Математика - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Кафедра «Высшая математика»
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2005
УДК 512 (07)
С 40
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. У. А. Бурцева;
Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2005. – 23 с.
Рассматриваются вычисления определителей второго и третьего порядков, основные виды матриц и два метода решения систем линейных
уравнений.
Предназначены для студентов среднетехнического факультета специальностей 2802 «Технология текстильных изделий», 1201 «Технология
машиностроения», 2202 «Автоматизированные системы обработки информации и управление в промышленности».
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент В. Ф. Казак
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005
Практическое занятие № 1.
Раздел 1.Основы линейной алгебры
Тема: Вычисление определителей II и III порядка.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Продолжительность занятия:
специальность 2202 «Автоматизированные системы обработки информации и управление в промышленности» - 2 часа
специальность 1201 «Технология машиностроения» - 2 часа
специальность 2802 «Технология текстильных изделий» – 1 час
Цель занятия. Научить студента вычислять определители II и III порядка.
Составлять главный и вспомогательный определители системы.
Студент должен знать:
- правила вычисления определителей II и III порядка
- формулы Крамера.
уметь:
- вычислять определитель II и III порядка
- решать системы линейных уравнений, используя формулы Крамера.
3
Указание № 1. Определители
Определители второго и третьего порядков. Определители
второго и третьего порядков определяются следующими равенствами:
a1
b1
a2
а1
а2
а3
b2
b1
b2
b3
= a1b2
– b1a2
(1)
с1
с2 = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – c1b2a3 – b1a2c3 – a1c2b3 (2)
с3
Числа аj, bj, cj называются элементами определителя. Диагональ определителя, на которой расположены числа а1, b2 в случае (1) и а1, b2, с3 – в
случае (2) называется главной. Элементы b1, a2 – в (1) и с1, b2, а3 – в (2)
составляют побочную диагональ.
Для вычисления определителя второго порядка надо из произведения чисел, стоящих на его главной диагонали, вычесть произведение
чисел, расположенных на побочной диагонали.
Пример. 1. Вычислить определитель:
∆=
5
2
15
3
Решение. Применяя формулу (1), получим:
5
2
15
3
=5
∙ 3 – (-2 )∙ 15 = 15 + 30 = 45
Ответ: 45
Пример. 2. Вычислить определитель:
1 3  3
∆= 8 3
0
5 1
3
4
Решение. Применяя формулу (2), получим:
1 3  3
8 3
0 = (-1)∙3∙3 + 3∙0∙5 + (-8)∙(-3)∙1 – (-3)∙3∙5 – (-8)∙3∙3 – (-1)∙0∙1 =
5 1
3
- 9 + 0 + 24 +45 + 72 + 0 = 132
Ответ: 132
Задание.
Пример. 1
∆=
Пример. 2
∆=
Пример. 3.
∆=
7 6
3 2
1  17
2
7
 12
69
43
4
1 2 3
Пример. 4.
∆=  1
3
4
0
2
5
4
Пример. 5.
∆=
8 3
5 7
6
4 3
2
5
Указание № 2. Решение систем по формулам Крамера
Системой 3 линейных уравнений с 3 неизвестными Х1, Х2, Хn,
называется следующий набор уравнений:
 a11x1  a12 x 2  a13 x3  b1

a 21x1  a12 x 2  a 23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
Систему можно записать в компактной форме:
3
 aij x j  bi
(i = 1, 2, 3)
j 1
Числа aij называются коэффициентами при неизвестных хj, bi
свободные члены.
Если все свободные члены системы равны 0, то эта система
называется однородной, в противном случае называется неоднородной.
Решением системы называется упорядоченный набор 3 чисел (с1,с2, с3),
обращающих все уравнения этой системы в верные числовые равенства,
если вместо неизвестных хij подставить соответствующие числа сj.
3
 aij с j  bi
(1= 1, 2, 3)
j 1
Система называется совместной если она имеет по крайней мере
одно решение.
Система называется определенной, если это решение единственно.
Система называется неопределенной, если она имеет множество
решений.
Система называется несовместной, если система не имеет решений.
Главный определитель системы:
∆=
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a n1
an2
a33
6
Вспомогательные определители  k получаются из ∆ заменой К
столбца, столбцом свободных членов.
Теорема (Крамера): Если определитель квадратной системы отличен от 0, то эта система имеет единственное решение, вычисляемая по
формулам Крамера x к =
к

Следствие из теоремы: Если ∆ = ∆1 = ∆3, то система имеет ∞
множество решений.
Если ∆ = 0, а хотя бы один ∆j ≠ 0, то система не имеет решений
или несовместна.
Рассмотрим систему состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными и решим ее по формуле Крамера в общем виде.
 a11x1  а12 х2  b1

а21х1  а22 х2  b2
Решение: Находим ∆
∆=
x1 =
∆1 =
∆2 =
a11
a12
a21 a22
= а11а22 – а21а12
1

x2 =
b1
a12
b2
a22
а11
b1
а21 b2
= b1a22 – b2a12
= a11b2 – b1a21
x1 =
b1a22  b2 a12
a11a22  a12a21
x2 =
a11b2  b1a21
a11a22  a12a21
7
2

Решим систему методом подстановки. Выразим
x1 из уравне-
ния
b a x

x1  1 12 2

a
 b  a x 11
a21 1 12 2  a22 x2  b2

a11
b a x

x1  1 12 2

a
 a b  a a x 11
 21 1 21 12 2  a22 x2  b2
a11

b a ba

x2  2 11 1 21

a11a22  a12a21

b a ba

b1  a12 2 11 1 21

a11a22  a12a21
 x1 
a11

x1 = b1a11a22  b1a12a21  a12b2 a11  a12b1a21 = b1a22  b2 a12
a11 a11a22  a12a21 
a11a22  a12a21
8
Задание.
Решить системы по формулам Крамера
2 x  3 y 

1. 3x  y 
x

z0
z 3
z2
 3x1  х2  2 х3  4
2. 
 2 x1  3х2  х3  9
5 x  х  3х  4
3
 1 2
2 x1  х2  3х3  4
3. 
 x1  3х2  х3  2
 5x  2 х  х  5
2
3
 1
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется главным определителем системы?
Как составляется вспомогательный определитель?
Какие выводы можно сделать о системе, если главный определитель равен нулю?
Является ли система совместной, если она имеет бесчисленное множество решений?
Как называется система, если она не имеет решений?
9
Практическое занятие № 2.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
специальность 2202 «Автоматизированные системы обработки информации и управление в промышленности» - 2 часа
специальность 1201 «Технология машиностроения» - 2 часа
специальность 2802 «Технология текстильных изделий» – 1 час
Цель занятия. Научить студента составлять расширенную матрицу системы и приводить её с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.
Студент должен знать:
- элементарные преобразования матрицы;
- интерпретировать полученный результат.
уметь:
- решать линейные уравнения;
- использовать элементарные преобразования матрицы при решении систем;
- по расширенной матрице составить систему линейных уравнений.
10
Указание.
Матрица – это прямоугольная таблица чисел.
Прямоугольной матрицей называется совокупность чисел (действительных или комплексных), расположенных в виде прямоугольной
таблицы, содержащей n строк и m столбцов.
Такая матрица записывается в виде
 a11 a12

a
a
A   21 22
.
.

a
 n1 an 2
Числа
a1m 

a2 m 
или сокращенно A  aij
.
. 

amn 
aij i  1,2,..., n; j  1,2,..., m , составляющие данную
 
матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i указывает строку,
второй индекс j - столбец, на пересечении которых находится данный
элемент матрицы.
Заключая таблицу в скобки, мы хотим показать, что всю совокупность данных чисел мы должны рассматривать как одно целое.
Матрица называется треугольной, если элементы стоящие ниже
главной диагонали равны нулю.
Две матрицы A  aij и B  bij называются равными, если они
 
 
имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы
их равны:
a   b 
ij
ij
Матрица, состоящая из одной строки a11 a12 ... a1m  называется матрицей - строкой, матрица, состоящая из одного столбца
 a11 
 
 a 21 
 ...  , называется матрицей - столбцом. Если число строк мат 
a 
 n1 
рицы равно числу столбцов m=n, то матрица называется квадратной порядка n. С квадратной матрицей связан определитель (детерминант), элементы которого равны элементам матрицы. Так с квадратной матрицей
 a11
 a 21
второго порядка 
a12 
a
 связан определитель det A  11
a 22 
a 21
11
a12
a 22
;
Решение линейных систем методом Гаусса
Пусть имеем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
 a11x  a12 y  b1

 a 21x  a 22 y  b2 ,
причем определитель системы  
(1)
a11
a12
a 21
a 22
0.
Обозначим через А матрицу из коэффициентов при неизвестных системы
и её свободных членов.
a
A   11
 a 21
a12 b1 

a 22 b2 
А- расширенная матрица системы.
Система не изменяется, если применить элементарные преобразования матрицы:
1. Умножение каждого элемента строки матрицы на число.
2. Прибавление каждому элементу одной строки соответствующего
элемента другой строки.
Цель метода. Привести матрицу к треугольному виду.
Пример. Решить систему:
2 x  4 y  3z  1
4 x  5 y  7 z  7
6x  8 y  5z  5
Составим расширенную матрицу. Выпишем матрицу из коэффициентов системы, присоединим к ней столбец из свободных членов, для
удобства отделим его вертикальной чертой.
2 4  3 1 


C  4
5 7 7
6  8
5 5 

Разделим первую строку на a11  2 , получим
12

3 1
1

2 
2 2

5  7  7 .
4
6  8
5 5




Умножим первую строку на 4 и вычтем из второй, затем умножим
первую строку на 6 и вычтем из третьей, тогда получим

3 1
1

2 
2 2

0  3 1  9
 0  20 14 2 




Продолжаем преобразования матрицы дальше. Разделим вторую строку

3 1
1

2 
2 2

1
на a 22  3  0
1
3 , умножим вторую строку на 20 и сло
3
 0  20 14
2 




3 1
1 2 

2 2

1
жим с третьей:  0 1
3  .

3

62 62 
0 0

3


После таких преобразований матрицы мы приходим к системе
уравнений
x  2y 
y
3
1
z
2
2
1
z 3 3
3
62
z  62
3
Из последнего уравнения находим: z = 3, подставляя значение
13
z = 3 во второе уравнение, получаем y  2 и, наконец, подставляя в первое уравнение z = 3 и y  2 , получаем х = 1.
Итак решение системы х = 1, y  2 , z = 3.
Ответ: (1; 2; 3)
Задание.
Решить системы методам Гаусса.
2 x  3 y 

1. 3x  y 
x

z0
z 3
z2
 3х1  х2  2 х3  х4  8
 2 х  3х  3х  х  3
1
2
3
4
2. 

4 х1  2 х2  5 х3  3х4  6
 х1  2 х2  4 х3  3х4  3
 2 х1  3х2  5 х3  х4  6
 3х  х  х  5 х  0
1
2
3
4
3. 

2
х

х

3
х

5
1
2
4

2 х1  2 х2  х3  7 х4  3
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется матрицей?
Измениться ли матрица, если каждый элемент столбца
умножить на постоянное число?
Какие преобразования матрицы называются элементарными?
Сколько решений может иметь квадратная система?
Какая матрица называется треугольной?
14
Индивидуальные задания
Вариант. 1.
Решить систему по формулам Крамера:
5 х  8 y  z  7

 x  2 y  3z  1
2 x  3 y  2 z  9

Вариант. 2.
Решить систему по формулам Крамера:
 х  2y  z  4

3x  5 y  3z  1
 2x  7 y  z  8

Вариант. 3.
Решить систему по формулам Крамера:
 3х  2 y  z  5

 2x  3y  z  1
2 x  y  3z  11

Вариант. 4.
Решить систему по формулам Крамера:
 x1  2 x 2  4 x3  31

5 x1  x 2  2 x3  29
 3x  x  x  10
2
3
 1
Вариант. 5.
Решить систему по формулам Крамера:
 4x  3y  2z  9

 2 x  5 y  3z  4
5 x  6 y  2 z  18

15
Вариант. 6.
Решить систему по формулам Крамера:
 2 x1  x 2  x3  4

3x1  4 x 2  2 x3  11
3x  2 x  4 x  11
2
3
 1
Вариант. 7.
Решить систему по формулам Крамера:
 x1  x 2  2 x3  1

2 x1  x 2  2 x3  4
4 x  x  4 x  2
2
3
 1
Вариант. 8.
Решить систему по формулам Крамера:
 3x1  x 2  5

  2 x1  x 2  x3  0
2 x  x  4 x  15
2
3
 1
Вариант. 9.
Решить систему по формулам Крамера:
 3x1  x 2  x3  4

2 x1  5 x 2  3x3  17
 x x x 0
1
2
3

Вариант. 10.
Решить систему по формулам Крамера:
 x1  x 2  x3  2

2 x1  x 2  6 x3  1
 3x  2 x  8
1
2

16
Вариант. 11.
Решить систему по формулам Крамера:
 2 x1  x 2  x3  1

 x1  x 2  x3  6
3x  x  х  4
2
3
 1
Вариант. 12.
Решить систему по формулам Крамера:
 2 x1  x 2  3 x3  3

3 x1  4 x 2  5 x3  8
 2 x  7 х  17
2
3

Вариант. 13.
Решить систему по формулам Крамера:
 x1  5 x 2  x3  7

 2 x1  x 2  x3  0
 x  2x  х  2
2
3
 1
Вариант. 14.
Решить систему по формулам Крамера:
 х  2 y  3z  6

2 x  3 y  4 z  16
3x  2 y  5 z  12

Вариант. 15.
Решить систему по формулам Крамера:
3 х  4 y  2 z  8

2 x  y  3 z  1
 x  5y  z  0

17
Вариант. 16.
Решить систему по формулам Крамера:
2 x1  x 2  3x3  7

 x1  3x 2  2 x3  0
 2x  х  2
2
3

Вариант. 17.
Решить систему по формулам Крамера:
 2 x1  x 2  4 x3  20

 2 x1  x 2  3x3  3
3x  4 x  5 х  8
2
3
 1
Вариант. 18.
Решить систему по формулам Крамера:
x1  x 2  4


 2 x1  3 x 2  x3  1
2 x  x  3х  11
2
3
 1
Вариант. 19.
Решить систему по формулам Крамера:
 x1  5 x 2  x3  7

 2 x1  x 2  x3  4
3x  2 x  4 х  11
2
3
 1
Вариант. 20.
Решить систему по формулам Крамера:
11x  3 y  z  2

2 x  5 y  5 z  0
 x yz 2

18
Вариант. 21.
Решить систему по формулам Крамера:
7 x  5 y  2 z  18

 x yz 3
 x  y  2 z  2

Вариант. 22.
Решить систему по формулам Крамера:
2 x  3 y  z  1

 xz 0
 x yz 2

Вариант. 23.
Решить систему по формулам Крамера:
x  2 y  2z  3

 x  y  2z  0
 x  y  z 1

Вариант. 24.
Решить систему по формулам Крамера:
 3x1  х 2  5 х3  7

2 x1  3х 2  4 х3  1
 5 x  х  3х  0
2
3
 1
Вариант. 25.
Решить систему по формулам Крамера:
 x1  2 х 2  х3  15

 2 x1  х 2  3х3  9
 x  3х  2 х  6
2
3
 1
19
Вариант. 26.
Решить систему по формулам Крамера:
 2 x1  х 2  2 х3  1

3x1  2 х 2  х3  1
 x  3х  3х  0
2
3
 1
Вариант. 27.
Решить систему по формулам Крамера:
2 x1  3х 2  4 х3  5

 3x1  4 х 2  х3  3
4 x  5 х  2 х  3
2
3
 1
Вариант. 28.
Решить систему по формулам Крамера:
2 x1  х 2  3х3  9

 x1  2 х 2  х3  3
 3x  х  х  1
2
3
 1
Вариант. 29.
Решить систему по формулам Крамера:
 3x1  х 2  2 х3  4

 2 x1  3х 2  х3  9
5 x  х  3х  4
2
3
 1
Вариант. 30.
Решить систему по формулам Крамера:
2 x1  х 2  3х3  4

 x1  3х 2  х3  2
 5x  2 х  х  5
2
3
 1
20
Используемая литература.
1.
2.
3.
4.
5.
Клетеник Л. В. Сборник задач по аналитической геометрии.
М.: Наука, 1972 г.
И.Д. Пехлецкий , Математика: Учебник.-2-е изд. Стереотип.М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2002 г.
Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях
и задачах. ч. 1. М.: Высшая школа, 1999 г.
Минорский В.Н. Сборник задач по высшей математике. М:
Наука, 1967 г.
Мироненко Е. С. Высшая математика, методические указания и контрольные задания для студентов - заочников высших учебных заведений. М.: Высшая школа, 1998 г.
21
Содержание
1. Практическое занятие № 1……………………………….
4
2. Практическое занятие № 2……………………………….
11
3. Индивидуальные задания ………………………………..
16
4. Литература………………………………………………..
22
22
Составитель Ульяна Анатольевна Бурцева
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математика»
Под редакцией автора
Темплан 2005 г., поз. № 40.
Подписано в печать 04. 05. 2005 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 1,44. Усл. авт. л. 1,25.
Тираж 100 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
23