуализация опорных знаний.
Входной контроль.
Конкурс «Вспомни». Каждой команде предлагается вспомнить
правила нахождения неизвестных компонентов при решении уравнений, содержащих только действия первой ступени. Задание этого
конкурса заключается в том, чтобы восстановить недостающие цифры
в магическом шестиугольнике, решая различные уравнения. Эту
фигуру составил любитель математики Адаме после 50-летних проб.
Требуется в клетках шестиугольника расставить числа от 1 до
19 так, чтобы сумма в любом ряду (по трем направлениям) всегда
была равна 38.
IV. Игровые действия.
Следующие конкурсы проходят в таком порядке, в каком их
выбирают команды, проставляя в таблице соответственно «крестик»
или «нолик», поэтому структура урока может измениться в рамках
игровых действий.
Конкурс «Загадай желание». Каждой команде предлагается
загадать число, с помощью которого можно составить магический
треугольник, при этом учесть, что числа от 1 до 6 уже расставлены
определенным образом, запись задания ведется в тетрадь для последующего выполнения дома. Таким образом, учащиеся получают
17
одно из домашних заданий.
Конкурс «Помоги другу». В этом конкурсе каждой команде
предлагается заполнить таблицу «Произведения», выполнив устно
вычисления.
а/в
12
120
102
43
430
403
6
60
7
70
8
80
Конкурс «Реши уравнение». Каждой команде предлагается
решить уравнение, содержащее факториал, например: 6! • х = 720.
Конкурс «Составь задачу по уравнению». Каждой команде
предлагается уравнение, по которому необходимо составить задачу,
например: 2х - 47 = х.
Конкурс «Письмо из прошлого». Каждой команде предлагается
конверт, в котором небольшое сообщение из истории математики,
позволяющее выполнить задание по соответствующей теме,
например: информация о решете Эратосфена должна помочь уче-
18
никам назвать два числа, являющихся соседями в натуральном ряду и
одновременно простыми числами.
Конкурс «!». Каждая команда, предварительно ознакомившись с
текстом сообщения, содержащего сведения о симметричных числах,
должна выполнить вычисления.
Возьмите двузначное число из промежутка от 11 до 99. Прибавьте
к нему записанное справа налево исходное число (зеркальное). К
результату прибавьте его зеркальное число, например: 39 + 93 = 132;
132 +231 = 363. Получили число, которое называется симметричным.
Из промежутка от 11 до 99 лишь 4 числа более упрямы и для
получения симметричных чисел требуют не одно сложение, а даже от
одного до четырех сложений. Для двух самых упрямых чисел
требуется даже 24! сложения. Сколько же это на самом деле?
Попробуйте вычислить 24! Если число найдено, научите своего соседа
выполнять такие вычисления.
Конкурс «Черный ящик». Каждой команде предлагается решить
задачу, например: камнерезные машины вырубили камень для
стройки, а когда сложили вырубленные камни в виде прямоугольного
параллелепипеда, то его длина оказалась 4 м, ширина -3 м, высота -2
м. Сколько необходимо трехтонных грузовиков, чтобы вывезти этот
камень, если масса 1 кубометра камня 2500 кг.
Конкурс «Эрудит». Почему одна из систем счисления носит
название двенадцатиричная? Приведите примеры.
V.Итог урока.
Подводится итог игры, определяются победители, они и получают
высший балл на уроке, а другая команда - на балл ниже. Учителю
дается право оценить индивидуально нескольких учащихся в
зависимости от их активности на уроке.
VI.Домашнее задание.
В качестве дополнения к домашнему заданию, которое дано в
процессе урока, можно предложить не менее творческую работу,
например: составить самостоятельно сценарий игры с соседом по
парте, придумав новые конкурсы.
VII.Рефлексия.
19
В конце урока обязательно провести беседу с учащимися, в которой выяснить, что нового они узнали на уроке, понравилась ли им
игра, что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее.
ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМЫ
5 класс
Цели:
1. Провести диагностику усвоения стандартной системы знаний и
умений каждого ученика на заключительном этапе изучения темы.
2. Научить обобщать и систематизировать знания, осмысливать
материал, делать выводы по материалу обязательного уровня.
3. Содействовать рациональной организации труда; введением
игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать
познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в
выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища.
Содержание темы. Данная тема по программе 5 класса любого
действующего учебника по математике из Федерального комплекта.
Тип урока. Интегрированный тематический зачет с дидактической игрой «Космическое путешествие».
Организационные формы общения. Индивидуальная, групповая.
Структура урока:
1. Мотивационная беседа, которая завершается постановкой
интегрирующей цели - игровой замысел.
2. Сообщение правил игры.
3. Игровые действия, включающие актуализацию опорных знаний.
4. Игровые действия, включающие познавательное содержание
и диагностирующие уровень усвоения системы знаний и умений
каждого учащегося по заданной теме на этом этапе обучения.
5. Подведение итогов игры, урока.
6. Домашнее задание.
7. Рефлексия.
Ход урока
I.Мотивационная беседа.
20
Основа беседы - направленность на приобретение прочной базовой подготовки, сознательное овладение учащимися системой
математических знаний и умений, необходимых в повседневной
жизни и достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Объявляется тема урока: «Площади и объемы»,
форма его проведения - дидактическая игра «Космическое путешествие».
II.
Правила игры.
Для того чтобы начать игру, необходимо провести выборы командира
корабля, штурмана, бортинженера, остальные ученики - космонавтыисследователи, которые будут работать по различным направлениям:
исследовать атмосферные явления, проводить биологические
эксперименты, изучать космическое пространство. Теперь о корабле,
в нем три отсека: 1 -й отсек с системой жизнеобеспечения, где
находятся запасы воздуха, воды, пищи, там же находятся каюты
исследователей и экипажа; 2-й отсек- приборный, где с помощью
приборов производится радиосвязь, телесвязь, проверяется работа
двигателей; 3-й отсек - отсек спускаемого аппарата, в котором работают командир и штурман, здесь же работают исследователи пространства. Нетрудно догадаться, что в 1 -м отсеке работают биологи,
во 2-м- метеорологи, а связь осуществляется с помощью радио и
телевидения. Полет начинается, а значит, начинается серьезная работа, которая должна для всех закончиться сдачей зачета. (Правила
игры сообщены, чем задается психологический настрой, снимается
нервно-психическое напряжение. Правила помогают направлять
процесс и регулируют поведение детей и их взаимоотношения между
собой.)
III. Актуализация опорных знаний.
Учитель объявляет о начале выборов командира корабля,
штурмана, бортинженера (консультантов), знакомит с правилами
проведения этих конкурсов:
1. Командир корабля должен знать очень много о космосе, о
космическом корабле, знать математические формулы и уметь их
применить в полете.
21
- Перед вами пентамино. Эта игра требует внимания, терпения,
сообразительности, хорошо тренирует воображение и логику мышления, а эти качества как раз помогут вам в дальнейшем при изучении
новых предметов в старших классах - черчении и геометрии.
Требуется сложить из фигурок пентамино космонавта и ракету. Найти
их площадь. Командиром станет тот, кто выполнит эти задания
правильно.
2. Штурман - специалист по управлению кораблем, он прокладывает курс, отмечает движение корабля по карте, а значит, он
должен знать, как вычислить расстояние, скорость, время, должен
уметь ориентироваться в космическом пространстве. Участникам
конкурса требуется ответить на следующие вопросы:
1)С какой скоростью можно вывести космический корабль на
орбиту Земли?
2) С какой скоростью можно вывести корабль на Солнечную
орбиту?
3) С какой скоростью можно вывести корабль за пределы Солнечной системы?
4) Скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца 30 км/с.
Какой путь пройдет по орбите Земля за время нашего урока?
Штурманом станет тот, кто ответит на большее количество вопросов правильно.
Бортинженер - специалист в области техники на корабле, значит, он
22
должен уметь различать виды кораблей, уметь работать с
двигателями, с различными приборами, осуществляющими
полет корабля. Требуется выполнить задание: найти объем фи
гуры, изображенной на рисунке. Бортинженером станет тот, кто
правильно и быстро выполнит работу.
Экипаж корабля есть, корабль готов к полету. Остальные ребята космонавты-исследователи, работающие по трем направлениям:
1-й ряд - метеорология (наука об атмосферных явлениях);
2-й ряд- биология;
3-й ряд- исследование космического пространства.
Командир корабля контролирует 1-ю группу исследователей,
бортинженер - 2-ю группу, штурман - 3-ю группу, экипаж работает со
своими группами.
IV. Игровые действия.
Учитель вместе с участниками игры выходит на связь с центром
управления полетом.
Магнитофон. Внимание! Внимание! Говорит межгалактический
центр управления полетом! Ваш корабль будет выведен за пределы
Солнечной системы. Вы, посланники Земли, проведете в космосе
много лет. Время полета будет использовано для дальнейшего
совершенствования и углубления ваших знаний.
Внимание! Внимание! Занять места согласно предписаниям.
Начинаем отсчет времени: 5, 4, 3, 2, 1. Старт! Удачного полета!
Ученикам предлагается начать работу в тетради: записать
23
число, классная работа, зачет.
Компьютер . На связи центр управления полетом. Прослушайте
первое задание. Запишите формулу пути. Что означают входящие в
нее буквы? Доска-монитор подробно сообщит вам задание (на парте
есть карточки, дублирующие задание на доске).
1-я группа.
1. Расстояние от Земли до Солнца 150 000 км. За какое время
дойдет до Земли солнечный свет, если его скорость 300 000 км/с?
2. Во время солнечного затмения в 1981 году лунная тень прошла
по территории нашей страны за 105 минут 7350 км. С какой
скоростью перемещалась тень Луны?
3. Летчик-космонавт Павел Романович Попович находился в
полете 70 часов, скорость его корабля была 8 км/с. Какой путь
прошел его космический корабль?
2-я группа.
1. Человеческая кровь, двигаясь по артериям, прошла 1120 см
за 56 сек. Какова скорость движения крови?
2. Стрелка спидометра велотренажера показывала скорость
4 м/с в течение 3240 секунд. Какой путь проделал бы велосипедист
с такой скоростью за это время?
3. Человек заметил вспышку молнии на расстоянии 3996 км.
Через какое время он услышит гром, если скорость распространения
звука 333 м/с?
3-я группа.
1. Летчик-космонавт Николаев находился в полете 93 часа, скорость его корабля 8 км/с. Какой путь пролетел его космический корабль?
2. Искусственный спутник Земли обнаружил, что в космосе
существует солнечный ветер, его скорость вблизи Земли 450 км/с.
За какое время ветер проделает путь в 135 000 000 км?
3. Космическая станция прошла расстояние до Луны, равное
396 000 км за 33 часа, а затем ушла в межпланетное пространство.
С какой скоростью она двигалась до Луны?
Компьютер. На связи центр управления полетом! Послушайте
24
второе задание. Запишите формулу площади квадрата. Что означают
входящие в нее буквы? Внимание на доску!
1-я группа.
Самое крупное землетрясение на земном шаре было зарегистрировано на территории, имеющей площадь квадрата со стороной 21
км. Какова площадь территории?
2-я группа.
Сколько человек можно разместить в квадрате со стороной 100 м,
если на 1 м2 могут поместиться 4 человека?
3-я группа.
На фотографии, сделанной в космосе, исследователи увидели
необычное светлое пятно, имеющее форму квадрата со стороной 25 м.
Найти площадь светлого пятна.
Компьютер. На связи центр управления полетом! Послушайте
третье задание. Запишите формулу площади прямоугольника. Что
означают входящие в нее буквы? Смотрите задание на мониторе.
1-я группа.
Очень сильный шторм нанес большие разрушения на площади,
имеющей форму прямоугольника размерами 1200 м и 1750 м. Найти
площадь участка.
2-я группа.
Найти площадь помещения, где находятся велотренажеры, если
оно имеет форму прямоугольника размерами 2500 см и 1700 см.
3-я группа.
Через иллюминаторы космонавты увидели полярное сияние на
территории, имеющей форму прямоугольника, длина которого 152 км,
а ширина 156 км. Найти площадь.
Компьютер Послушайте четвертое задание. Запишите формулу
объема куба. Что означают входящие в нее буквы? Внимание на
доску!
1-я группа.
Найти объем куба с ребром 30 см, в который помещен метеорологический зонд.
2-я группа.
25
Найти объем аквариума с золотистыми водорослями-хризофатами,
если он имеет форму куба с ребром 50 см.
3-я группа.
Найти объем космической станции, имеющей форму куба с ребром
40 см.
Компьютер. Последнее задание. Внимание! Запишите формулу
объема прямоугольного параллелепипеда. Что означают входящие в
нее буквы? Желаю удачи!
1-я группа.
Найти объем отсека, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если а = 3; в = 2; с = 5.
2-я группа.
Найти объем отсека, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если а = 7; в =4; с = 2.
3-я группа.
Найти объем отсека, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если а = 6;в = 3;с = 5.
V.
Подведение итогов урока.
Сообщение из центра управления полетом подводит итог игре.
Магнитофон. Центр управления полетом благодарит исследователей и экипаж за четкие действия и слаженную работу. Все
члены экипажа и космонавты-исследователи получают зачет по
результатам исследований.
Домашнее задание.
Ученики получают творческое домашнее задание: «Запишите
задания для следующего сеанса связи: придумать задачу для соседа на
'Нахождение объема куба (тренировка для следующего полета);
подобрать пример на применение порядка действий».
VI.
VII. Рефлексия.
Из центра управления полетом пришла телеграмма: «Командиру
экипажа тчк подтвердите итог работы вашей группы-метеорологов
26
тчк какие вопросы вы решали во время полета зпт с помощью каких
формул вопрос
Бортинженеру тчк какие возникли трудности в процессе работы у
вашей группы вопрос
Штурману тчк какие задачи вы решали зпт какими методами
вопрос
Ответ телеграфируйте тчк».
С учащимися обсуждается работа на уроке; выясняется, что нового
узнали, с помощью каких формул.
ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
6 класс
Цели:
1. Обобщение и систематизация знаний. Обогащение знаний,
установление связей теории с практикой.
2. Научить обобщать знания, осмысливать материал, анализировать, наблюдать, делать выводы.
3. Содействовать рациональной организации труда; введением
игровой ситуации снять нервно-психическое напряжение; развивать
познавательные процессы.
Тип урока. Урок обобщения и систематизации с дидактической
игрой «Математический экскурс».
Структура урока:
1. Мотивационная беседа, которая завершается постановкой
интегрирующей цели - игровой замысел.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Воспроизведение особенностей объектов экскурсий.
4. Домашнее задание.
5. Подведение итогов.
27
6. Рефлексия.
Оформление:
1. Высказывание Г. Вейля: «Простые числа остаются всегда готовыми ускользнуть от исследователя».
2. Лента с рядом натуральных чисел.
3. Таблица простых чисел.
4. Портреты Пифагора, Эйлера, Евклида, Ферма, Чебышева.
5. Дружественные числа из 152 цифр, записанные на ленте.
6. Таблица совершенных чисел.
7. Таблица для гипотезы Гольдбаха.
8. Таблицы с магическими фигурами.
9. Таблицы с диковинными числами.
10.
Таблицы с магическими фигурами.
Ход урока
I. Мотивационная беседа.
Учитель. Приглашаем вас на экскурсию в мир чисел. Может быть,
с его помощью, хотя бы в малой степени удастся передать ощущение
чар математики, которое испытывают те, кто избрал ее своей
специальностью. Каждый маршрут нашего экскурса начинается
«внизу в долине», т. е. с самого понятного вам, однако потом
попадаются места, для преодоления которых требуются кое-какие
навыки.
ІІ.
Актуализация опорных знаний.
Учитель. В старину на Руси говорили, что умноженье- мученье, а с
деленьем - беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно делить,
считался большим математиком. Ведь в школе тогда учили только
сложению, вычитанию, таблице умножения. Делимость интересовала
математиков уже в глубокой древности. Особое внимание они
уделяли простым числам. Итак, начинаем 1-й маршрут, где вы
28
вспомните, какие числа называются простыми, как их найти, сколько
их. И узнаете, какие есть среди них удивительные числа.
Хорошо бы, если бы эти числа можно было сосчитать! Но это не
так. Греческий ученый Евклид в своей книге «Начала» утверждал
следующее: «Самого большого числа не существует». Если бы на
ленте, где выписаны натуральные числа, в тех местах, где простые
числа записаны, зажечь фонарики, не нашлось бы на ленте места, где
была бы сплошная темнота. Фонарики на ленте расположены очень
причудливо. Между ними есть только одно простое число- четное, это
2, а остальные нечетные. 2 и 3 последовательные натуральные числа,
наименьшие простые - такая пара единственная, где одно число
четное, а другое нечетное. Два последовательных нечетных числа,
каждое из которых является простым, называются числамиблизнецами, например: 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31.
Сообщение ученика о числах-близнецах.
Учитель. Посмотрите на ленту простых чисел и найдите еще
числа-близнецы. До сих пор неизвестно, есть ли самые большие
числа-близнецы или нет, до сих пор нет ответа на вопрос: существует
ли бесконечно много пар простых чисел-близнецов.
Учитель. Первым глубокие исследования о том, как разбросаны
простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий
русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и
руководитель математических исследований XIX века. До сих пор
математики не знают формулы, с помощью которой можно получить
простые числа одно за другим, нет даже формулы, дающей только
простые числа.
Так как простые числа играют важную роль в изучении всех
остальных чисел, то надо было бы составить их список. Над тем, как
составить список, задумался живший в III веке до нашей эры
александрийский ученый Эратосфен.
Сообщение ученика о «решете Эратосфена».
Имя Эратосфена вошло в науку в связи с методом отыскания
29
простых чисел. В древности писали на восковых табличках острой
палочкой - стилем, поэтому Эратосфен «выкалывал» составные числа
острым концом стиля.
После выкалывания всех составных чисел таблица напоминала
решето. Отсюда название «решето Эратосфена».
Ученик рассказывает последовательно, как составлялась таблица.
Учитель. Второй маршрут нашего экскурса- это история о
дружественных числах, которая ведет из дворца багдадского халифа в
современные вычислительные центры.
Сообщение ученика о дружественных числах.
В древности было замечено, что числа 220 и 284 обладают удивительным свойством: сумма собственных делителей числа 284 равна
220, а сумма собственных делителей числа 220 равна 284. Эту пару
чисел назвали парой Пифагора. А сами числа - дружественными.
Отысканием таких чисел занимались в разное время различные
ученые, а занятие отыскания называли охотой за дружественными
числами. Узнать какой-нибудь способ получения дружественных
чисел - задача, представляющая трудность и в наши дни.
Пифагор нашел пару 220 и 284 около 500 лет до нашей эры, а
следующую пару нашел ибн аль Бана в 1300 году. Декарт свою пару
отыскал в 1638 году и до 1750 года непревзойденным рекордсменом в
этом старом виде спорта в математике - охоте за дружественными
числами - был Леонард Эйлер. Он отыскал 59 таких пар. До 1946 года
Эскот нашел 219 пар. До 1948 года Пуле нашел 108 пар, а в 1972 году
Элвином Дж. Ли было найдено 390 пар. Но этот ученый прибегнул к
помощи ЭВМ. В настоящее время известно около 1100 пар
дружественных чисел.
Сообщение ученика о совершенных числах.
Не менее интересным свойством обладают другие числа. Еще в
древности было замечено, что существуют числа, равные сумме своих
30
делителей, кроме самого себя.
Делители числа 6- это числа 1, 2, 3, 6. Нетрудно проверить, что их
сумма без самого числа 6 равна 6. Делители числа 28 - числа 1, 2, 4, 7,
14, 28. И здесь проверкой легко установить, что сумма всех делителей
без самого числа 28 равна 28. Найдите делители числа 496 и
проверьте, обладает ли оно этим свойством. То же самое проделайте с
числом 8128. Эти числа тоже обладают таким свойством. А вот
сделать
подобную
проверку
для
числа
33550336
без
микрокалькулятора уже сложно.
Античные математики считали очень важным рассматривать
число вместе с его делителем. При этом в качестве меры использовалось не количество,' а сумма собственных делителей, которую
сравнивали с числом.
Делители числа 10 - 1, 2, 5. Их сумма равна 8, считали, что это
недостаток, так как 8 меньше 10. Делители числа 12 - 1, 2, 3, 4, 6. Их
сумма равна 16, что считали избытком. А числа, у которых сумма
делителей равна самому числу, особенно ценили и называли их
совершенными.
Точно неизвестно, где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они уже были известны в Древнем
Вавилоне и в Древней Греции. Во всяком случае до 5 века нашей эры
в Египте был известен пальцевой счет, при котором на руке
безымянный палец загибался, если число было совершенным, поэтому
безымянный палец получил привилегию носить на себе кольцо.
Учитель. О дружественных и совершенных числах современная
математика вспоминает с улыбкой, как о детском увлечении, а
введенные Пифагором понятия простого и составного числа являются
до сих пор предметом исследований. Наш третий маршрут об этом.
Сообщение ученика о проблеме Гольдбаха.
Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо
простым, либо произведением нескольких простых чисел. А что
будет, если простые числа складывать?
Живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил
31
складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил
удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное
число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения:
1 + 3 = 4; 1 + 5 = 6; 1 + 7 = 8; 3 +7 = 10; 5 + 7 = 12; 3 + 11 = 14;
3+13= 16; 5+ 13= 18; 3+ 17= 20; 11 + 11 = 22; 11+ 13= 24; 13 + 13 = 26;
23 + 5 = 28; 23 + 7 = 30; 19 +13 = 32 и так далее.
О своей наблюдении Гольдбах написал великому математику
Леонарду Эйлеру, который был членом Академии наук. Это предположение до сих пор не доказано и не опровергнуто. Оно лишь
проверено для всех четных чисел до 1000.
Учитель. Четвертый маршрут расскажет о магических фигурах.
Сообщение ученика о магических квадратах.
Первые сведения о магических квадратах встречаются в литературе, написанной задолго до нашей эры. Старейший магический
квадрат в современной записи выглядит так:
Суммы чисел каждой строки и каждого столбца, каждой из
главных диагоналей одинаковы.
Высказано предположение, что для любого натурального числа,
большего 3, существует бесконечно много магических квадратов,
составленных из различных простых чисел.
32
III. Домашнее задание.
А вот еще одна задача - сказка о принцессе и солдате. Послушайте
ее и попытайтесь дать ответ на вопрос, поставленный в ней.
Однажды мастер получил определенное количество жемчужин,
чтобы изготовить украшение принцессе. Обдумывая модель изделия,
33
мастер разложил все жемчужины на 9 неравных кучек так, чтобы
образовался магический квадрат «три на три» относительно
количества жемчужин в кучках. Принцесса восхитилась такой моделью украшения, но все-таки выразила недовольство тем, что ни в
одной кучке количество жемчужин не является простым числом.
Мастер попросил еще 9 штук. Чтобы все числа в образованном
магическом квадрате были простыми, он обещал добавить в каждую
кучку по одной жемчужине. Проверили по таблице простых чисел. И
верно! Но вдруг осмелился в разговор вступить солдат из дворцовой
охраны. Он посоветовал принцессе поступить иначе. Предложил взять
из каждой кучки по одной жемчужине, тогда опять числа будут
простые. Принцесса так и сделала. Солдат оказался прав и в награду
за наблюдательность и математическую находчивость получил эти 9
жемчужин. Сколько жемчужин было выдано мастеру первоначально?
Подумайте и на следующем уроке ответите мне на этот вопрос.
Итог урока.
Учитель. Вот и закончился наш экскурс, где мы познакомились с
самыми капризными и строптивыми из всех объектов в математике.
Хочу напомнить, что начали мы с известных нам понятий, а затем
обнаружили, что вопросами, связанными с этими числами, занимается
современная математика.
«Эта наука, как многолетний дуб, раскинула такие могучие ветви,
что ни один математик, даже «самый маститый», уже не в силах
изучить всю математику в целом, а избирает лишь какую-нибудь ее
ветвь», - говорил А.И. Маркушевич.
А вот мы с вами сегодня выбрали ветвь простых чисел.
IV.
V.Заключительная беседа.
- Что нового узнали?
- Что понравилось на уроке?
- Что не понравилось?
- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?
34