Решения 7 класс, 1 день

Решения
7 класс, 1 день
1. Четыре коровы и три козы за неделю съедают не менее 20 охапок сена.
Хватит ли шести коровам и пяти козам 30 охапок на неделю?
Ответ: не хватит.
Из условия следует, что 12 коров и 9 коз за неделю съедят не менее 60 охапок
сена. Значит, 12 коровам и 10 козам 60 охапок не хватит. Но тогда и 6 коровам и 5
козам не хватит 30 охапок.
2. По дороге идут два туриста. Один из них делает шаги на 10% короче, но при
этом на 10% чаще. Кто из туристов идет быстрее и почему?
Ответ: медленнее идёт тот, кто делает шаги короче и чаще.
Примем за a длину шага второго туриста, и пусть он сделал 10 шагов (прошёл
путь в 10a). Тогда первый за это время сделал 11 шагов длины 0,9 каждый и пройдёт
за это время 9,9a.
3. Существует ли двузначное число, которое вдвое больше произведения своих
цифр?
Ответ: существует.
Например, подходит число 36.
4. Можно ли фигуру, изображенную на рисунке,
разрезать
на 4 равные части, проводя разрезы только по границам
клеток?
Ответ: можно.
Как это сделать показано на рисунке:
5. На прямой выбраны четыре точки A, B, C и D, причём, AB=1, BC=2, CD=4.
Чему может быть равна длина отрезка AD? Укажите все возможные варианты.
Ответ: 1, 3, 5 или 7.
Обоснование ответа можно провести детальным перебором возможных случаев
взаимного расположения точек A, B, C, D.
Второе решение основано на нечетности расстоянии от A до D, максимально
возможное расстояние при этом – 7. Необходимо тогда примерами показать все
указанные в ответе варианты:
6. Вася написал четыре утверждения про натуральное число n: 1). "n3 делится
на 3", 2). "n3 делится на 9", 3). "n3 делится на 27", 4). "n3 делится на 81". Известно, что
из них хотя бы одно истинно, и хотя бы одно ложно. Можно ли однозначно
определить, какие утверждения истинны, а какие ложны?
Ответ: можно.
Если не верно первое утверждение, то n не делится на 3 и не являются верными
все остальные утверждения. Такая ситуация противоречит условию задачи.
Пусть первое утверждение верно, то есть n кратно 3. Отсюда следует, что верны
второе и третье утверждения. При этом четвертое утверждение может быть не верно
(например, при n = 3).
Значит, первые три утверждения верные, а последнее — ложно.
7. Миша предложил Васе сыграть в игру. На доске Вася и Миша написали
несколько целых чисел. Затем, по очереди называют пары чисел записанных на
доске. Если один называет пару, то записывает себе разность этих чисел, а противник
— их сумму. Предполагалось, что выигрывает тот, у кого сумма записанный чисел
больше, но при подведении итогов выяснилось, что у Васи сумма 2009, а у Миши —
2010, после чего Вася заявил, что Миша ошибся в подсчетах. Есть ли основания для
обвинений у Васи?
Ответ: да.
Для любых двух целых чисел a и b числа a – b и a + b имеют одинаковую
четность. Поэтому у мальчиков суммы должны стать одной четности. То есть кто-то
из ребят ошибся.
8. Приведите пример восьми последовательных натуральных чисел сумма цифр
каждого из которых не делится на 5. Докажите, что для девяти чисел такого примера
не существует.
Пример: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Рассмотрим девять последовательных чисел. Если пятое по счету число
оканчивается на 0 и имеет сумму цифр S, то следующие за ним числа имеют сумму
цифр S+1, S+2, S+3, S+4 и одно из S, S+1, S+2, S+3, S+4 делится на 5. Это же
рассуждение можно провести, если на 0 оканчиваются с первого по четвертое числа.
Если шестое по счету число оканчивается на 0, то пятое оканчивается на 9. Пусть
пятое имеет сумму цифр S, тогда предыдущие ему числа имеют сумму цифр S-1, S-2,
S-3, S-4. Одно из S, S-1, S-2, S-3, S-4 делится на 5. Это же рассуждение можно
провести, если на 0 оканчиваются седьмое, восьмое, девятое, а также следующее за
всеми – десятое число (в последнем случае ни одно из девяти рассматриваемых чисел
не оканчивается на 0).
1.
8 класс, 1 день
Найдите x  y , если x  y  9 , x 2 y  y 2 x  6
3
3
Ответ: 3. Из формулы  x  y   x3  y3  3 x2 y  y 2 x   9  3  6  27 следует ответ.
3
2.
В некотором году три последовательных месяца содержали ровно по четыре
воскресенья каждый. Докажите, что один из этих месяцев – февраль.
Решение: Рассмотрим любые три подряд идущих месяца, среди которых нет февраля,
то в одном из них имеется 31 день, а значит, всего в них не менее 91 дня. Из любых
семи подряд идущих дней есть одно воскресенье. Значит, в этих трех месяцах должно
быть не менее 91:7=13 воскресений, то есть на какой-то месяц придется 5
воскресений. Поэтому, если три последовательных месяца в году содержат по 4
воскресенья каждый, то один из них – февраль.
3.
Можно ли провести из одной точки плоскости пять лучей так, чтобы среди
образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не
только между соседними лучами, но и между любыми двумя.
Ответ: да. Последовательно выпустим лучи: через 30 , 30 , 60 , 120 , 120 .
4.
Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре
треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании – стороне
квадрата
равен
15о.
Докажите,
что
противоположный
ему
треугольник
–
правильный.
Решение: Пусть квадрат ABCD и точка E
соответствует условию задачи. Рассмотрим
такой же квадрат KLMN, но точку P определим
так, что треугольник LMP – правильный. Легко
заметить, что треугольники AED и KPN равны. Отсюда следует равенство
треугольников CDE и MPN. Значит, равными будут CE, PM, BC, BF.
5.
Докажите, что если число a можно представить в виде суммы квадратов двух
различных натуральных чисел, то число 2a также можно представить в виде суммы
квадратов двух различных натуральных чисел.
Пусть a  m2  n2 , где m и n – натуральные числа и m  n . Тогда
2
2
2a  2m2  2n2   m  n    m  n  . Очевидно, что m  n  m  n .
6.
На доске 6  6 отметили 9 клеток звёздочками. Всегда ли можно вычеркнуть
три столбца и три строки так, чтобы все звёздочки оказались вычеркнутыми?
Ответ: всегда.
Во-первых, если, вычёркивая три столбца, удается зачеркнуть шесть звёздочек, то
далее можно выделить три строчки, в которых будут оставшиеся звёздочки. Заметим,
что это всегда можно сделать.
Отнесем к первой группе первый и второй столбец, ко второй – третий и четвёртый, к
третьей – пятый и шестой. Если какая-то группа содержит 5 звездочек, то столбцы
этой группы зачеркиваем, затем еще столбец, содержащий звёздочку и задача
решена. Допустим, что в группе 4 звёздочки. Тогда в четырёх столбцах из остальных
групп содержится 5 звездочек. По этому один из этих столбцов будет содержать, по
крайней мере, две звездочки – три столбца с 6 звёздочками получили. Остался
вариант при котором в каждой группе ровно по 3 звездочки. Но тогда в каждой
группе есть столбец, содержащий не менее двух звёздочек.
7.
На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть,
чтобы оставшееся число делилось на 9, и было самым большим?
Ответ: две последние тройки.
Оставшееся число будет делиться на 9, если на 9 делиться будет сумма его цифр.
Сумма цифр данного числа 24. Из двух чисел то больше у которого больше цифр.
Значит надо вычеркивать две тройки. Из двух десяти разрядных чисел то больше, у
которого в старших разрядах стоят большие цифры. Значит нужно стереть две
последние тройки.
8.
Высота AР, медиана BQ и биссектриса CR треугольника ABC пересекаются в
точке K. Известно, что PK = QK. Докажите, что и отрезок RK имеет ту же длину.
Решение. Так как точка K лежит на биссектрисе угла C, расстояние от нее до прямой
AC равно расстоянию до BC, то есть KP. Поскольку KP = KQ, отсюда следует, что KQ
⊥ AC. Значит, медиана BQ является также высотой и AB = BC. Тогда BK и CK —
биссектрисы треугольника, следовательно, AK — тоже биссектриса, а поскольку AK
— высота, то AB = AC. Таким образом, треугольник ABC — равносторонний и PK =
QK = RK.
9 класс, 1 день
1. Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а
тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками. Сколько стоила одна книга?
Ответ: 1 руб. 23 коп. Из первого условия следует, что одна книга стоила больше
чем 11/9 = 1,222... рубля, а из второго – что она стоила меньше, чем 16/15 = 1,2307...
рубля.
2. На столе стоят 16 банок, образуя квадрат 44. Известно, что в каждом
вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду и двух диагональных рядах
общий объем воды в банках равен 1 литру. Сколько может быть суммарно воды в
четырех угловых банках?
Ответ: 1 литр. Сложим объёмы воды в двух средних вертикальных рядах и двух
средних горизонтальных рядах, а потом вычтем из полученной суммы общий объём
воды на обеих диагоналях. В итоге получим 2 литра. При этом объём воды в каждой
банке, кроме угловых, один раз прибавился, а объем воды в каждой из угловых банок
был один раз вычтен. Если же сложить объёмы воды во всех 16 банках, получится 4
литра. Таким образом, удвоенный объём воды в угловых банках равен 4 – 2 = 2 л,
откуда и получается ответ.
3. Найдите все дроби числители и знаменатели которых являются
натуральными числами и дроби увеличиваются в пять раз, если их числитель
возвести в куб, а к знаменателю прибавить 12.
Ответ: 3/15 и 5/3. Пусть a/b – искомая дробь. По условию a3/(b+12) = 5a/b,
откуда после преобразований получаем (a2–5)b = 60. Перебирая квадраты, находим,
что a2 – 5 делит 60 только при a = 3 и a = 5, откуда и получаем ответ.
4. 2015 человек стоят по кругу. Каждый из них — рыцарь, всегда говорящий
правду, или лжец, который всегда лжёт. Каждый из 2015 человек сказал: «Все кроме,
возможно, меня и моих соседей — лжецы». Сколько может быть лжецов среди этих
2015 человек?
Ответ: 2013. Все лжецами быть не могут, поскольку тогда все говорили бы
правду. Возьмём рыцаря А. Все, не являющихся его соседями – лжецы. Оба соседа A
лжецами быть не могут, потому что тогда они говорили бы правду. Рыцарями оба
они тоже быть не могут, потому что тогда оба лгали бы. А вот случай, когда один из
них рыцарь, а другой — нет, возможен, что и даёт ответ.
5. За столом сидят несколько мальчиков и 5 девочек, а на тарелке лежат 60
булочек. Каждая девочка дала по булочке (с тарелки) каждому знакомому ей
мальчику, а каждый мальчик дал по булочке (с тарелки) каждой незнакомой ему
девочке. После этого оказалось, что все булочки розданы. Сколько было мальчиков?
Все знакомства двусторонние (если Таня знает Ваню, то Ваня знает Таню и
наоборот).
Ответ: 12. Все булочки будут также розданы, если не мальчики дадут по
булочке (с тарелки) каждой незнакомой девочке, а девочки дадут по булочке
каждому незнакомому мальчику. То есть каждая из 5 девочек даст по булочке
каждому мальчику и все будет выдано. Следовательно, мальчиков 12.
6. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD выбрана такая точка E, что AD =
BE, ADE = BEC и ECD = EDC. Докажите, что AD+BC > AB.
Заметим, что треугольник CDE равнобедренный и CE = DE. Следовательно,
треугольники AED и BCE равны по двум сторонам и углу между ними (AD = BE,
DE = EC и ADE = BEC). Тогда AE = BC, следовательно, AD+BC = BE+AE > AB,
что и требовалось.
7. Два равносторонних треугольника ABC и CDE имеют общую вершину (см.
рис.). Найдите угол между прямыми AD и BE.
Ответ: 600. Обозначим F – точку
пересечения прямых AD и BE. Треугольники
ACD и BCE равны по двум сторонам и углу
между ними. Отсюда следует, что углы FAC и
FBC равны, точки F, B, A, C – лежат на одной
окружности и искомый угол равен углу BCA.
8. Двое играют в такую игру. Вначале есть
кучка из n (n > 3) камней. За один ход можно
разделить кучку на три непустые кучки. Ходят по очереди, не имеющий хода
проигрывает. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его
партнёр? (Ответ может зависеть от n).
Ответ: выиграет первый игрок. При чётном n первому достаточно первым ходом
разделить кучку на одну из двух камней и две равных, а при нечётном n — на одну из
одного камня и две равных. Затем играть симметрично второму. Это получится,
потому что кучка из одного или двух камней на три непустых кучки не делится.
Математический бой №1, cтаршая группа.
1. Можно ли расставить в бесконечный ряд все целые числа таким образом, чтобы
сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась бы на 5? Ответ. Нет.
Решение. Возьмем любые четыре подряд идущие числа x1 , x2 , x3 , x4 сумма которых
делится на 5. Переходя к следующей (например, справа) четверке чисел
x2 , x3 , x4 , b легко получить, что b должно иметь одинаковый остаток от деления на
5 с числом x1 . Аналогично, рассматривая четверку a, x1 , x2 , x3 , получаем, что
число a должно иметь одинаковый остаток от деления на 5 с числом x4 . Таким
образом, остатки от деления на 5 любых чисел должны совпадать с остатками тех
2.
3.
4.
5.
четырех, которые были изначально выбраны. Так как всего различных остатков
пять, все целые числа не могут быть использованы.
Найти наименьший период T функции y = cos(cos(x)). Ответ. T   . Решение. Так
как f ( / 2)  1 , и при  / 2  x   / 2, f ( x)  1 , то T   . Проверим, что T =  :
f ( x   )  cos(cos( x   )) = cos( cos x)  cos(cos x)  f ( x) для всех x.
Найти все натуральные числа, равные сумме трех своих наибольших делителей
(не
совпадающих
с
самим
числом).
Ответ.
Все
числа
вида
60k – 54,60k – 42,60k – 18,60k – 6 , k  N . Решение. Пусть наименьшие
различные делители (не равные 1) искомого числа n равны a, b и c  a  b  c  . По
n n n
1 1 1
условию n    , или
   1 . Легко найти, что это уравнение имеет в
a b c
a b c
различных натуральных числах единственное решение: a = 2, b = 3 и c = 6.
Отсюда следует, что условию задачи удовлетворяют все натуральные числа,
которые делятся на 2 и 3, и не делятся на 4 и 5, а все такие числа имеют
вид: 60k – 54,60k – 42,60k – 18,60k – 6 , k  N .
Саша и Маша загадали по 2 натуральных числа. Затем каждый из них нашел
разность и частное своих чисел. Оказалось, что все найденные числа – также
натуральные, разность Сашиных чисел равна частному Машиных чисел, и
наоборот. Найти, чему равны найденные числа. Ответ. (2; 2), (2; 3), (3, 4).
Решение. Пусть Саша загадал числа a и b, Маша – числа c и d. Тогда, из условия,
a/b = n, a – b = m и и c/d = m, c – d = n. Отсюда b = m/(n – 1), d = n/(m – 1)
( n  2, m  2 ). Отсюда n  m  1 и n  m  1 , или n  1  m  n  1 . Если m = n, то b = d
= n/(n – 1). Так как n и (n – 1) взаимно просты, то n = m = 2 и, например, a = c = 4,
b = d = 2. Если m = n +1, то b = d = (n + 1) /(n – 1) = 1 + 2/(n – 1). В этом случае n =
2, m = 3 или n = 3, m = 4. Эти наборы чисел могут получиться, если a = 6, b = с = 3,
d = 1 или a = 6, b = 2, с = 4, d = 1 соответственно. Случай m = n – 1
рассматривается аналогично.
Прямоугольник размера a  b разбили прямыми, параллельными сторонам, на n 2
меньших прямоугольников (n вертикальных и n горизонтальных рядов). Часть из
этих прямоугольников покрасили так, что в каждом ряду (вертикальном или
горизонтальном) оказался ровно 1 окрашенный прямоугольник. Известно, что
площадь каждого из окрашенных прямоугольников не больше 1. Докажите, что
суммарная площадь окрашенных прямоугольников не больше (a + b)/2. Решение.
Пусть i – й покрашенный прямоугольник имеет размеры ai  bi (i  1,2,..., n) , тогда
n
a
i 1
i
n
 a,  bi  b
i 1
.
Так
как,
по
условию
aibi  1
,
то
n
n
a b ab
ai  bi
aibi  aibi 
(i  1,2,..., n) . Отсюда  aibi   i i 
2
2
2
i 1
i 1
6. Семь различных точек отмечены на окружности длины C. Три из точек являются
вершинами равностороннего треугольника, а другие четыре - квадрата. Докажите,
что по крайней мере одна из семи дуг, на которые данные точки делят
окружность, имеет длину, не большую C/24. Решение. Очевидно (из принципа
Дирихле), что найдутся две вершины треугольника, между которыми лежат две
вершины квадрата. Так как длина дуги, соединяющей соседние вершины
треугольника равна C/3, а для квадрата – соответственно C/4, то сумма длин двух
дуг, между соответствующими вершинами треугольника и квадрата, равна C/3 C/4 = C/12. Поэтому длина хотя бы одной из этих дуг не больше (C/12)/2 = C/24.
7. В треугольнике ABC провели биссектрисы AL и BM , при
этом оказалось, что описанные окружности треугольников
ALC и BMC пересекаются второй раз на стороне AB . Чему
может равняться угол C ?
Решение.
CL  LP; CM  MP; MPL  C; APL  MPB  180  C.
C
M
A
L
P
B
Отсюда APL  MPB  180  C   180  C   180  C . Значит, C  60 .
8. Из произвольной точки M , лежащей внутри данного угла с
вершиной A , опущены перпендикуляры MP и MQ на
стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на
отрезок PQ . Докажите, что PAK  MAQ . Решение.
APMQ
Четырехугольник
вписанный.
PAK  90  APK  90  AMQ  MAQ .
P
M
K
A
Q