конструирование объектов с заданными свойствами из

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ «КОНСТРУИРОВАНИЯ ОБЪЕКТА
ИЗ ЗАДАННЫХ ЧАСТЕЙ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ»
(на примере задач вероятностного содержания)
Удовенко Л.Н.,
Концепцией развития математического образования в Российской
Федерации [1] четко обозначены проблемы, решение которых является
первоочередным. Остановимся на проблеме содержательного характера,
считая ее центральной для математического образования. При этом помимо
отбора содержания учебного математического материала крайне важно
осуществить разумный выбор общих и специальных методических подходов,
методов, средств и приемов обучения математике, согласующихся с
дидактическими принципами, направленными на формирование логического
мышления. В этой связи новую жизнь получила идея использования
активных методов в обучении.
Анализ сущности активных методов в обучении математике приводит
нас к необходимости обучения решению математических задач через
осмысление их сути. Понимание общности в подходах к решению задач
одной области позволяет выйти на уровень их анализа с последующей
деятельностью по решению задач из других областей знания и практики,
связанной с «классификацией объектов, конструированием объектов с
заданными свойствами из заданных частей, построением логических схем,
программ деятельности, использованием при решении задач преобразований
и инвариантов и т.д.» [2, С. 216]. Данный подход (Н.Я. Виленкин, А.Я. Блох)
получил название «логического конструирования», а сам термин «логическое
конструирование» нашел применение в отношении разнообразных задач, в
которых требуется описать общую схему, основные этапы построения
некоторого объекта в форме последовательности конечного числа
допустимых по условиям задачи действий, или, наоборот, найти сам процесс
построения объекта по исходным данным.
Рассматривая лишь один из аспектов логического конструирования,
связанный с алгоритмической деятельностью через «конструирование
объектов с заданными свойствами из заданных частей, построение
логических схем, программ деятельности», можно увидеть как данный
подход помогает в решении отдельных математических задач и позволяет
применять освоенные алгоритмические действия к решению более широкого
круга задач, в том числе и нематематических.
Применение логического конструирования при обучении математике
может представлять методическую ценность и для учителя, и для
обучаемого, если освоение математических понятий происходит черезих
понимание и применение.
В этой связи важнейшими понятиями логического конструирования
являются: понятия «часть» и «целое» и отношение «часть - целое», которое
сравнимо с отношениями «множество – подмножество», «множество –
элемент», но не инвариантно ему. Отношение «часть – целое» предполагает
рассмотрение ряда задач, возникающих при детальном его рассмотрении.
Это задачи расчленения на части, могут быть рассмотрены такие их типы:
а) выделение и узнавание частей; б) подсчёт числа частей, обладающих
определённым признаком. Решение любой задачи начинается с анализа её
условия и требования, этот этап начинается с расчленения на части.
Задачи классификации, занимая центральное место в логическом
конструировании и будучи тесно взаимосвязанными с отношением «часть –
целое», имеет свою специфику. Эти задачи можно условно разбить в
зависимости от характера действий с предметами: а) нахождение одного или
нескольких предметов из заданной совокупности, обладающих заданным
свойством (отбор по признаку); б) указание множества предметов, каждый из
которых имеет заданные свойства (наполнение класса); в) отыскание свойств,
позволяющих разбить множество на классы; г) разбиение множества на
классы по иерархическому принципу; д) булева классификация данного
множества; е) установление соответствий по признакам «элемент –
свойство»; ж) упорядочивание в группах (ранжирование); з) поиск элементов
по
системам
признаков,
установление
семейства
признаков,
идентифицирующих данное множество [2, С. 217], и) конструирование
объекта с заданными свойствами; к) отыскание объекта данной
совокупности, не обладающего заданными свойствами.
Задачи на конструирование объекта из заданных частей с заданными
свойствами по отношению к задачамклассификации могут рассматриваться
как обратные к ней. Если основная задача классификации состоит в
естественном представлении объекта в виде описания соотнесения его
частей, то конструирование объекта означает нахождение способов его
построения по заданному набору частей или по общему описанию. С этой
операцией в значительной степени связано изучение большого числа
понятий, изучаемых в школе. На основе её использования решаются многие
задачи, такие, например, как задачи на построение. Конструирование объекта
из заданных частей используется в построении определений, при
доказательствах различных типов теорем, в частности, теорем
существования. Согласно Дж. Гилфорду [3], эту операцию целесообразно
рассматривать: а) по характеру операций; б) с точки зрения полноты набора
частей конструируемого объекта.
Так получаем таблицу 1, содержащую двенадцать типов заданий.
Учитывая характер предъявления заданий, имеем два принципиально
различных случая: 1) учащимся предъявляется образец целого, которое
требуется сконструировать в виде рисунка, образа; 2) такой образец не
предъявляется. При обучении второй случай возможен на достаточно
продвинутых ступенях обучения [4, С. 98].
Таблица 1
частей
столько,
сколько
нужно
частей
больше,
чем нужно
частей
меньше,
чем нужно
геометрическое
конструирование
символьное
конструирование
понятийное
конструирование
сюжетное
конструирование
А
Г
Ж
К
Б
Д
З
Л
В
Е
И
М
Исследуя решения задач конструирования объекта из заданных частей с
заданными свойствами видим, что задачи на символьное и понятийное
конструирование носят более абстрактный характер по сравнению с задачами
на сюжетное и геометрическое конструирование, поэтому не все учащиеся
готовы их решать. Однако такие задачи все же присутствуют в курсе
математики начальной школы и 5-6 классов и имеют серьезное
пропедевтические
значение,
например,
задачи
на
символьное
конструирование:
1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 так,
чтобы каждая из них была использована только один раз?
2. Дано двойное неравенство: 35 <x< 38. Какие из предлагаемых
значений x = 5; 80; 4; 36; 18; 38 можно подставить в данное неравенство
так, что мы получим истинное утверждение.
3. Имеется неравенство: 15 <x< 16. Подставь натуральное x такое,
чтобы неравенство превратилось в истинное утверждение (верное
неравенство).
Или примеры задач на понятийное конструирование.
4. Из цифр 1, 2, 3, знаков «+», «-» составь какое-нибудь высказывание,
причём каждую цифру можно использовать только один раз. А теперь
составь истинное высказывание.
5. Маленькая Таня понимает, что означают слова: «взрослый»,
«высокий», «большой», «маленький», «умный», «человек». Как объяснить ей
с помощью этих слов, что такое «великан», «карлик», «мудрец»?
6. С помощью чисел 5 и 17 покажите выполнение сочетательного
закона сложения, переместительного закона сложения. С помощью этих
же чисел покажите выполнение сочетательного и переместительного
законов умножения.
Задачи на сюжетное и геометрическое конструирование чаще
ориентированы на практические приложения, что заставляет их решения
выстраивать как алгоритмы. Например, типичная задача сюжетного
конструирования вероятностного содержания:
7. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9,
вероятность поражения той же цели вторым стрелком – 0,8. Найдите
вероятность поражения цели, если оба стрелка выстрелят одновременно.
Исследование различных ситуаций, при которых цель будет поражена
или нет, дает три удовлетворяющие требованию задачи события и одно
неудовлетворяющее. Опишем их, введя обозначения (См. табл. 2) и
представив решение в виде схемы.
Таблица 2
𝒑𝟏 – вероятность попадания первого стрелка
𝒑𝟐 – вероятность попадания второго стрелка
̅ 𝟏 = 𝟏 − 𝒑𝟏
̅ 𝟐 = 𝟏 − 𝒑𝟐
𝒑
𝒑
– вероятность промаха первого стрелка
– вероятность промаха второго стрелка
Всевозможные события
первый
I:
II:
III:
IV:
первый попал
первый
первый попал
промахнулся
промахнулся
И
И
И
второй
И
второй попал
второй
промахнулся
второй попал
промахнулся
P(I)
P(II)
P(III)
P(IV)
– вероятность
– вероятность
– вероятность
– вероятность
наступления
наступления
наступления
наступления
события I
события II
события III
события IV
̅
𝑷 – вероятность
P – вероятность попадания
промаха
Схема
1 шаг
I
II
III
IV
первый попал
первый попал
первый промахнулся
первый промахнулся
И
И
И
И
второй попал
второй промахнулся
второй попал
второй промахнулся
По теореме умножения вероятностей находим P(I), P(II), P(III), P(IV)
𝑷(𝑰) = 𝑝1 ∙ 𝑝2
𝑷(𝑰𝑰) = 𝑝1 ∙ 𝑝̅2
𝑷(𝑰𝑰𝑰) = 𝑝̅1 ∙ 𝑝2
𝑷(𝑰𝑽) = 𝑝̅1 ∙ 𝑝̅2
2 шаг
цель поражена
цель не поражена
событие IИЛИ событие IIИЛИ событие III
событие IV
По теореме сложения вероятностей находим P
̅ = 𝑃(𝐼𝑉)
𝑷
P=P(I)+P(II)+P(III)
3 шаг
появляются два пути решения задачи
либо
либо
̅,
𝑷= 𝟏−𝑷
P=P(I)+P(II)+P(III)
т.к. I, II, III, IV составляют
полную группу событий