Метод парных сравнений – это метод построения оценочной

Метод парных сравнений – это метод построения оценочной шкалы.
Напомним, что оценочными называются такие шкалы, итогом построения
которых является приписывание чисел некоторым объектам, суждениям,
проблемам и т.п. При этом полагается, что полученные числа – это
усредненное мнение опрашиваемых респондентов. В психологии показано,
что данный способ заслуживает большого доверия, так как «из двух зол
выбирают меньшее». В книге Ю.Н. Толстовой «Измерение в социологии»
приведено
теоретическое
обоснование
получения
и
применения
качественных оценок, к которым и относится метод парных сравнений. Мы
попытаемся рассмотреть практическую составляющую.
Сущность метода парных сравнений (ПС) состоит в том, чтобы
предложить респондентам (экспертам) сравнить объекты попарно и
установить в каждой паре наиболее важный. Одним из главных требований к
эксперименту является тщательная формулировка инструкций, где задание
должно быть изложено просто и ясно.
Допустим, нас интересует, как респонденты оценивают творчество
современных поп-исполнителей: Мадонны, Дженифер Лопес и Бритни
Спирс. Обозначим эти имена через a1 , a 2 и a 3 соответственно и составим из
них всевозможные пары: a1a2 , a1 a3 и a2 a3 . Для легкости введем следующие
обозначения a i a j = a ij , где i = 1, 2, 3 и i ≠ j. Далее, показывая респонденту
такие пары (их будет
k ( k  1)
, k – количество сравниваемым объектов),
2
просим назвать одного из двух исполнителей, который ему больше нравится.
Полученные таким образом данные для одного респондента сводятся в
квадратную таблицу (или индивидуальную матрицу ПС) из 0 и 1, где
1, если респондент сказал, что аi ллучш a j
a ij = 
0, иначе
Напомним, что первая цифра в индексе a ij обозначает номер строки, а
вторая – номер столбца (в матрице выделен элемент a12 ).
a1
a1
Указанная
X
a2
0
a3
0
матрица
ПС
a2
a3
1
1
X
0
1
X
должна
удовлетворять
условию
асимметричности (если a ij = 1, то a ji должен быть равен 0) и транзитивности
(если ai > a j и a j > a k , то ai > a k ).1 Однако строго выполнения таких правил
добиться не всегда возможно, так как мышление человека весьма
многогранно и изменчиво во времени. Поэтому в методе ПС принято
соглашение: если в исходной матрице мало нарушений асимметричности и
транзитивности, то применение метода возможно. Определить более
конкретно такую «малость» можно лишь исходя из практического опыта
социолога.
Окончательные результаты опроса сводятся в обобщенную матрицу
ПС, где на пересечении i-ой строки ( ai ) и j-го столбца ( a j ) стоит доля
респондентов, которые предпочли i-го исполнителя j-му. Обозначим ее через
p ij . В матрице заполняются только элементы, стоящие над диагональю, а
элементы под диагональю дополняют предыдущую долю до единицы. То
есть, если доля респондентов, которым больше нравится Мадонна, чем
Дженифер Лопес равна p12 = 0,64 (элемент a12 ), то на месте a 21 можно
автоматически ставить значение: p21 = 0,36. Диагональ матрицы остается
пустой, так как сами с собой поп-дивы не сравниваются.
a1
a2
a3
a1
0,64 0,29
a2
0,36
0,29
a3
0,71 0,71
Итак, данные нашего гипотетического опроса представляют собой
частоты или определенного рода вероятности:2
p ij
= P(  ij > 0).3 В
1 Подробное описание свойств матриц ПС приведено в книге Ю.Н. Толстовой «Измерение в социологии»
(стр. 70 – 76).
2 Закон больших чисел: частота стремится к вероятности.
3 Объяснение этого утверждения дано в «Измерение в социологии» (стр. 83 – 86)
математической модели, лежащей в основе построения шкалы методом
парных сравнений, предполагается, что доля случаев предпочтения объекта i
объекту j подчиняется нормальному закону распределения с математическим
ожиданием m ij и средним квадратическим отклонением  ij . Поэтому, имея
под рукой таблицы нормального распределения, мы можем найти P(  ij > 0).
Однако здесь следует оговориться. Таблицы нормального распределения
приведены только для стандартизованных нормальных величин, то есть для
 станд , которые имеют нулевое математическое ожидание и единичную
дисперсию. Но тем не менее, данная ситуация вполне поправима, потому что
P(  ij > 0) = P(  станд > –
m ij
 ij
)= P(  станд <
m ij
 ij
).
Величины mij  ij обозначаются через z ij , значения которых мы можем
находить по нормальным таблицам.
За дальнейшими рассуждениями о построении системы уравнений для
искомых шкальных значений сравниваемых объектов мы вынуждены
отослать читателя к работе Толстова, 1998. Напомним лишь, что все
сводится к методу наименьших квадратов:
 m
i j
i
 m j   z ij 2

2
 min , где mi и m j – искомые неизвестные.
Пример решения подобных уравнений в нашем случае будет выглядеть
так. Для определения значений z ij мы пользовались нормальными таблицами
из учебника В.Е. Гмурмана по теории вероятностей и математической
статистике, где считается
p ij =
1
2
zij
e

t2
2
dt = a ij .
0
Кроме того, в таблицах нормального распределения все значения Фz ij 
меньше 0,5. Поэтому, когда частота 1  pi > 0,5, то квантиль z ij = Ф 1  pij  0,5 и
берется со знаком «плюс». Соответственно, квантиль для симметричной
частоты ( p ji < 0,5) имеет знак «минус» и z ji = Ф 1  p ji  0,5  = - z ij .
Например, в нашей матрице ПС частота p12 = 0,64, то есть 64%
респондентов считают Мадонну лучше Дженифер Лопес. В нормальной
таблице нет значения Ф( z12 ) = 0,64 > 0,5, поэтому z12 = Ф 1 0,64  0,5 = 0,36
(берется ближайшее значение), z ij = Ф 1   0,21  = – 0,56 = z 23 .
m1
m2
m3
m1
0,36 -0,56
m2 -0,36
-0,56
m3
0,56 0,56
В результате получится выражение, состоящее из 3 слагаемых, которое
надо минимизировать:
m
1
 
 

 m 2   0.36 2 + m1  m3   0.56 2 + m2  m3   0.56 2 → min
2
2
2
Чтобы решить это уравнение, необходимо взять производные по m1 ,
m 2 , m3 и приравнять их к нулю. Получаем:
2m1  m2 m3  0.2 2

 m1  2m2  m3  0.92 2

 m1  m2  2m3  1.12 2
Очевидно, что полученная система вполне разрешима: 3 уравнения для
нахождения 3 неизвестных. Попарно вычитая уравнения друг из друга,
получаем:
3m1  3m2  0.72 2

3m2  3m3  2.04 2

3m1  3m3  1.32 2
Вспомним, что мы не рассчитываем получить в качестве шкальных
значений абсолютные числа. Поэтому решать систему можно с точностью до
преобразования. Пусть m1 = 0. Тогда относительно этого значения получаем
m 2 = – 0,24 2 и m3 = 0,44 2 . Чтобы избежать появления отрицательных
величин, прибавим ко всем значениям mi абсолютную величину самого
малого, то есть в данном случае 0,24 2 . Получаем m1 = 0,24 2 , m 2 = 0 и m3 =
0,68 2 . Очевидно, что приведенное выше преобразование нисколько не
изменило наши результаты. Положение исполнителей (первоначальные
числа) на числовой оси предпочтений сдвинулось на вектор, длина которого
равна самому меньшему значению. Мы имеем дело со шкалой интервального
уровня измерения и, если избавимся от
2 , ничего не потеряем: структура
интервалов останется той же.
Проблема в том, что при увеличении числа сравниваемых объектов,
количество уравнений системы также возрастает, что усложняет процесс
нахождения решений. В случае сравнения N объектов, количество уравнений
в системе будет тоже N. Решить систему значит, привести матрицу системы к
диагональному виду путем элементарных преобразований (метод Гаусса):
 N 1 1

 1 N 1
 ...
...

1
 1
1 

...  1 
...
... 

... N  1
...
В Рабочая книга, 1983 приводится универсальный метод, который
очень удобен для вычисления. Весь процесс легко реализуется в электронном
редакторе Excel. Рассмотрим его.
Заполняется матрица частот (только ее верхний угол, а нижний
считается автоматически: p ji = 1 – p ij ). На диагонали ставятся прочерки –
пустые
значения.
Затем
вычисляются
соответствующие
квантили
 
z ij = Ф 1 pij .4 Получившаяся матрица, заменяется другой по следующему
принципу: первая строка переписывается, вторая равна разности второй и
первой, третья – разность 3 и 2 и так далее. Разности, в которых участвуют
пустые значения, вновь считаются пустыми, то есть на их месте ставится
прочерк. Затем считается среднее арифметическое для каждой новой строки,
и все значения «сдвигаются» на самое меньшее из них. Получившиеся
значения – искомые.
4 В электронной таблице Excel это делает функция НОРМСТОБР( pij )