Искаков Михаил Борисович Павлов Павел Алексеевич

Искаков Михаил Борисович
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Москва
Павлов Павел Алексеевич
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Москва
Решение задачи пространственной конкуренции Хотеллинга
на прямой в безопасных стратегиях.
Введение
Статья посвящена исследованию классической задачи пространственно
распределенной конкуренции, поставленной Хотеллингом в 1929 году [1]. Это модель
игрового двухшагового взаимодействия продавцов некоторого товара, в котором их
стратегиями являются, во-первых, определение расположения своих торговых точек в
пространстве и, во-вторых, установление цен на товар. На выбор покупателей товара,
равномерно расположенных на отрезке, влияют два фактора: цены и затраты на перевозку
товара.
К моменту постановки задачи Хотеллингом в 1929 году [1] строгой
математической теории игрового равновесия Нэша еще не существовало, хотя словесная
формулировка соответствующего понятия была дана еще в XIX веке в работах Курно,
поэтому равновесная ситуация искалась в терминах простых логических соображений.
Были найдены равновесные цены и объемы выпусков продавцов в зависимости от их
расположения на рынке. Хотеллинг в своей статье нашел решение, являющееся
оптимальным, но не исследовал, при каких условиях локальное равновесие является
глобальным.
В работе [2], посвященной полностью модели Хотеллинга, определенны условия
существования равновесия Нэша. Большинство последующих работ можно разделить на
три группы: 1) поиск равновесий для модели с транспортными издержками,
модифицированными таким образом, что равновесие в игре цен существует при любых
расположениях [2]; 2) поиск решения в смешанных стратегиях [3]; 3) более сложные
модификации постановки задачи, например учитывающие предпочтения покупателей
товара, которые при этом также становятся активными участниками игры [4].
Основная сложность, обнаружившаяся при исследовании классической модели
Хоттелинга – отсутствие равновесий Нэша в игре установления цен для многих случаев
расположения магазинов продавцов, предлагающих товар [2]. В предлагаемой работе в
качестве результата игры цен для тех случаев, в которых не существует равновесия Нэша,
предлагается использовать простое равновесие в безопасных стратегиях (РБС) [5, 6],
которое для рассматриваемой задачи существует всегда. Такой подход подкрепляется тем,
что игровой смысл РБС, заключающийся в стремлении игроков к увеличению своего
выигрыша, но при условии своей безопасности относительно действий других игроков,
полностью соответствует естественной логике поведения участников моделируемой
ситуации.
Постановка задачи
Рассматривается отрезок [ A, B] длины l, это может быть улица в городе, береговая
1
линия, автомагистраль, а также некоторая линейка свойств товара предлагаемого на
рынке, для моделей монополистической конкуренции. На нем равномерно распределены
покупатели с некоторой плотностью, которую без потери общности можно считать
единичной. На расстоянии a и b от концов отрезка в точках x1, x2 ( x1  x2 ) расположены
магазины игроков 1 и 2, предлагающие одинаковый товар по ценам p1, p2 . Расстояние
между магазинами обозначается   l  a  b . Каждый покупатель тратит на
транспортировку товара до дома некоторую цену на единицу длины, которая, также без
потери общности, считается единичной. Единица товара приобретается покупателем,
находящимся в некоторой точке отрезка, если сумма цены и транспортных расходов до
этой точки не превосходит единичной полезности, хотя бы для одного магазина. Все
потребители не имеют никаких предпочтений по выбору продавца, кроме как по сумме
стоимости товара и затрат на транспортировку. Таким образом, объемы проданного
товара q1 ,q2 равны длине отрезков, на которых расположены покупатели, выбравшие тот
или иной магазин.
Исследуется равновесие, совершенное по подыграм в динамической игре, которая
проходит в три шага:
Шаг 1. Продавцы определяют точки своего расположения x1, x2 ( x1  x2 ) .
Шаг 2. Продавцы определяют цену на свой товар p1, p2 .
Шаг 3. Покупатели выбирают продавца, у которого они покупают единицу товара.
Целевая функция покупателя:
(1)
u( x)  max{ 0, 1  min ( pi  | xi  x |)}
i{1, 2}
где x – точка расположения покупателя.
Целевая функция игрока-продавца 1:
 p1 (v1  w1 ), p1  p 2  

u1 ( x1 , x 2 , p1 , p 2 )  p1 q1   p1 (v1  r1 ), | p1  p 2 | 

0,
p1  p 2  

где
(2)
  p 2  p1

v1  min{ a, 1  p1 }, w1  min{   b, 1  p1 }, r1  min 
, 1  p1  (3)
2


Целевая функция игрока 2 выписывается симметрично.
При исследовании игры цен при фиксированных положениях игроков-продавцов в
пространстве будет удобным сначала рассмотреть вариант задачи на прямой
( A  , B  ) . Условие неотрицательной полезности позволяет ограничить область
рынка, где расположены покупатели не отказывающиеся от покупок, что делает задачу
корректной. В таком случае единственной существенной характеристикой расположения
магазинов, влияющей на выбираемые игроками стратегии p1, p2 , является расстояние
между ними  | x2  x1 | .
При заданных ценах p1, p2 возможны следующие исходы. Если цены различаются
более, чем на  : | p1  p2 |  , то игрок с более высокими ценами исчезает с рынка.
Также исчезает с рынка игрок установивший цены выше или равные единичной
полезности товара p1  1 . Если сумма величин 1  pi превышает расстояние  , то области
двух магазинов не соприкасаются друг с другом. В оставшемся случае границей областей
2
двух магазинов будет точка
x1  x2 p2  p1

, в которой
2
2
расположен
покупатель,
которому безразличен выбор
того или иного продавца
(рис. 1).
u(x)
p1
x1(1p1)
p2
x1
x
x2 x2+1p2
x1  x2 p2  p1

2
2
Рис. 1. Полезность покупателей в областях продавцов при
условии их соприкосновения
Целевые функции игроков:
u1 ( p1 , p2 ) 
2 p1 (1  p1 ),
(( p1  p2   )  ( p1  2    p2 ))  ( p1  1)
 u I ( p1 ) 

p  p1   

 u II ( p1 , p2 )  p1 1  p1  2
, ( p1  p2   )  ( p1  p2   )  ( p1  2    p2 )
2



 u III 
0,
( p1  p2   )  ( p1  1)
(( p2  p1   )  ( p2  2    p1 ))  ( p2  1)
 u I ( p2 ),

(4)
u2 ( p2 , p1 )  uII ( p2 , p1 ), ( p2  p1   )  ( p2  p1   )  ( p2  2    p1 )
 u ,
( p2  p1   )  ( p2  1)
III

На рис. 2 изображены области, на
p1
которых функция u1 ( p1, p2 ) принимает
III
значения uI ( p1 ) , uII ( p1, p2 ) и uIII . В
1
I
области II происходит конкуренция
III
сосуществующих на рынке фирм. В
нижнем треугольнике области I в
I
конкуренции побеждает фирма 1. В
II
верхнем треугольнике области I зоны
покупателей фирм не пересекаются. В
I

области III фирма 1 терпит поражение в
конкуренции и исчезает с рынка.
p2
1

Рис.2. Области значений целевой функции игрока 1
Модель простого равновесия в безопасных стратегиях
Если рассмотреть игру установления цен при фиксированных местоположениях
игроков, то для несовпадающих x1  x2 каждый из игроков может, назначив достаточно
низкие цены, обеспечить себе положительный выигрыш независимо от стратегии
конкурента. С другой стороны, при тех местоположениях магазинов, для которых не
существует равновесия Нэша в игре цен, это происходит из-за того, что в локальном
равновесии, найденном Хотеллингом (далее называемом равновесием Хотеллинга),
возникает следующая ситуация. По крайней мере, один из игроков может, опустив цены
относительно данного равновесия, полностью овладеть рынком и получить при этом
3
дополнительную прибыль. Поскольку при реализации этой угрозы одним игроком, второй
теряет все и получает наихудший результат из возможных, естественно предположить,
что рациональной стратегией в областях несуществования равновесия Нэша будет
стремление к наибольшему выигрышу при исключении возможности указанного
наихудшего результата игры. Именно эта логика поведения заложена в идее равновесия в
безопасных стратегиях [6. 7]. Приведем определения простого РБС, достаточного для
исследования задачи.
Пусть задана игра   ( X i , ui , i  N ) .
Определение 1. Угрозой игрока j игроку i ( j  i ) называется пара профилей
{x, ( xj , x j )} такая что: u j ( x j , x  j )  u j ( x) и u i ( x j , x  j )  u i ( x) . При этом профиль x
называется содержащим угрозу, а профиль ( xj , x j ) , также как и стратегия x j ,
называются угрожающими игроку i со стороны игрока j.
Определение 2. стратегия xi игрока i называется простой безопасной
стратегией при заданной обстановке xi , если профиль x не содержит угроз игроку i.
Определение
3.
Множеством
простых
стратегий,
Wi ( x)  X i
предпочтительных с учетом угроз для игрока i относительно профиля x называется
множество стратегий xi таких, что ui ( xi, xi )  ui ( x) и для любого игрока j  i и для
любой его угрозы игроку i: {( xi, xi ), ( xi, xj , xij )} выполнено ui ( xi, xj , xij )  ui ( x) .
Определение 4. Профиль x* называется простым равновесием в безопасных
стратегиях, если i : xi*  arg max u i ( xi , x *i ) .
xi Wi ( x * )
Комментарий. xi  Wi ( x* )  (ui ( xi , x*i )  ui ( x* ))  ( xi  безопасна при окружении
x*i ) .
Решение задачи на прямой
Исследуем возможные типы равновесий в игре на прямой, равновесия Нэша и РБС.
Прежде всего, следует заметить, что равновесие (Нэша или РБС) может располагаться
либо в области II (которая идентична для обоих игроков), там где устанавливается
конкурентное равновесие, либо в той части области I, где зоны двух игроков не
пересекаются. Случаи полного вытеснения с рынка одного из игроков при   0
исключены.
Область, в которой не существует
u1 ( p1 , p2* )
равновесий Нэша, – это область достаточно
малых  . В таком случае локальное
равновесие, найденное Хотеллингом (точнее
его аналог для рассматриваемой модификации
u1*
задачи), не является глобальным. Это
происходит потому, что максимум двупиковой
I
II
III
функции игрока, при условии, что партнер
выбрал точку локального равновесия, лежит в
p1
области I, то есть первый пик выше второго.
*
*
*
p1  
p1
p1  
При этом в игре существует РБС, описываемое
Рис.3. Равновесие в безопасных стратегиях
следующей системой уравнений (рис.3):
4
uII ( p1* , p2* )  uI ( p1*   ),
(5)

*
*
*
u
(
p
,
p
)

u
(
p


).
I
2
 II 2 1
Так как равновесные стратегии равны из соображений симметрии p1*  p2*  p* , то
уравнение равновесных цен:
uII ( p* , p* )  uI ( p*   ).
Для того, чтобы точка была РБС, необходимо выполнение условий РБС:
  (0,  ] : uI ( p*     )  uII ( p* , p*   ) .
Это условие означает, что если игрок увеличит свою стратегию до p*   , то
игроку 2, сравнительно с его равновесным положением p * , станет выгодно предпочесть
стратегию p*     , при которой он вытесняет с рынка игрока 1.
Равновесие Хотеллинга описывается уравнениями:
u II ( p1* , p2* )  max u II ( p1 , p2* )

p1

*
*
u II ( p2 , p1* )
(6)
u II ( p2 , p1 )  max
p2
u II ( p * , p * )  max u II ( p , p * ).
p
Условием, при котором это равновесие
является решением задачи, будет требование,
чтобы игрокам не было выгодно переходить с
него к стратегии полного вытеснения
конкурента (рис.4):
u I ( p*   )  u2 ( p* , p* ) .
Условие неотрицательности целевой
функции покупателей порождает появление еще
одного типа равновесия – равновесия при
условии
отрыва.
В
нем
покупатель,
находящийся на границе зон двух магазинов
получает при покупке товара в любом из них
нулевую полезность, то есть при малейшем
повышении
цен
покупательские
зоны
магазинов отрываются друг от друга. В этом
случае
равновесные
стратегии
игроков
находятся на границе областей II и I их
целевых
функций
(рис.5).
Условием
равновесия будет система неравенств:
 u II ( p1* , p2* )
0

p1

*
 u I ( p1 )
0

p1
(7)

*
*
 u II ( p2 , p1 )  0

p2
 u ( p * )
I
2

 0.

p2
u1 ( p1 , p2* )
I
II
p1*  
III
p1
p1*  
p1*
Рис.4. Равновесие Хотеллинга
u1 ( p1 , p2* )
I
II
*
1
p
III
p1
1
Рис.5. Равновесие при условии отрыва
Рис.6.
Целев
ая
функц
ия
игрок
а1
при
5
Этот случай допускает не единственное
решение, а целый отрезок возможных
p * ( )
равновесий на плоскости ( p1 , p2 ) .
0.5
Наконец, последний, четвертый случай,
при котором игроки расположены настолько
далеко, что никак не влияют друг на друга, и
игра сводится к независимой оптимизации
цены каждым.
Исследуя все вышеперечисленные

случаи и решая соответствующие уравнения,
0.263
0.5
6/7 1
можно получить следующее решение задачи
Рис.6. Зависимость равновесных цен от
установления цен на прямой (рис.6):
Утверждение.
Игровая
задача
расстояния между магазинами
установления цен на прямой имеет следующее
решение в РБС:
  2.24  25.6 
1) При   0,
  [0,0.263] – РБС:
10.72


p 1*  p 2*  p * 
2  7  17 2  4  4
4
*
*
*
*
u 1  u 2  2( p   )(1  p   );
,
  2.24  25.6 6 
,  – равновесие Хотеллинга:
2) При   
10.72
7

3 2
p1*  p2*  p *  0.4  0.2 , u1*  u 2*  p * ;
2
6 
3) При    , 1 – равновесие при условии отрыва:
7 
10

4

max    , 0.5  p1*  min  , 1.5   , p2*  2    p1* , ui*  2 pi* (1  pi* );
7

7

*
*
4) При   [1, ) : pi  ui  0.5 .
Для доказательства данного утверждения необходимо решить систему уравнений
(5), (6), (7).
Заключение
Использование равновесия в безопасных стратегиях позволило решить задачу
поиска оптимальной цены для модели пространственной конкуренции при всевозможных
расположениях участников рынка. Более сложный вариант задачи на отрезке также
решен, но остался за рамками данного доклада из-за своей громоздкости [7]. Данное
решение дополняет решение, полученное в предыдущих работах по данной модели, и
полностью совпадает с ним на участках существования равновесия Нэша.
Список литературы
1.
HOTELLING H. Stability in Competition // The Economic Journal, Vol. 39, №. 153. (Mar.,
1929), pp. 41-57.
6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
D'ASPREMONT C., JASKOLD GABSZEWICZ J., THISSE J.-F. On Hotelling's "Stability
in Competition" // Econometrica, Vol. 47, №. 5 (Sep., 1979), pp. 1145-1150.
OSBORNE M. J. , PITCHIK C. Equilibrium in Hotelling's Model of Spatial Competition //
Econometrica, Vol. 55, №. 4 (Jul., 1987), pp. 911-922.
AHLIN P. Equilibrium existence in the symmetric Hotelling model with negative network
effects. // Duke Journal of Economics, IX, Spring 1997. pp. 1–28
ИСКАКОВ М.Б. Равновесие в безопасных стратегиях. // Автоматика и телемеханика.
2005. №3. С. 139 – 153.
ИСКАКОВ М.Б. Равновесие в безопасных стратегиях и равновесия в угрозах и
контругрозах в некооперативных играх. // Автоматика и телемеханика. 2008. №2. С.
114-134.
ИСКАКОВ М.Б., ПАВЛОВ П.А. Равновесие в безопасных стратегиях в модели
пространственной конкуренции Хотеллинга. // Управление большими системами.
Выпуск 27. (в печати)
7