Кватернионы и их применение

Кватернионы и их применение
Актуальность проблемы:
В XXI веке активно развиваются нанотехнологии, которые объединяют в себе разные науки.
Ученые пытаются найти новые способы решения вечных проблем человечества, обращаясь для
этого к забытым темам. Часто оказывается, что непризнанные и невостребованные ранее теории,
находят новые применения и становятся важной частью современной науки.
Цель исследования:
Изучить кватернионы и их применение с точки зрения современной науки и доказать, что в
XIX веке их не могли оценить по достоинству.
Задачи исследования:
- знакомство с множеством гиперкомплексных чисел и их свойствами;
- изучение кватернионов как одного из видов гиперкомплексных чисел (история открытия,
операции, свойства);
-изучение применения кватернионов в различных научных сферах;
-доказательство недооценки кватернионов в XIX веке.
Предмет исследования:
Кватернионы, как вид гиперкомплексных чисел.
Гипотеза:
В отличие от XIX века, в современном мире кватернионы нашли много новых применений в
различных областях наук.
Обратимся к понятию комплексных чисел. Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение
множества вещественных чисел, обычно обозначается С. Любое комплексное число
может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i
— мнимая единица.
Ученые пытались найти такие числа, чтобы обычные арифметические действия над
такими числами одновременно выражали некоторые геометрические процессы в
многомерном пространстве или давали количественное описание каких-либо физических
законов. Эти поиски привели к открытию гиперкомплексных чисел.
Гиперкомплексные числа, обобщение понятия о числе, более широкое, чем обычные
комплексные числа. Другое определение гласит: Гиперкомплексные числа — это
конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
Свойства Гиперкомплексных чисел:
1) Подобно тому, как комплексные числа могут быть рассмотрены как точки на
плоскости, гиперкомплексные числа могут быть рассмотрены как точки в некотором
многомерном Евклидовом пространстве.
2) За исключением комплексных чисел, никакие из этих расширений не образуют
поля.
3) Согласно теореме Фробениуса, единственные гиперкомплексные числа, для
которых можно ввести деление (т.е. без делителей нуля) — комплексные числа, числа
Кэли и кватернионы.
Для того чтобы использовать Гиперкомплексные числа, надо в первую очередь
установить правила арифметических действий над ними. Сложение и вычитание
Гиперкомплексных чисел получают однозначное определение, если для новых чисел
сохранить обычные правила арифметики; именно, компоненты х1, х2,..., хп "базисных
единиц" должны соответственно складываться или вычитаться. Истинное значение
проблемы отчётливо выступает только при установлении правила умножения; для
установления почленного перемножения Гиперкомплексных чисел вида x1e1 + x2e2 +... +
хпеп (*) приходят к необходимости установить значения n2 произведений eiek (i = 1, 2,..., n;
k = 1, 2,..., n). Задача состоит в том, чтобы этим произведениям приписать значения вида
x1e1 + x2e2 +... + хпеп, сохраняющие в силе все обычные правила арифметических операций.
Важнейшая система Гиперкомплексных чисел — кватернионы — получается при
отказе от коммутативности (переместительности) умножения и сохранения остальных
свойств сложения и умножения чисел.
Кватернионы - это четверки действительных чисел (x; y; u; v), которые удобно
записывать в виде q = x + yi + uj + vk, где i, j, k – новые числа, являющиеся аналогом
мнимой единицы в комплексных числах. Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли
следующим соотношениям:
i 2  j 2  k 2  1, (1)
ij   ji  k , jk   kj  i , ik   ki  j , (2)
которые удобно записать в виде “таблицы умножения” (см. Приложение 2), например,
ij = k, а ji = -k.
По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся по
обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом правил (1)
и (2).
Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции
умножения. Оказывается, определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще
одно привычное качество: произведение кватернионов зависит от порядка сомножителей.
Построение кватернионов
Так же как комплексные числа разлагаются в сумму своей действительной и мнимой
частей, кватернион тоже можно разложить в сумму q = x + (yi + uj + vk). Первое
слагаемое в этом разложении называется скалярной частью кватерниона, а второе –
векторной частью. Скалярная часть х – это просто действительное число, а векторная
часть может быть изображена вектором r = yi + uj + vk в трехмерном пространстве, где i,
j, k мы теперь рассматриваем как единичные вектора прямоугольной системы координат.
Таким образом, каждый кватернион q представляется в виде суммы q = x + r, где x –
скалярная часть кватерниона q, а r – векторная часть. Если r = 0, то q = x и кватернион q
называется скалярным кватернионом. Если же x = 0, то q = r и q называется векторным
кватернионом.
Применения кватернионов
1) Применение кватернионов для описания движения манипулятора. С точки зрения
механики манипулятор представляет собой систему твердых (или упругих) тел, связанных
между собой посредством соединений с различными типами связей. В общем случае
звенья манипулятора совершают в пространстве сложное движение, которое обычно
рассматривают как совокупность поступательного движения некоторой точки тела,
принятой за полюс, и углового (вращательного) движения вокруг полюса. Таким образом,
движение тела в пространстве относительно базовой системы координат считается
заданным, если в произвольный момент времени заданы шесть его координат: три
координаты полюса плюс три координаты, определяющие угловое положение тела.
2) Применение кватернионов позволяет создать весьма удобный и наглядный
формализм для описания вращательного движения твердого тела. В течение длительного
времени кватернионы не находили какого-либо практического применения и служили
лишь примером формальной математической модели четырехмерной линейной алгебры.
Лишь в последние десятилетия аппарат кватернионов получил новое развитие благодаря
развитию теории конечного поворота твердого тела и целому ряду достоинств этих
параметров, проявляющихся при исследовании вращательного движения твердого тела.
3) Построение камеры в стиле Freelancer: Полное 3D вращение с использование
кватернионов. При объединении нескольких вращений вокруг разнообразных осей,
происходит блокировки Оси, которая в этом случае приведет к неправильным
результатам. Использование кватерниона для хранения вращения камеры может помочь в
решении данного вопроса.
Сначала, вводимые данные пользователя определяют, куда должна поворачивать камера,
вверх или вниз. Потом, создается новый кватернион, который сохраняет эту ось и
значение вращения вокруг нее. Наконец, это новое вращение объединяется с текущим
вращением камеры, и результат сохраняется уже как финальное вращение камеры.
4) Аппарат кватернионов может быть использован для описания метрики
Г.Минковского (1864-1909), инвариантной относительно преобразования Х.Лоренца
(1853-1928)
5) Применение кватернионов для описания электромагнитного поля. В 1867 году Тэт
выпустил свой «Элементарный трактат о кватернионах», где в кватернионной форме были
выражены важнейшие теоремы, использовавшиеся Максвеллом при построении теории
электромагнитного поля, – теоремы Остроградского – Гаусса, Стокса, Грина.
6) На рубеже XX века немецкий математик Фердинанд Фробениус доказал, что
алгебра кватернионов является последней по числу размерностей - исключительной алгеброй с «хорошим» умножением и делением. Исследования самых последних лет
показали, что этот факт, скорее всего, не случаен: сегодня последнюю «хорошую»
математику можно сравнить с могучим деревом, многочисленные ветви которого
представляют собой направления современной теоретической физики.
 Во-первых, кватернионы дают физикам идеальный прибор, с помощью которого
мы измеряем расстояние и время; в физике такой прибор называется системой. Пример
такого прибора - физическая лаборатория на поверхности Земли, которая вращается
вокруг своей оси, при этом движется вокруг Солнца по эллиптической орбите, а с
Солнцем - вокруг центра Галактики; и это - не все движения, список можно продолжить.
Если же обычные уравнения механики Ньютона записать в кватернионной системе
отсчета - переменном репере, то все «силы инерции» определяются автоматически и
легко, как бы сложно этот репер не вращался вокруг своего центра.
 Во-вторых, кватернионы «прекрасно знают» про теорию относительности. Ее
основные соотношения оказались заложенными в той самой формуле Гамильтона. Такая
теория возникает автоматически, когда изменения длин и интервалов времени измеряются
в переменном кватернионном репере. Отсюда сразу следует вся кинематика специальной
теории относительности. В «кватернионной теории относительности» удается решить
много новых задач, постановка которых в специальной теории Эйнштейна невозможна, а
в общей теории - чрезвычайно сложна.
 В-третьих, следствием кватернионной теории относительности является совсем
другая модель мира, не четырехмерная, а шестимерная, представленная симметричной
парой трехмерных пространств.
 В-четвертых, спиновые матрицы, подобранные Паулем, «случайно» оказались
кватернионными единицами. Однако естественная кватернионная геометрия оказалась
такой, что расчет в ней главной функции квантовой механики - гамильтониана - для
заряженной частицы, находящейся во внешнем магнитном поле, приводит к логическому
выводу слагаемого спинового взаимодействия, которое Паули записал из эвристических
соображений. Таким образом, теория спиноров также может трактоваться как следствие
существования математики кватернионов.
7) Кватернионы также используются в навигации. Рассматривая возможные
направления из полюса как разные расстояния от полюса (то есть широты) как разные
углы вращения, то получим пространство вращений. Сфера является двухмерной
поверхностью, и её можно представлять как часть гиперсферы, подобно тому, как
окружность является частью сферы, если представим вращение вокруг осей в плоскостях
x и y. При этом на гиперсфере угол вращения до экватора равен 180° (а не 90°); до
Южного полюса (с Северного) - 360° (а не 180°).
8) Оказалось, что кватернионы имеют особое значение для вычислений при разработке
компьютерных игр, которые включают трехмерные повороты, где кватернионы имеют
многочисленные преимущества перед матричными методами. Это делает их
незаменимыми в робототехнике, и машинном зрении, и в сверхбыстром графическом
программировании.
9) Кватернионы позволяют работать с преобразованиями перемещением, вращением и
масштабированием в MAXScript и точно рассчитывать вращения (см. Приложение 3).
10) Однако, кватернионы можно применить не только в различных областях наук.
Компьютерные программы позволяют преобразовывать системы уравнений с
кватернионами в изображения. Эти образцы можно использовать в искусстве, к примеру,
для создания декора помещения, тем самым, соединив математику с эстетикой (см.
Приложение 4-8).
Гамильтон и его последователи возлагали большие надежды на кватернионы. От
кватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел, и даже больше. И
действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их
математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Но
дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функционального исчисления
кватернионов не оправдались. Оптимизм сменился скепсисом, и математики перестали
интересоваться кватернионами.
Но в конце XX века начинают активно развиваться прикладные науки, появляются
машины, для описания движения которых ученые были вынуждены вновь обратиться к
забытым кватернионам. Кватернионы снова получили признание, когда стала известна их
роль в построении различных геометрических преобразований пространства,
используемых в квантовой физике и других науках.
Изучив историю кватернионов можно заявить о том, что открытие Гамильтона само по
себе опередило время, следовательно, в XIX веке кватернионы не могли быть оценены по
достоинству. Проведенные исследования доказывают, что в современном мире
кватернионы востребованы. Они нашли свои применения в различных областях наук,
прежде всего связанными с новыми технологиями.