Шипицын А. - Марийский государственный технический
реклама
230 ФИЛЬТРАЦИЯ КВАТЕРНИОННЫХ СИГНАЛОВ В УСЛОВИЯХ КОММУТАТИВНОСТИ ОПЕРАЦИИ ПЕРЕМНОЖЕНИЯ КВАТЕРНИОНОВ 1 А.В. Шипицын 2 2 Марийский государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола, пл. Ленина 3. Тел. (8362) 455412. E-mail: [email protected] Определен новый подкласс кватернионных сигналов – ротативно-компланарных, было выявлено, что согласованный с такими сигналами фильтр инвариантен к повороту фильтруемого сигнала вокруг вектора нормали к собственной плоскости, т. е. найдена коммутативная алгебра для кватернионов. Введение Ep ,q 0 , Объект, задаваемый на плоскости, при повороте не меняет свою форму, в то время как при повороте объемного объекта в пространстве его форма может измениться до неузнаваемости. Поэтому при вращении сигнала на плоскости мера схожести его с эталонным не меняется, сигналы же в пространстве этим свойством не обладают. Обработка трехмерных изображений и сигналов дает значительно больше информации нежели обработка плоских изображений, поэтому интерес к кватернионам, призванным для математического описания объемных объектов, вполне обоснован. В эпоху развития компьютерных технологий исследование свойств кватернионов получило новое дыхание. Хорошо известные комплексные числа используются для описания плоских изображений и сигналов и являются частным случаем кватернионов. Рассмотрим разницу пространств Сk и Е2k. Пространство Е2k известно нам со школьной скамьи как пространство действительных чисел с системой координат Х0Y. Мера схожести двух ортогональных векторов в нем равна 0. В то время как в пространстве Сk, где вектора описываются с помощью комплексных чисел, мера схожести таких сигналов дает нам результат, показывающий угол между векторами: Cp ,q 0 a i cos a i sin . 2 2 Поэтому обработка плоских изображений с помощью контуров в пространстве Сk является более эффективной, чем в пространстве Е2k. При контурной согласованной фильтрации проявляется замечательное свойство нормы скалярного произведения комплексных чисел – она не зависит от того повернут фильтруемый контур на какой-либо угол или нет. То есть контурный согласованный фильтр инвариантен в повороту эталонного или сигнального контура, следовательно, результат фильтрации не зависит от фазового сдвига сигнала. Основное отличие алгебры комплексных чисел от кватернионной алгебры – некоммутативность операции перемножения кватернионов a b b a . Представление произвольного поворота вектора в пространстве с помощью кватернионов представлено на рис. 1. Для v поворота кватерниона вокруг p на угол 2 произвольной оси необходимо и достаточно найти результат последовательного перемножения 1 1 кватернионов q , v и q , где q – кватернион обратный q 231 qvq 1 qv cos p sin ~ qv cos qv sin . связь этих кватернионов между собой основана на вращении и на наличии общей плоскости. Рис. 1. Представление произвольного поворота вектора в пространстве Проблема согласованной фильтрации кватернионных сигналов. На рис. 2 q2 кватернион получен вращением кватерниона q1 вокруг оси p на угол 2 . В пространственном отношении кватернион Рис. 2. Поворот вектора в пространстве q2 аналогичен по норме и по углу между q и p кватерниону q1 . Но при согласованной фильтрации обоих сигналов меры схожести с некоторым эталонным у них будут различными, и из-за этого при вращении сигнала результаты фильтрации меняются, хотя сам сигнал при этом остается одним и тем же. Поиск коммутативной алгебры для кватернионов Способ образования таких кватернионных сигналов, что при вращении их вокруг некоторой оси мера схожести с эталонным сигналом не менялась, приведен на рис. 3. Такие кватернионы носят название ротативно-компланарных (РК) кватернионов. Из названия следует, что Рис. 3. Образование РК кватернионов Образуются они следующим образом: зададим в четырехмерном пространстве вектор, описываемый кватернионом p1 , который образует с реальной осью координат угол 1 . Меняя угол , но не покидая при этом пределов плоскости, созданной реальной осью 0Re и вектором p1 (собственная плоскость РК кватерниона), получим множество векторов, лежащих в одной плоскости – эти вектора и будут описаны с помощью РК кватернионов. На предложенной иллюстрации приведены четыре РК кватерниона: p1 , p2 , p3 и p4 . Далее необходимо найти ось вращения для РК кватернионов такую, что при вращении вокруг неё кватернионы остались бы в той же плоскости, то есть нужно найти вектор нормали к собственной плоскости РК кватернионов. Для этого решается система из трех уравнений: q 0 b i c j d k , b1 b c1 c d1 d 0, 2 2 2 q b c d 1. Уравнения системы вытекают из условий: 1. Проекция вектора нормали на ось 0Re равна 0, так как реальная ось 0Re лежит в той же плоскости, что и РК кватернионы; 232 2. Скалярное произведение любого РК кватерниона с кватернионом, описывающим нормаль, должно равняться 0, так как они образуют угол 90˚; 3. Норма данного вектора нормали должна равняться 1 (для упрощения дальнейших расчетов ось имеет определенную длину). По результатам этих исследований можно сделать вывод, что если кватернионный сигнал состоит из ротативно-компланарных кватернионов, то согласованный с ним фильтр инвариантен к повороту вокруг вектора нормали, в то время как для произвольного сигнала поворот вокруг некоторой оси изменяет меру схожести этого сигнала с эталонным. Применение результатов исследования в теории радиотехнических сигналов Полученные результаты позволяют с определенными ограничениями упростить структуру устройства распознавания класса кватернионного сигнала и увеличить его быстродействие, то есть из схемы, приведенной на рис. 4, можно убрать блок корректора угла поворота, что значительно сократит как затраты времени на распознавание класса принятого сигнала, так и стоимость самого устройства. Рис. 4. Структура устройства распознавания класса сигнала КУП – корректор угла поворота, ФСП – формирователь скалярного произведения, Re – устройство выделения реальной части, ЭУ – устройство выбора экстремума, Q фильтруемый сигнал, P(0) ( M 1) - эталонные сигналы m классов. Но есть существенное ограничение: РК кватернионы составляют лишь малую часть от всего класса кватернионов. Заключение В результате проведенных исследований был обнаружен новый подкласс кватернионов, для которых операция перемножения кватернионов является коммутативной, а согласованная фильтрация таких сигналов становится инвариантной к повороту сигнала вокруг определенной оси, то есть эти кватернионы обладают теми же свойствами, что и комплексные числа. Список литературы 1. Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов/Я.А. Фурман, А.В. Кревецкий, А.К. Передреев, А.А. Роженцов, Р.Г. Хафизов, И.Л. Егошина, А.Н. Леухин; Под ред. Я.А. Фурмана. - М.: Физматлит, 2002. 2. Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов / Под. ред. Я.А. Фурмана. - М.: Физматлит, 2004. - 456с. 3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. - М.: Наука, 1973. - 144 с.
