Математика 1 Вариант № 31/ 02 ЗАДАНИЯ

Математика 1
Вариант № 31/ 02
А) ОТМЕТЬТЕ НОМЕР ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА В БЛАНКЕ ОТВЕТОВ
ЗАДАНИЯ
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
А1. Укажите все номера рациональных чисел данного множества: 1) 2. 4. 5 2) 3, 4, 5 3) 1, 4, 5
4) 1, 2, 4 5) 1, 2, 5
1
1)
 3; 2) ( 3 ) log1 / 3 49 ; 3) (125) 2 / 5 ; 4) ( 3  1) 0 ;
32
5)
39  12 3  3
Решение. Число ( 3  1) 0  1 рациональное, поэтому вариант 5
 log 7
вычеркиваем; ( 3 ) 1 / 3  3 3  1 / 7 - также рациональное
число, поэтому вычеркиваем варианты 2 и 3. Третье число можно
не рассматривать. Осталось рассмотреть первое или пятое. Число
log
1
32
 3
49
32
 3  2 рациональное.
34
Верен вариант ответа 4).
Вначале рассматриваем числа, для которых ответ ясен. Такая
тактика может дать выигрыш во времени, как в данном случае:
ответ найден без вычислений третьего и пятого чисел.
(125) 2 / 5  5 6 / 5  55 5 ;
39  12 3  3 = 6  3  3  6  2 3 .
А2. Упростите выражение
Решение.
a2 a 4
a2 a 4
a a 8
:
a4
a4 a 4

( a  2) 2

1)
1
4)
1
a 2
1
2)
1
2 a
1
5)
a4
a 2
3)
1
a4
( a  2)( a  2) ( a  2)( a  2 a  4)
a 2
Вариант ответа 4).
А3. Сумма корней или корень (если он единственный)
1) (1,95; 2,05)
2) 1,3; 1,4)
2
3)
3,3;
3,4)
4)
0,3; 0,4)
4 x  17 x  18
 x  5 принадлежат промежутку
уравнения
5)
2,3;
2,4)
x2
2
4 x  17 x  18  x 2  7 x  10, 3x 2  10 x  8  0,
Решение. 

 x  2;
 x  2;
5 1
4
x
; x   1,333 . Вариант ответа 2)
3
3
А4. Найдите скорость лодки в стоячей воде (в км/час), если за 1) 8 2) 9 3) 10 4) 11 5) 12
5 часов она прошла по реке 20 км и вернулась назад, а
скорость течения реки 3 км/час
Решение. х – скорость лодки в стоячей воде
20
20

 5  4( x  3)  4( x  3)  x 2  9  x 2  8 x  9  0;
x3 x3
( x  9)( x  1)  0  x  9. Вариант ответа 2)
19
19
9
А5. Сумма корней уравнения (3 49 x 4 ) 2 x  7 x 3 равна
1)
2)  3)  4) -19
4
4
4
Решение. 7 4 x ( x 4) / 3  7 x 3 ; 4 x 2  16  3x  9 ; 4 x 2  19 x  9;
5)19
19  D
38 19

x1.2 
; x1  x 2 
. Вариант ответа 1)
8
4
8
А6. Среднее арифметическое всех корней уравнения
cos 2 x  sin x  cos x  1, принадлежащих промежутку [ ;  ] ,
равно
Решение. sin x  cos x  1  cos 2 x; sin x cos x  sin 2 x; sin x  0

или cos x  sin x; x  n, n  Z или  k , k  Z . Среднее
4
3 

арифметическое чисел   ;0;  ; ; равно  .
4 4
10
Вариант ответа 4)
А7. Сумма ординат точек пересечения прямой x  2 y  3 и
параболы y  x 2  7 x  7 равна
Решение. x  3  2 y  y  (3  2 y) 2  7 x  7  4 y 2  y  5  0,
2
1
y1  y 2    
Вариант ответа 3)
8
4
А8. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного
y x
y x
  6 и осями координат
прямыми   2,
3 4
3 4
Решение. Вычтем из площади треугольника с вершинами
(0; 0), (-24; 0), (0; 18) площадь треугольника с вершинами
(0; 0), (-8; 0), (0; 6).
1
1
 24  18   8  6  192 . Вариант ответа 3)
2
2


А9. Даны векторы AB(4;5;3) и AC (m, n,6). Если точки А, В и
С лежат на одной прямой, то сумма m + n равна
Решение. Точки А, В и С лежат на одной прямой, поэтому


векторы AB(4;5;3) и AC (m, n,6) коллинеарны и их
m n
6
 
координаты пропорциональны
; m  8; n  10;
4 5 3
m  n  18. Вариант ответа 3)
А10. Если в прямоугольном треугольнике один из катетов
равен 12 см, высота, проведенная к гипотенузе, равна 4 5
см, то длина гипотенузы (в см) равна
Решение. Пусть угол С прямой, ВС = 12, высота СН = 4 5 .
Тогда по теореме Пифагора ВН = 8. Из подобия АВС и СВН
8
12

 AB  18 Вариант ответа 3)
12 AB
Для решения таких задач полезно знать такие теоремы:
ТЕОРЕМА. Катет является средним пропорциональным
между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
ТЕОРЕМА. Высота, опущенная из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника, есть среднее
пропорциональное между отрезками, на которые делит
гипотенузу.
С помощью этих теорем задача решается так: ВН = х, НА = у.
 x( x  y )  12 2 ,  x 2  80  144;  x  8;
x  y  18.



 xy  (4 5 ) 2 ;  xy  80;
 y  10.
1) 
4) 
1)

8

10
2) 0
5)

8
3) 
3
4
1
1
1
1
1
2) 3)  4) 5)
2
3
8
7
4
1) 186 2) 372 3) 192 4) 420
5)480
1) 12 2) -12 3) -18 4) -6 5) 9
1) 14 2) 16 3) 18 4) 20 5) 22
А11. Объем конуса равен 18 2 см3. Найдите длину
1) 6 2) 6 2 3) 12 4) 3 2
образующей конуса (в см), если угол между нею и
5) 9
плоскостью основания равен 45о
Решение. Н – высота конуса. Тогда радиус основания тоже
1
Н и H 2  H  18 2 ; H 3  54 2  33  ( 2 ) 3 ; H  3 2 .
3
Образующая равна H 2  3 2  2  6. Вариант ответа 1)
1) (0;14) 2) (14;+  ) 3)
А12. Укажите все значения параметра a  0 , при которых
(13;14) 4) (13;+  ) 5) (12;14)
a
графики функций y  7 x 2  ax и y  имеют только две
2
общие точки
a
a a2
2
Решение. 7 x  ax  0  x1  0; x 2   . Тогда (- ;
) 7
14 28
вершина параболы y  7 x 2  ax и графики функций
a
y  7 x 2  ax и y  имеют только две общие точки, если
2
2
a a
, т. е. 0  a  14. Вариант ответа 1)

2 28
Б) НАПИШИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ В НИЖНЕЙ ЧАСТИ БЛАНКА ОТВЕТОВ
15K 2  17 K  30
Б1. Укажите сумму всех целых K, при которых дробь
является также
5K  4
целым числом
Решение.
15K 2  12 K  5K  4  26 3K (5K  4)  (5K  4)  26
26

 3K  1 
.
5K  4
5K  4
5K  4
Целое число получим, если только 5K  4 равно одному из делителей 26.
-26
-13
-1
1
13
5K  4
-6
-1
17
3
9
K

5
5
5
26
22
5
Дробь является целым числом, если только K равно -6 и -1. Сумма значений -7.
Ответ: -7.
Замечание. Для того, чтобы успешно справляться с такими примерами необходимо уметь
работать с многочленами, в частности, уметь делить многочлены уголком, необходима
большая практика решения задач на делимость целых чисел. Целую часть дроби, конечно,
надо получать с помощью деления уголком.
( x  1)( x  2) x  7
Б2. Укажите наименьшее целое решение неравенства

( x  1)( x  2) x  7
Решение.
( x  1)( x  2) x  7

 0;
( x  1)( x  2) x  7
( x  1)( x  2)( x  7)  ( x  7)( x  1)( x  2)
 0;
( x  1)( x  2)( x  7)
 20 x 2  4 x
 0;
( x  1)( x  2)( x  7)
x(5 x  1)
 0;
( x  1)( x  2)( x  7)
Наименьшее целое, удовлетворяющее условиям  7  x  2 или  1  x 
равно -6.
1
или x  0 ,
5
Ответ: -6.
Б3. Найдите сумму корней уравнения x  1  2 x  2
Решение. x  1  2( x  2) . Если x  1  2( x  2) , то х = 5. Если x  1  2( x  2) , то х = 1.
Оба числа удовлетворяют уравнению, их сумма равна 6.
Ответ: 6.
Замечание. На раскрытие знаков модуля по полной схеме уходит слишком много времени
для такой легкой задачи. От них можно избавиться простым возведением в квадрат обеих
частей уравнения:
( x  1) 2  4( x  2) 2 ;
x 2  2 x  1  4 x 2  16 x  16;
5x  4
x
2
7
x
5x  4
2
5x  4
Решение. Замена
 t , t  0, приводит уравнение к виду 4t   7 ;
t
x
5x  4
4t 2  7t  2  0  t  2 
Ответ: 4.
 2  x  4.
x
Б4. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения 4
Б5. Найдите сумму целых решений неравенства (tg 2

)
7  2 x 3
 (sin 2
6
1 7  2 x 3
1 7  2 x 3 4 7  2 x 3
( )
 1;
Решение. ( )
;( )
3
4
3
7  2 x  3  0  7  2 x  0,7  2 x  9  1  x  3,5.
Сумма целых решений неравенства равна -1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5.

6
)
7  2 x 3
Ответ: 5.
Б6. Найдите сумму целых решений неравенства log 0,3 ( x  1)  log 0,3 ( x 2  4 x  5),
удовлетворяющих условию x  5
 x  1  x 2  4 x  5,
 x  1  0,

Решение. Неравенство равносильно системе  x  1  0,
Условиям 
x  5
 x 2  4 x  5  0.

удовлетворяют числа 0; 1; 2; 3; 4 и 5. Третье неравенство системы выполняется при всех
значениях переменной, а первому из этих чисел удовлетворяют только 0; 1; 4 и 5. Их
сумма равна 10.
Ответ: 10.
Б7. Найдите сумму всех целых чисел K, каждое из которых делится без остатка на 19 и
удовлетворяет условию  286  K  400
Решение. В сумме часть слагаемых взаимно уничтожится. Остальные слагаемые дадут
сумму 304 + 323 + 342 + 361 + 380 + 399 = 2109. Ответ: 2109.
2 sin   5 cos 
3

4 cos   sin 
2
Решение. 4 sin   10 cos   12 cos   3 sin  ,
Б8. Найдите tg , если
sin   2 cos  , tg  2. Ответ: -2.
Б9. Укажите в градусах значение угла arcsin(cos 510  )
Решение. arcsin(cos (360   150  ))  arcsin(cos 150  )  arcsin(cos (90   60  )) 
arcsin(  sin 60  )  60 .
Б10. Найдите наименьшее значение функции y 
Ответ: 

3
.
2
1
 x на отрезке [2; ]
x
2
2
 2 x, y   0  x  1. Наименьшее из чисел
x2
1
y (1)  3; y (2  5; y ( )  4,25. равно -5. Ответ: -5.
2
Образцы задач теста Математика-1
64
 x 2  4 x.
1. Укажите наибольшее целое решение неравенства 2
x  4x
64
 t  0,
Решение. С помощью замены t  x 2  4 x перепишем неравенство в виде
t
t 2  64
 0,
t
(t  8)(t  8)
 0,
t
t  8 или 0  t  8;
Решение. y   
x 2  4 x  8  0 или 0  x 2  4 x  8.
Неравенство ( x  2) 2  4  0 решений не имеет. Неравенство x 2  4 x  0 выполняется для
x  0 или x  4. Неравенство x 2  4 x  8  0 выполняется для 2  2 3  x  2  2 3.
Ответ: [2  2 3;0)  (4;2  2 3 ].
x  11
2. Найдите все значения параметра а, при которых графики функций y 
и
x  11
y  ( x  a) 2 имеют одну общую точку.
1, x  11,
Решение. График функции y  
представляет собой часть прямой y  1 и часть
 1, x  11
прямой y  1. Изменяя параметр а, будем перемещать параболу вдоль оси абсцисс слева
направо. При а = -33 парабола y  ( x  33) 2 пересекает прямую у = 1 в двух точках. При а
= -12 парабола y  ( x  12) 2 пересекает прямую у = 1 в двух точках, но одна из них не
принадлежит графику первой функции. При а = -10 парабола y  ( x  10) 2 не имеет
общих точек с графиком первой функции. Ответ: (-12; -10).
3. Стороны треугольника относятся как 3:6:7, площадь равна 100 5 см2. Найдите
периметр.
Решение. По формуле Герона площадь треугольника со сторонами 3k,6k и 7k равна
4 5 k 2 , где k – коэффициент пропорциональности. Получили уравнение 4 5k 2  100 5;
k =5. Периметр равен 15 + 30 + 35 = 80.
Ответ: 80.
   
 
4. Укажите градусную меру угла  между векторами a и b , если a  b  a  b .
 

   
 

  
 2
 
Решение. a  b  ( a  b ) 2 ; (a  b ) 2  a 2  2 a b  b 2 ; a 2  2ab  b 2  a 2  2 a b  b 2 ;

 
ab   a b ; cos   1;    .
Ответ: 180о.
Математика-2 № 36
Инструкция для учащихся
Тест состоит из частей А и В. На его выполнение отводится 180 мин.
Калькулятором и справочной литературой пользоваться нельзя. Рекомендуем выполнять
задания по порядку. Если какое-либо задание не удается выполнить сразу, перейдите к
следующему, а потом вернитесь к пропущенным заданиям
Часть А
А 1. Значение выражения arccos(sin (3)) равно

3

 3; 3) 3; 4) 3  ;
1)  3; 2)
5)   3.
2
2
2

Решение. Пусть х = arccos(sin (3)) . Тогда cos x   sin 3. Так как cos(  3)  sin 3, то
2
3
3
 3.
первое число отвергаем. cos(  3)   sin 3. Ответ:
2
2
Замечание. Необходимо найти угол х, для которого cos x   sin 3 и 0  x   . Построив
график функции y  cos x и прямую y   sin 3 , найдем ту точку пересечения линий,

абсцисса которой удовлетворяет условию. Получим x     3. Можно решить
2
уравнение cos x   sin 3 и выбрать корень, удовлетворяющий условию 0  x   .
А 2. Если a b  2 и b c  6 , то величина (a b ) c принимает значение
1) 64;
2) 2 log6 2 ;
3) 8;
4) 12; 5) не вычисляется однозначно для двух данных
равенств.
Решение. Выражение (a b ) c  2 c  2 log2 6 / logb зависит от b.
Ответ: значение не вычисляется однозначно.
А 3. Из четырехугольной призмы вырезали треугольную пирамиду, высота и площадь
основания которой на 60% и на 10% соответственно меньше высоты и площади основания
призмы. Объем полученной пирамиды составляет от объема призмы
1) 9%;
2) 30%;
3) 12%;
4) 36%;
5) 27%.
Решение. V1 - объем призмы, V2 - объем пирамиды, S – площадь основания призмы, H –
1
высота призмы. Тогда V1  S  H , V2   0,4S  0,9 H  0,12V1  V1 / V2  0,12. Ответ: 12%.
3
А 4. Школьник должен был выйти из дома в 7оо, сесть в ожидавшую его машину и доехать
на ней до школы к определенному моменту. Однако он вышел из дома в 6 10 и побежал в
противоположном направлении. Машина в 710 отправилась от дома вслед за ним и, догнав
школьника, доставила его в школу с опозданием на 20 мин. Скорость машины превышала
скорость бегущего школьника
1) в 12 раз; 2) в 13 раз;
3) в 7 раз;
4) в 6 раз;
5) в некоторое число раз,
которое невозможно точно установить из-за нехватки данных задачи.
Решение. Машина находилась в пути на 10 мин больше обычного за счет того, что 5
минут догоняла и 5 минут возвращалась до дома. Машина в 715 догнала школьника. За 65
минут школьник пробежал столько, сколько машина ехала 5 минут, т. е. потратил в 13 раз
больше времени.
Ответ: в 13 раз.
А 5. Сумма первых 27 членов арифметической прогрессии равна 34, а сумма первых 27
членов другой арифметической прогрессии, имеющей тот же первый член, но
противоположную разность, равна -3. Первые члены этих прогрессий равны
37
31
31
31
37
;
;
;
;
.
1)
2)
3)
4)
5)
27
27
53
54
54
Решение. Если а – первый член, d – разность первой арифметической прогрессии, то
2a  26d
2a  26d
 27  34,
 27  3 ;
2
2
27(2a  26d )  68, 27(2a  26d )  6;
108a  62;
31
a
.
54.
Ответ:
31
.
54
А 6. Из сосуда первоначально содержавшего 11 л чистой кислоты, отлили определенное
количество содержимого и долили столько же воды. Когда эту операцию проделали еще 3
раза, кислоты в сосуде осталось 3 л. За каждую операцию воды доливали одинаковое
количество литров, равное
1
1) 4 log 3 11;
2) log 3 11;
3) 11(1  4 3 / 11);
4) 2;
5) 4 3 / 11.
4
Решение. Если отлили х литров кислоты, то осталось 11- х литров кислоты. После того,
(11  x) 2 (11  x) 2
как отлили второй раз, осталось 11  x 
. После того, как отлили в 3-й

11
11
(11  x) 3
(11  x) 4
раз, осталось
.
После
того,
как
отлили
в
4-й
раз,
осталось
. Получили
112
113
(11  x) 4
уравнение
 3. Можно решить это уравнение. Рассуждаем иначе.
113
4
1
Если x  4 log 3 11, то 3 x  11. Если x  log 3 11, то 3 4 x  11. Число x  11(1  4 3 / 11)
4
4
(11  x)
 3.
является корнем уравнения
Ответ 11(1  4 3 / 11) .
3
11
А 7. Выражение
1
log 2 48  log 3 48
4
численно равно
1
; 5) другому выражению.
log 16 48  log 3 48
Решение. Будем приводить все логарифмы к одному основанию 2.
4  log 2 3
1
1
1
4
.
log 2 48  log 3 48  (4  log 2 3) 
 2  log 2 3 
4
4
log 2 3
4
log 2 3
1) log 16 48  log 3 48; 2) 1;
3) log 24 48; 4)
4  log 2 3 4  log 2 3 16  8 log 2 3  log 22 3
4
1



 2  log 2 3.
4
log 2 3
4 log 2 3
log 2 3
4
Уже первое число оказалось равным данному.
Ответ: log 16 48  log 3 48 .
log 16 48  log 3 48 
А 8. Наибольшее решение неравенства x 2  10 x  14  4 x  8 принадлежит множеству
1) (;1];
2) [2;8];
3) 
4) (8;);
5) (1;2).
 x 2  10 x  14  0,
 3  3  x  5  11.
Решение. Случай 1.  2
 x  6 x  6  0
 x 2  10 x  14  0,
 5  11  x  7  27.
Случай 2.  2
 x  14 x  22  0
Наибольшее решение неравенства 7  27  1,8  [2;8].
Ответ: Наибольшее решение принадлежит множеству [2;8] .
А 9. Сумма всех целочисленных решений неравенства
равна
1) 11;
2) 17;
3) 14;
бесконечно много слагаемых.
x  6  x2
0
3x  x 2  18
4) другому числу; 5) неопределенность, так как содержит
x2  x  6
Решение.
 0,
x 2  3x  18
( x  3)( x  2)
 0.
( x  3)( x  6)
ОДЗ: (;3)  [2;6)  (6;). Число 2 – решение неравенства. Пусть x  2. Тогда для
значений х из ОДЗ имеем x 2  x  6  0  x 2  3x  8  0  3  x  6. С учетом ОДЗ и
того, что число 2 входит в множество решений получим 2  x  6. Сумма всех
целочисленных решений равна 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Ответ: 14.
А 10. Множество всех решений неравенства
log 1 / 6 (6 x  7)  x log 1 / 6x (15  6 x )  x
на числовой прямой представляет собой
1) объединение двух непересекающихся интервалов;
2) объединение интервала и луча, не пересекающихся друг с другом;
3) луч;
4) объединение двух непересекающихся лучей;
5) интервал.
 x  log 6 15,
Решение. ОДЗ: 
 x  0.
 log 6 (6 x  7)  log 6 (15  6 x )  x;
log 6 (15  6 x )  log 6 6 x  log 6 (6 x  7);
15  6 x  6 x  (6 x  7);
6 2 x  8  6 x  15  0;
6 x  41  4;
x  log 6 ( 41  4).
С учетом ОДЗ
x  (;0)  (0; log 6 ( 41  4).
Ответ: множество всех решений представляет собой объединение интервала и луча..
А 11. Пусть ( x; y ) - решение системы
4

cos x  cos y  3 ,

sin x  sin y   2 .

3
Тогда значение выражения cos( x  y )
8
2
1
1) равно  ; 2) равно ; 3) равно ; 4) равно другому числу; 5) не вычисляется
9
9
9
однозначно.
Решение. Возведем в квадрат каждое уравнение:
16
4
cos 2 x  2 cos x  cos y  cos 2 y  , sin 2 x  2 sin x  sin y  sin 2 y  ;
9
9
и сложим их
20
2  2 cos( x  y ) 
,
9
1
1
cos( x  y )  .
Ответ: .
9
9
А 12. Чтобы из графика функции y  log 2 x получить график функции y  log 2 (4x  5),
нужно произвести
1) сначала сжатие в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц вправо;
2) сначала растяжение в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц вправо;
3) сначала сжатие в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц влево;
4) сначала растяжение в 4 раза вдоль оси абсцисс, потом сдвиг на 5 единиц влево;
5) сначала сдвиг на 5 единиц вправо, потом сжатие в 4 раза вдоль оси абсцисс.
Решение. Строим цепочку функций: y1  log 2 x, y2  log 2 ( x  5), y2  log 2 (4x  5) .
Этой цепочке соответствует вариант ответа 5.
Ответ: верен вариант ответа 5.
Замечание. Цепочка функций, с помощью которой преобразуются графики, строится
неоднозначно. Вместо попыток построения цепочки преобразований, предусмотренной
вариантом ответа, можно записать функцию, которая получается в каждом варианте.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
1
1
y  log 2 4( x  5)
y  log 2 4( x  5)
y  log 2 (4x  5)
y  log 2 ( x  5)
y  log 2 ( x  5)
4
4
А 13. Вершина параболы, задаваемой на координатной плоскости уравнением
y  ax 2  bx  c, где a  0, b  0, c  0 и D  b 2  4ac  0
лежит
1) строго в 1 четверти;
2) строго во 2-й четверти;
3) строго в 3-й четверти;
4) строго в 4-й четверти; 5) возможно, на координатной оси.
Решение. Так как a  0, то оси параболы направлены вниз. Так как a  0, b  0 , то
b
абсцисса вершины  отрицательна. Так как D  0 , то парабола пересекает ось абсцисс
a
в двух разных точках. Ответ: вершина параболы лежит строго во второй четверти..
А 14. Тангенс угла между касательными, проведенным к графикам функций y  3  5 x и
1
y  7  2 , в точках с абсциссой хо = 1, равен
x
11
11
9
9
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) другому числу.
3
5
7
5
4
1 
1
Решение. Для первой функции y    x 5 ; k1  y (1)   . Для второй функции
5
5
3
y   2 x ; k 2  y (1)  2. Тангенс угла между касательными вычислим по формуле
k  k1
.
tg  2
1  k1 k 2
1
2
2  11 .
tg 
Ответ: 11/3.
2
3
1
5
А 15. Наибольшее целое значение а, при котором уравнение 3 sin x  5 sin y  4 cos x  a
имеет бесконечно много решений ( x, y ) , равно
1) 9;
2) 12;
3) 7;
4) 10;
5) 8.
Решение. Метод введения дополнительного угла позволяет записать:
4
3 sin x  4 cos x  5 cos( x   ) , где tg  . Поэтому
3

5 cos( x   )  5 cos(  y )  a,
2


10 cos(( x      ) / 2) cos(( x     y ) / 2)  a.
2
2
Ответ: 10.
А 16. Количество различных значений a  [4 ;20 ], для каждого из которых уравнение
cos
x
2(a  x)
 cos
1
4
7
имеет хотя бы один корень, равно
1) 17;
2) 16;
3) 6;
4) 9;
5) другому числу.

x
ax
Решение. Воспользуемся формулой 2 sin 2  1  cos  . Тогда cos  2 sin 2
.
2
4
7
Выражение левой части уравнения не может принимать значения меньше нуля, а правой
части не может принимать значения больше нуля. Поэтому уравнение равносильно
системе уравнений
x

cos 4  0,

sin a  x  0;

7
x 
ax
  k , k  Z ,
 n, n  Z ;
4 2
7
x  2  4k  a  7n; n, k  Z ;
a  2  4k  7n; k , n  Z .
Переменные n и k пробегают все множество Z независимо друг от друга и параметр а
принимает любое значение, кратное  .
Ответ: 17.
А 17. В треугольнике АВС с углом A  60  и сторонами АВ = 5 и BC  5 3 косинус угла
при вершине С равен
1) 2 / 2; 2) ½; 3) 3 / 2; 4) 0; 5) 1 / 3.
Решение. По теореме синусов
5
5 3

;
sin C sin 60 
1
;
2
1
3
cos C  1  
.
4
2
sin C 
Ответ:
3/2.
А 18. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка E, а отрезки AE и BD
пересекаются в точке F. Если BF : FD = 3 : 5, то прямая AE делит площадь
параллелограмма ABCD в отношении
1) 3 : 7;
2) 3 : 10;
3) 3 : 5;
4) 3 : 8;
5) 9 : 25.
Решение. Прямая, проведенная через точку С параллельно АЕ, вместе с прямой АЕ делит
BD, считая от В, в отношении 3 : 2 : 3. По теореме Фалеса точка Е делит сторону ВС в
3
3 2
 .
отношении 3 : 2. Поэтому АЕ делит площадь параллелограмма в отношении
к
10 10 5
Ответ: 3:7.
А 19. Если окружность, проходящая через вершины А, В и D трапеции ABCD с
основанием BC = 3 и диагональю BD = 5 касается прямых BC и CD, то основание AD
равно
1) 34 ;
2) 5;
3) 15 ;
4) 25/3;
5) 7.
Решение. Обоснование чертежа. По свойству касательных BC  BD  BD  3. Если угол
С прямой, то ВD = 3 2 < 5. Противоречие. Угол С тупой и центр О окружности лежит
5
11. Пусть h –
вне трапеции. По формуле Герона площадь треугольника BCD равна
4
1
5
5
11  h 
11. По теореме
длина высоты CE треугольника BCD . Тогда  3  h 
2
4
6
7
7
25
Пифагора DE   AD  2  (3  )  . Ответ: 25/3.
6
6
3
А 20. Наибольшая площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, параллельной его
скрещивающимся ребрам AB = 8 и CD = 5, образующим между собой угол в 30о, равна
1) 10 3 ;
2) 20 3;
3) 5 3;
4) 5;
5) 5/2.
Решение. Возьмем сечение FMNK ; F  AC, M  AD, N  BD , K  BC , параллельное
AF y
 . Так как FK AB ,
ребрам AB и CD. Пусть KF  x, FM  y. Так как FM CD , то
AC 5
CF x
x y
x
 . Сложив два равенства, получим   1  y  5(1  ). Для площади
AC 8
8 5
8
параллелограмма, полученного в сечении, имеем
1
5
x
5
5
S  xy  sin 30   xy  x(1  )  (16  ( x  4) 2 )  5  ( x  4) 2  5 .
2
2
8 16
16
Ответ: 5.
то
А 21. Точки А, В и С лежат соответственно на трех ребрах куба, выходящих из его
вершины D, причём AD = 1, BD = 1/3 и CD = 4/3. Радиус вписанного в пирамиду ABCD
шара равен
1) 1/8;
2) 1/24;
3) 1/72;
4) 2/13;
5) 1/6.
10
5
17
1
2
2
, AC  , BC 
Решение. S ABD  , S ACD  , S BCD  . Так как AB 
, то по
3
3
3
6
3
9
13
формуле Герона S ABC  . Пусть О – центр вписанного шара. Объем пирамиды
18
складывается из объемов пирамид ABCO, ABDO, ACDO и BCDO. У всех четырех пирамид
высота, опущенная из вершины О, равна радиусу шара r. Отсюда,
1
2 1
1 1
2 1
2 1
13
1
1    r    r    r    r   r  .
3
9 3
6 3
9 3
9 3
18
6
Ответ: 1/6.
Часть В
К заданиям этой части ответы не даны. Решив задание, запишите полученный Вами
ответ на бланке рядом с номером задания, начиная с первого окошка. Ответом может
быть только целое число (как его образовать, объяснено в задании). Никаких слов в
ответе писать нельзя.
В 1. В компании из трех человек один – правдивец (1), т. е. всегда говорит правду, один –
лжец (2), т. е. всегда лжет, и один – дипломат (3), т. е. говорит правду или лжет по своему
усмотрению. Чтобы узнать, кто из них есть кто, каждого спросили, кто он есть. Первый
ответил, что он правдивец, второй – что он не дипломат, а третий – что он или лжец, или
дипломат. Судя по ответам, первый, второй и третий из них – это соответственно
(перечислить цифры 321 в нужном порядке без запятых) …
Решение. Начнем заполнять таблицу. В первой строке перечислены все варианты
расположения трех человек. Значком «+» отмечаем истинный факт, а значком «-» ложный.
123
132
213
231
312
321
+-+
+++++
+++++-Уже третий вариант полностью соответствует условиям задачи. Первым отвечал лжец и
сказал, как и должен, неправду, вторым отвечал правдивец и сказал правду. Дипломат мог
говорить, что угодно.
Ответ: 213.
В 2. Количество двузначных чисел, каждое из которых ровно на 21 меньше суммы
квадратов своих цифр, равно …
Решение. Если х – первая цифра, а у – вторая цифра числа, то x 2  y 2  10 x  y  21 или
x 2  y( y  1)  10 x  21. Произведение двух последовательных целых чисел четно, так как
из двух последовательных целых чисел одно обязательно делится на 2. Если
предположим, что х четно, то слева получим четное число, а справа нечетное.
Противоречие. Поэтому х – нечетное число, т. е. х равно 1 или 3, или 5, или 7, или 9. Если
х = 1, то у(у -1) = 30, у = 6. Если х = 3, то у(у -1) = 42, у = 7. Если х = 5, то у(у -1) = 46; у
уравнения нет целых корней. Если х = 7, то у(у -1) = 42, у = 7. Если х = 9, то у(у -1) = 30, у
= 6. Числа 16; 37; 77 и 96 и только они удовлетворяют требованиям задачи. Ответ: 4.
В 3. Два пустых бассейна наполнили водой с помощью 7 одинаковых труб: сначала все
трубы направили в первый бассейн, а когда он был заполнен на 1/6 своего объема, 3 трубы
переключили на заполнение второго бассейна. В тот момент, когда первый бассейн
наполнили доверху, второй оказался заполненным лишь на 7/10. Объем второго бассейна
относится к объему первого, как (записать отношение двух взаимно простых
натуральных чисел без знака деления, например, вместо 46 : 28 следует написать 2314) …
Решение. х – производительность трубы в час, t – время работы после переключения трех
труб, V1 – объем первого бассейна, V2 – объем второго бассейна. Тогда
5
24


4tx  6 V1 ,
V1  5 tx,
V
30 24 25

 2 
:
 .

V1
7 5 28
3tx  7 V .
V  30 tx;
2

 2
10
7
Ответ: 2528.
В 4. Количество различных решений системы

 y  sin x,

 x   cos y,

1
x  
2

равно …
1

Решение.  1  x      x    0  y  1. Этим условиям удовлетворяет
2
2
единственная точка графиков данных функций (-1; 0).Ответ: 1.
Образцы задач теста Математика-2
1.
44  24 2
12  4 2
Решение.
44  24 2
12  4 2

?
2 11  6 2
4(3  2 )

11  6 2 (3  2 )
2(3  2 )(3  2 )

(11  6 2 )(9  6 2  2)

14
1
1
. Ответ: .
2
2
Замечание. Выигрыш во времени дает решение:
44  24 2
12  4 2

2 11  6 2
4(3  2 )

2. 3 3  2 2  ?
Решение. С помощью замены
log 2
96 2 2
2(3  2 )

(3  2 ) 2
2(3  2 )

3 2
2(3  2 )

1
.
2
log 3
log 3 2  t освободимся от знаков радикала.
121  72

14
log 3 2  t 2 , 2  3t ,
3
log3 2
2
log2 3
1
1
 ;
log 3 2 t
log 2 3 
2
1
t
 3  (3 )  3t  3t  0.
t2
t
Ответ: 0.
1
, которая является частным
log b a
случаем формулы перехода от одного основания к другому
Замечание. Мы воспользовались формулой log a b 
log c b
,
log c a
но не столь известна. Можно решить пример с помощью перехода к одному основанию:
log a b 
1
3
log3 2
2
log2 3
 (2
log2 3
)
log2 3
2
log2 3
2
log2 3
2
log2 3
 0.
Если интуитивно ответ 0 угадан, то возникает решение:
a3
log3 2
,b  2
log2 3
 log 2 a  log 3 2  log 2 3 
1
log 2 3
 log 2 3  log 2 3, log 2 b  log 2 3;
log 2 a  log 2 b  a  b  a  b  0.
Обратим внимание на то, что имеет место формула a
а и b, для которых выражение слева имеет смысл.
3. sin( 200 arcsin( 0,5))  ?
Решение.
sin( 200 arcsin( 0,5))   sin( 200 arcsin 0,5)   sin 200
 sin( 32   
Ответ:

3
)   sin(  

3
)  sin

3


6
loga b
b
  sin
loga b
 0 для всех значений
100

3
3
.
2
3
.
2

1
, то sin 2  ?
4
2

1

1

1
   arctg (
),     arctg (
),
Решение. tg (   )  
,
4
4
2 4
2
2
1
1

1
1
2   1 . Ответ:  1 .
sin 2  sin(   2arctg (
)   cos( 2arctg
)
1
3
2
3
2
2
1
2
1  tg 2 x
. Можно
Замечание. В стандартном решении использовалась формула cos 2 x 
1  tg 2 x
1  cos 2 x
воспользоваться формулой tg 2 x 
. Тогда
1  cos 2 x
4. Если tg 2 (
) 
tg 2 (

4
) 
1  cos(
1  cos(

2

2
 2 )
 2 )

1  sin 2 1
 ,
1  sin 2 2
2  2 sin 2  1  sin 2 ,
3sin 2  1,
1
sin 2   .
3
Знание формулы 1  tg 2 x 
1
дает другое решение:
cos 2 x
1
1
1 
,
2
2 
cos (   )
4

2
cos 2 (   )  ,
4
3

4
,
4
3

4
1  cos(  2 )  ,
2
3
4
1  sin 2  ,
3
1
sin 2   .
3
1  cos 2 x
1
Замечание. Те, кто плохо помнит формулы tg 2 x 
или 1  tg 2 x 
,
1  cos 2 x
cos 2 x
x
x
наверное знают формулы 2 cos 2  1  cos 2 x и 2 sin 2  1  cos 2 x , с помощью которых
2
2
также можно быстро решить задачу.
2 cos 2 (
5. Решите уравнение
Решение.
) 
x 2  2 x  2  9  ( x  1) 2  6 x  5  3x 2 .
3x 2  6 x  5  ( x  1) 2  1  9  ( x  1) 2 ,
3( x  1) 2  2  ( x  1) 2  1  9  ( x  1) 2 ,
Выражение слева не может принимать значений меньше 3, а выражение справа не может
принимать значений больше 3. Поэтому уравнение равносильно системе двух уравнений
3( x  1) 2  2  ( x  1) 2  1  3 , 9  ( x  1) 2  3.
Из второго уравнения х = -1. Это число удовлетворяет и первому уравнению. Ответ: -1.
Замечание. Первая реакция на уравнение – приведение его к виду
( x  1) 2  1  9  ( x  1) 2   3( x  1) 2  2 .
Замена ( x  1) 2  t и преобразования, выполняемые с целью освобождения от радикалов,
приводят к уравнению четвертой степени. Надо вовремя остановиться и проанализировать
ситуацию. В условиях, когда на пример в среднем дается пять минут, такой путь придется
отвергнуть. Остается метод оценок. При внимательном изучении уравнения увидеть, что
уравнению удовлетворяет значение ( x  1) 2  0. Осталось доказать, что корень у
уравнения единственный. А это видно из того, что в левой части полученного уравнения
расположена возрастающая функция, а в правой – убывающая.
6. Решите неравенство x  1  x  x  2  1  3 .
Решение. Область допустимых значений переменной неравенства
 x  1  0,

 x  1  x  2  0,  x  1.
 x  2  0.

Попытка избавиться от иррациональностей приводит к большой цепочке выкладок и
уравнению четвертой степени. Структура выражения слева подсказывает, что необходимо
воспользоваться методом оценок.
x 1  x 1 x  2 ,
x 1  x  x  2 1  0  3 .
Следовательно, неравенство выполняется для всех значений х из ОДЗ. Ответ: [1;).
7. Найдите сумму корней уравнения 0,0625
Решение.
(0,5
log2 (1, 5 x 2  x 3, 5)
log2 (1, 5 x 2  x 3, 5) 4
)  (5
 625
log1 ( 0 , 5 x 2  2 , 5 )
5
.
log1 ( 0, 5 x 2  2, 5)
)4 .
5
Так как основания степеней положительны, то
0,5
log2 (1, 5 x 2  x 3, 5 )
2  log2 (1,5 x
2
2
 x 3, 5)
log2 (1, 5 x 2  x 3, 5)
5
log1 ( 0 , 5 x 2  2 , 5 )
 5  log5 ( 0,5 x
5
;
5
2
 2, 5)
log5 ( 0, 5 x 2  2, 5)
,
,
Из основного логарифмического тождества a loga b  b , a  0, a  1, b  0, следует, что
1.5 x 2  x  3,5  0,5 x 2  2,5 ;
3x 2  2 x  7  x 2  5,
2 x 2  2 x  12  0,
x 2  x  6  0,
( x  3)( x  2)  0,
x1  2, x2  3.
Корни найдены из условий 1.5x 2  x  3,5  0,5x 2  2,5  0 , поэтому удовлетворяют
уравнению; -2 + 3 = 1. Ответ: 1.
Замечание. Уравнения вида x 2  x  6  0 надо научиться решать с помощью теоремы
Виета, точнее с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Это также даст выигрыш во
времени по сравнению с вычислением дискриминанта и корней по известным формулам.
8. Решите неравенство log (3 x ) 2 ( x 2  2)  0 .
Решение. Область допустимых значений переменной х
 x 2  2  0,

2
( x  3)  0,  x  3, x  2, x  4.
( x  3) 2  1;

Так как x 2  2  1 , то 0  ( x  3) 2  1. Отсюда,
x  3 и  1  x  3  1;
x  3 и 2  x  4.
Ответ: (2;3)  (3;4).
Замечание. При решении неравенств вида ( x  3) 2  1 выиграть время можно
воспользовавшись тем, что неравенство x 2  a при a  0 равносильно цепочке
неравенств  a  x  a . Полезно знать следующие факты:
Неравенство x 2  a при a  0 равносильно системе неравенств x  a или x  a .
Неравенство x  a при a  0 равносильно системе неравенств x  a или x  a .
Неравенство x  a при a  0 равносильно цепочке неравенств  a  x  a .
9. Найдите наибольший корень уравнения tg15 x  tg9 x на (0,  ) .
Решение.
sin 15 x  cos 9 x  sin 9 x  cos 15 x
 0,
cos 15 x  cos 9 x
sin 6 x
 0,
cos 15 x  cos 9 x
sin 6 x  0,

cos15 x  0,
cos 9 x  0;

sin 6 x  0  6 x  n, n  Z  x 
n
6
, n  Z.
Из этих чисел заданному интервалу принадлежат
   2 5
, , ,
, . Последнее число
6 3 2 3 6
5
2
отбросим, так как cos(15  )  0 . Подставим в уравнение число
.
6
3
2
2
tg (15  )  tg (9  ),
3
3
tg (10 )  tg (6 ) .
0 = 0.
Получили верное равенство. Это число – наибольший корень в интервале (0,  ) .
2
Ответ:
.
3
10. Уравнение ( x  2a) log 2 ( x  1)  0 имеет ровно один корень, если а = ?
Решение.
 x  2a  0,

x  1  0
или
log 2 ( x  1)  0 .
1
В первом случае x  2a,2a  1, a  . Во втором случае x  1  1, x  2. Уравнение имеет
2
1
два корня 2 и 2а, если a  , причем корни совпадают, если а =1. Уравнение имеет один
2
1
1
корень 2, если a  . Ответ: a  или а = 1.
2
2
 x  y  1,
11. Система  2
имеет ровно два решения, если а = ?
 x  y 2  a
Решение. Из второго уравнения a  0. А из первого x  y  1  ( y  1) 2  y  a.
2
D2
 1  1  a  a.
4
1 a
y 
.
2
a 1
и a  1  0 , т. е. a  1.
2
2 y  2 y 1 a  0 ,
2
Из условия y  0 следует, что y 
x 
a 1

2
Если a  1 , то система имеет четыре решения
a 1
.
2
(
a 1
a 1
a 1
a 1
a 1
a 1
a 1
a 1
,
) , (
,
) , (
,
) , (
,
).
2
2
2
2
2
2
2
2
Если а = 1, то система имеет два решения (1;0), (1;0). Если a  1, то решений нет.
Ответ: 1.
Замечание. На самом деле для решения этой задачи следовало прибегнуть к
геометрическим соображениям. Так как  a  a , то график первой зависимости
симметричен относительно осей координат и может быть получен симметричным
отображением своей части, расположенной в первой четверти. В первой четверти график
зависимости совпадает с прямой у = х – 1. Графиком второй зависимости при a  0
является окружность радиуса a . Если a  1, то графики не имеют общих точек. Если
а = 1, то графики имеют ровно две общих точек (-1; 0) и (1; 0). Если a  1 , то графики
имеют четыре общих точки.
12. y1  x  3 , y 2  x 2  6 x  9) , y3  ( x  3) 2 . Графики каких функций совпадают?
Решение. График первой функции y  x  3 прямая. График второй функции y  x  3
угол. График третьей функции y  x  3 , x  3  0 - верхняя часть прямой y  x  3 .
Ответ: графики никаких пар функций не совпадают.
Замечание к следующей задаче. Задача многим абитуриентам казалась совершенно
невыполнимой, но после разбора упражнений становилась несложной.
x
Упражнения. (1). Дана функция f ( x) 
. Найдите f ( x), f (1  x), f ( f ( x)).
x 1
1
1
(2). Найдите f (x) , если а) f ( x  1)  x 2  2 x  2; б) f ( x  )  x 2  2 .
x
x
3
13. Если f ( x )  x  1, f ( g ( x))  2 x  1 , то g ( x)  ?
1
1
1
1и
Решение. Если x 3  t , то x  3 и f (t )  3  1 . Тогда f ( g ( x)) 
3
g ( x)
t
t
1
1
1
) 3 . Ответ: g ( x) 
 1  2 x  1 . Отсюда g ( x)  (
.
3 g ( x)
2x  2
8( x  1) 3
14. Наибольшее значение функции y  1  sin(
Решение. 1  sin(

4
 x)  cos(

4
 x)  1  cos(
 1  cos(

4


2


4
 1  1  2 cos(
Наибольшее значение 3 достигается при cos(

4

4

4
 x) равно?
 x)  cos(

4
 x)  1  2 cos(
 x)  1,
4
 2  2 cos(
 x)  cos(
 x)  2,

4
 x)  3 .
 x)  1 . Ответ: 3.

4
 x)
Замечание к следующей задаче. Создается впечатление, что задача выходит за рамки
школьного учебника. Но после повторения темы «Обратная функция» становится ясно,
что задача действительно позволяет проверить качество усвоения этой темы.
Упражнения (из школьного учебника)
x 1
1
(1). Найдите обратную функцию для функции: а) y 
; б) y  4 x ; в) y 
.
x 1
1  x3
x 1
Решение. а) В равенстве y 
вместо у напишем х, а вместо х напишем у. Получим
x 1
1 x
1
y 1
. Ответ: y 
. Ответ: б) y  x 4 ; в) y  3  1.
x
1 x
y 1
x
(2). Докажите, что графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно
прямой у = х.
Доказательство. Если точка (х, у) принадлежит графику функции y  f (x) , то точка (у, х)
принадлежит графику обратной функции и наоборот. А эти точки симметричны
относительно прямой y  x .
15. Графики функций y  f (x) и y  g (x) симметричны относительно прямой y   x .
Если f ( x)  2 x 1 , то g ( x)  ?
Решение. Точке с координатами (х, у) симметрична относительно прямой y   x точка
(-у, -х). В равенстве y  2 x 1 вместо у напишем -х, а вместо х напишем –у. Получим
 x  2  y 1 . Тогда log 2 ( x)   y  1 , y  1  log 2 ( x) . Ответ: g ( x)  1  log 2 ( x) .
16. Значение производной функции y 
ln 2 x
в точке x0  1 равно?
x
1
 2  x  ln 2 x
1  ln 2 x
2
x

Решение. y  
; y (1)  1  ln 2. Ответ: 1 ln 2.
2
x
x2
17. Найдите все значения а, при которых функция убывает на всей числовой оси
f ( x)  1  x 5  2ax 3  11ax .
Решение. f ( x)  5 x 4  6ax 2  11a. Квадратный трехчлен, у которого старший
коэффициент отрицательный, принимает значения  0 , если у него дискриминант
55
 0. Поэтому 9a 2  55a  0 . Функция убывает на всей числовой оси, если 0  a  .
9
1
Ответ: 0  a  6 .
9
18. Найдите наименьшее натуральное х, если  sin x  0,5 .
 sin x  0,5 ,


5
7
  2k  x   2k или
 2k  x 
 2k ; k  Z .
6
6
6
6

5
7
 0,53;
 2,7;
 3,6 .
Ответ: 3.
6
6
6
( x  4) 2  8 x  25
 0.
19. Найдите число всех целых решений на [5;6] неравенства
( x  6) 2
Решение.
Решение. Неравенство равносильно системе
( x  4) 2  8 x  25,

 x  6;
 x 2  8 x  16  8 x  25,

 x  6;
 x 2  9,

 x  6;
x  3 или x  3 , x  6.
Заданному отрезку принадлежат числа -5; -4; 4 и 5. Ответ: 4.
20. Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований
цилиндра объема V  64 2 . Тогда ребро тетраэдра равно?
a
Решение. Пусть а – длина ребра. Тогда - радиус основания цилиндра. Высота цилиндра
2
a
равна расстоянию между двумя противоположными ребрами тетраэдра
. Это
2
расстояние вычисляется как высота равнобедренного треугольника с боковыми сторонами
a 3
a2 a
a 3
и основанием а. Тогда V    

 64 2  a 3  64  8  a  8.
2
4
2 4 2
Ответ: 8.
21. Сечение прямой треугольной призмы проходит через середины ребер АА1 и А1С1
параллельно высоте АН. Треугольник АВС прямоугольный, АВ = АС = А1А = 4 2 .
Найдите площадь сечения.
Решение. Пусть M и N – середины АА1 и А1С1, L – точка пересечения MN с СС1, P – точка
пересечения MN с АС, K – точка пересечения с прямой В1С1 прямой, проведенной через
точку N параллельно высоте А1Н1 треугольника А1В1С1, D – точка пересечения прямой LK
с BC, Е – точка пересечения с АВ прямой, проведенной через D параллельно KN. Площадь
сечения получим, вычитая из площади трапеции DKNP площадь треугольника EMP.
B1C1  4 2  2  8  KC1  2  KN  2;
MA1 
1
AA1 , MA1  LC1  LC1  2 2  LK  4  8  2 3  KD  4 3;
2
KC1  2  DC  6  BD  2  DE  2  EP  4;
MN  2 2  2  4  MP  4, ME  4;
S
26
1
3
4 3  44
 12 3.
2
2
2
Ответ: 12 3.
22. Найдите число натуральных корней уравнения 5 x  x 2  8  x  9  x 2  6 x  17 .
Решение.
x 2  5 x  8  x  9  x 2  6 x  17 .
Дискриминант квадратного трехчлена x 2  5 x  8 равен 25 – 32 = -7 меньше нуля, поэтому
трехчлен принимает только положительные значения и x 2  5 x  8  x 2  5 x  8 . Если
x  9, то x  9  x  9 и уравнение перепишется в виде
x 2  5 x  8  x  9  x 2  6 x  17 ,
2х = 18,
х = 9.
Корней уравнения x  9 нет. Если x  9 , то x  9   x  9 и
x 2  5 x  8  x  9  x 2  6 x  17 ,
0 = 0.
Все такие значения х – корни уравнения. Натуральные корни – это числа 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
8 м 9. Ответ: 6.
 x  4  2 y  1 ,
23. Найдите площадь фигуры 
 x  4 y  1  8.
Решение. Заменим х -4 на х, а у -1 на у. Перенос осей не изменит площадь фигуры. Тогда
система примет вид
 x  2 y ,

 x  12  4 y .
Фигура состоит из двух треугольников, симметричных относительно оси абсцисс, высоты
2 с основанием 12.
1
S  2   12  2  24. .
2
Ответ: 24.
24. Найдите число целых значений аргумента функции y 
принадлежащих области определения этой функции.
Решение.

x5
 0,
 2

x

14
x

48

 x  5  0,
 x 2  14 x  48  0.


 x 2  14 x  48  0,

 x  5;
( x  6)( x  8)  0,

 x  5;
x5
,
14 x  x 2  48
6  x  8;

 x  5.
Области определения функции принадлежит только одно целое число 7. Ответ: 1.
25. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный
катет на 10 и 8. Второй катет равен?
Решение. Пусть AL – биссектриса треугольника ABC, угол С – прямой. Тогда СL =8, ВL =
10. Если LH – высота треугольника ABL, то треугольники ACL и AHL равны, LH = 8 и по
теореме Пифагора BH =6. (Предположение, что СL =10, ВL = 8, дает LН = 10 и приводит к
противоречию: наклонная ВL короче перпендикуляра LН). Треугольники ABC и LBH
AC BC
AC 18


 , AC = 24 . Ответ: 24.
подобны 
LH BH
8
6
Замечание. На самом деле задача предполагает знание следующего важного
геометрического факта:
ТЕОРЕМА. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим к этим отрезкам сторонам треугольника.
Доказательство 1. AL - биссектриса треугольника ABC. Требуется доказать, что
BL
AB

. Пусть F – точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку B
LC AC
параллельно стороне AC. Тогда BFA  FAC  BAF , треугольник BAF
BL BF

равнобедренный и AB = BF. Из подобия треугольников ALC и FLB имеем
,
LC AC
BL
AB

откуда
.
LC AC
Доказательство 2. Пусть F – точка пересечения AL с прямой, проходящей через C
параллельно AB. Тогда можно повторить рассуждения.
Доказательство 3. Пусть K и M – основания перпендикуляров, опущенных на прямую
AL из точек B и C соответственно. Треугольники ABK и ACM подобны по двум углам.
AB BK
BK
AB


Поэтому
. Из подобия треугольников BKL и CML имеем
.
AC CM
CM AC
Доказательство 4. Пусть BAC   и BLA   . В треугольнике ABL по теореме
LC
AC
BL
AB

синусов
. А в треугольнике ACL по той же теореме
.

 sin( 180   )
 sin 
sin
sin
2
2

Так как sin( 180   )  sin  , то поделив обе части одного равенства на соответствующие
BL
AB

части другого, получим
.
LC AC
Доказательство 5. Вычислим площади треугольников ABL и ACL двумя способами:
S ABL 
1
 1
AB  AL  sin  BL  AL  sin  ;
2
2 2
S ACL 
1
 1
AC  AL  sin  LC  AL  sin( 180    ).
2
2 2
BL
AB

.
LC AC
Доказательство 6. AL – биссектриса треугольника ABC, Е – точка, симметричная точке С
относительно биссектрисы, Н – точка, симметричная точке Е относительно основания
перпендикуляра, опущенного из L на АВ. Тогда треугольники ACL и AЕL равны, LH = LС.
AC HL
AC CL



Треугольники ABC и LВH подобны 
.
AB BL
AB BL
Откуда
Эти доказательства дают другие способы решения задачи. А решать ее надо так:
AL – биссектриса треугольника ABC. По теореме о том, что биссектриса делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам,
AC CL

. Отсюда, СL =8, ВL = 10, AB = 10k, AC =8k. Из того, что треугольник АВС
AB BL
подобен египетскому или из теоремы Пифагора BC = 6k, 6k = 18, k = 3, AC = 24.

 
 

26. Найдите a , если b  4 2, a  b  17, a  b  15.
Решение. Теорема. Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме
квадратов его диагоналей.
Можно доказать с помощью теоремы косинусов.
При сложении двух векторов по правилу параллелограмма их сумма – это одна
диагональ, а разность – другая. По теореме
2
2 a  2(4 2 ) 2  17 2  15 2 ,

Ответ: 15.
a = 15.
27. Если 16  t  5  t  3, то 16  t  5  t  ?
Решение. 16  t  5  t 
( 16  t  5  t )( 16  t  5  t )
16  t  5  t
11
16  t  5  t

16  t  5  t
16  t  5  t
 3,
 3,
16  t  5  t 
11
.
3
Ответ: 11/ 3.
28. Найдите наименьшее значение функции
f ( x)  ( x  4) 2  ( x  1) 2  ( x  4) 2  ( x  2) 2 .
Решение. Требуется найти наименьшую сумму расстояний точек плоскости M ( x; y ) до
точек A( 4;1) и B ( 4;2) . Точка A1 (1;4) симметрична точке A относительно прямой y  x.
Наименьшая сумма расстояний AM  MB для точек M ( x; x) прямой y  x равна
18
A1 B  (4  1) 2  (2  4) 2  29 . Ответ: 29 при x  .
7
Замечание. Для лучшего понимания этого решения следует хорошо знать базовую задачу
по теме «Симметрия в геометрии»
Задача. Даны две точки A и B по одну сторону от прямой l . На прямой l найдите точку
X , для которой сумма расстояний отрезков AX и XB наименьшая.
Решение. Отобразим точку A относительно прямой l . Для полученной точки A1 и любой
точки Y прямой l имеем AY  YB  A1Y  YB. Эта сумма наименьшая в случае, когда
отрезки A1Y и YB лежат на прямой A1 B. Поэтому для построения искомой точки следует
найти точку A1 , симметричную точке A относительно прямой l и провести прямую A1 B.
Точка пересечения A1 B и прямой l и есть искомая.