Тема урока Метод оценки при решении уравнений и неравенств Методическая разработка урока (урок обобщения и систематизации знаний) МБОУ СОШ №4 г.Обнинска Учитель: Петрухина Мария Александровна Аннотация Без уроков обобщения и систематизаций знаний процесс усвоения учебного материала нельзя считать завершенным. Основная цель таких уроков заключается в усвоении учащимися взаимосвязей между понятиями, в формировании у них целостного представления об изучаемом материале, его применении в конкретных условиях. Отмечу ,что нахождение множества значений функции часто вызывает у учащихся значительные трудности. В то же время уравнения и неравенства, решаемые с помощью оценки левой и правой частей ,включены в ЕГЭ и здесь приходится находить множество значений, которые может принимать каждая часть уравнения или неравенства. Цели урока: — повторить свойства элементарных функций (нахождение области определения и множества значений); — познакомить учащихся с приемом решения нестандартных заданий путём оценки левой и правой частей уравнений, неравенств; —научить решать задачи ЕГЭ (часть С) ,применяя метод оценки; — развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации. Оборудование: карточки с заданиями , медиапроектор ,экран ,презентация Ход урока 1.Вступительное слово учителя Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность ,четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Если функция f(x) ограничена сверху ( f ( x) M ), а функция g(x) – снизу ( g ( x) M ), то уравнение f(x)=g(x) на ОДЗ равносильно системе уравнений M f ( x), M g ( x). Справка . Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант). Презентация .Слайд №2 Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции. Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта. 2.Повторение свойств элементарных функций ,используя их графики Презентация .Слайды №3-№8 10 10 Y 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 Y 9 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 -8 -9 -9 -10 -10 Y X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y X X 10 Y 9 10 8 9 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 Y X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 -8 -9 -9 -10 -10 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Назвать область определения и множество значений данных функций. 3.Устная работа Презентация .Слайд 9 Укажите множество значений функции: Ответы: а) б) (–∞; 5] ; в) [1; 2]; г) [1; +∞); д) [1; +∞); е) (–∞; 7) ∪ (7; +∞); ж) (–∞; 1) ∪ (1; +∞); з) (–∞; 5]; и) [3; +∞); к) [2; +∞); л) [1; +∞); м) (–∞; –1]. 4. Выберите из предложенных уравнений те, которые можно решить методом оценки. 1) x x 2 3 x ; 5) log 1/3 x = x2 + x – 13 ; 2) 2x = x + 1 ; 6) 3 cos(( x 1) cos 2 x) 3 log 14/ 2 ( x 2 x 1); 3) x 2 2 x 1 ln 2 (cos 2x) 0; 4) cos(2 x) = x2 – 2x + 2; x =1; 4 6 x y 1 3x 5 y 1 0. 7) cos x + sin 8) 5.Решим уравнения №4. cos(2 x) = x2 – 2x + 2 Решает учитель. Рассмотрим уравнение f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2 x) и g(x) = x2 – 2x + 2. а)f(x)= cos(2 x) - определена и непрерывна на R, Е( f ) = 1;1 ; б) g(x) = x2 – 2x + 2- определена и непрерывна на R, E ( g ) g в ; 1; ; в)наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение g(x) = 1, значит исходное cos(2x) 1, уравнение равносильно системе уравнений: 2 корнем второго x 2 x 2 1 ; уравнения является значение х=1, подставим данное число в первое уравнение: cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а следовательно и исходного уравнения. Ответ: 1. №3 и№6 решают ученики на доске под руководством учителя. №3 Решение x 2 2 x 1 ln 2 (cos 2x) 0, x 2 2 x 1 ln 2 (cos 2x), Получаем уравнение вида f ( x) g 2 ( x) . Очевидно, что f ( x) 0 и g 2 ( x) 0 при всех допустимых значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой части равно нулю и равно наименьшему значению правой части, значит, уравнение равносильно системе уравнений: ln 2 (cos 2x) 0, х = 1 является решением второго уравнения . Проверкой 2 x 2 x 1 0; убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения. Ответ: 1 №6 3 cos(( x 1) cos 2 x) 3 log 14/ 2 ( x 2 x 1); уравнение ЕГЭ. Решение Пусть(х-1)cos2x=t . 3 cos t 3 log 14/ 2 ( g ); рассмотрим функции у 3 cos t и f = 3 + log14/2 (g). E(y) = [0;3], E(f) [3; + ) , т.к. E(log14/2 ( g ) ) [0; + ) (в данном случае можно не находить правую границу множества значений функции f(g) ). Наибольшее значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части, следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений: 3 cos(( x 1) cos 2 x) 3, cos(( x 1) cos 2 x 1, 4 2 2 3 log 1 / 2 ( x x 1) 3; log 1 / 2 ( x x 1) 0. Решим второе уравнение: log1/2(x2 –x + 1) = 0, x2 – x + 1 = 1, x2 – x = 0, x( x – 1) = 0, x 0, x 1. Подставим найденные значения в первое уравнение: Х = 0, cos((0 1) cos(2 0)) cos(1) 1 x 0 не является корнем исходного уравнения; Х = 1, cos(0 cos 2) cos 0 1 1 - верно, значит, х = 1 – корень исходного уравнения. Ответ: 1 6.Решим неравенство Решить неравенство Решение. a)Оценим квадратичную функцию f = x2 – 4x + 5. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, значит, функция ограничена снизу. Найдем координаты вершины параболы: x0 = 2, t0 = 1. Тогда f≥ 1 при любом х б) в силу монотонности показательной функции. в) Оценим функцию g = 4x – 2 – x2. Эта квадратичная функция ограничена сверху, координаты вершины параболы: x0 = 2, q0 = 2. Следовательно, q ≤ 2. Исходное неравенство равносильно системе уравнений. Эти равенства верны при x = 2. Ответ: 2 7.Вывод Презентация .Слайд 10 Итак, уравнения следует решать методом оценки, если: В уравнении присутствуют функции разной природы (тригонометрические и показательные, показательные и логарифмические и т.п.); Эти функции ограничены; На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению другой. Примерная схема решения уравнений методом оценки: Свести уравнение к виду f(x) = g(x); Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения; Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему f ( x) A, значению другой, то составить систему уравнений g ( x) A; Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во второе уравнение, те значения переменной х , которые являются корнями двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения. 8.Задания для самостоятельного решения Презентация .Слайд 11 9.Подведение итогов