11 класс, неравенстваx

11 класс, неравенства и другая алгебра.
𝑛
11 класс, неравенства и другая алгебра.
𝑛
1. Докажите, что любое простое число вида 22 + 1 не представимо в виде разности пятых степеней двух натуральных чисел.
1. Докажите, что любое простое число вида 22 + 1 не представимо в виде разности пятых степеней двух натуральных чисел.
2. Докажите, что не существует правильной четырехугольной пирамиды, у которой длины всех ребер, полная поверхность и объем являются целыми числами.
2. Докажите, что не существует правильной четырехугольной пирамиды, у которой длины всех ребер, полная поверхность и объем являются целыми числами.
2𝑥 + 𝑥 2 𝑦 = 𝑦
3. Решить систему уравнений { 2𝑦 + 𝑦 2 𝑧 = 𝑧
2𝑧 + 𝑧 2 𝑥 = 𝑥
2𝑥 + 𝑥 2 𝑦 = 𝑦
3. Решить систему уравнений { 2𝑦 + 𝑦 2 𝑧 = 𝑧
2𝑧 + 𝑧 2 𝑥 = 𝑥
4. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c справедливо неравенство a2(b+c–a)+b2(a+c–b)+c2(a+b–c) ≤ 3abc.
4. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c справедливо неравенство a2(b+c–a)+b2(a+c–b)+c2(a+b–c) ≤ 3abc.
5. Докажите, что при всех 𝛼 ∈ ℝ верно, что s𝑖𝑛(𝑐os 𝛼) < 𝑐os(s𝑖𝑛 𝛼).
5. Докажите, что при всех 𝛼 ∈ ℝ верно, что s𝑖𝑛(𝑐os 𝛼) < 𝑐os(s𝑖𝑛 𝛼).
6. Докажите, что для любого набора a1, a2, …an, таких, что ai>0 (i=1, …,n) и
6. Докажите, что для любого набора a1, a2, …an, таких, что ai>0 (i=1, …,n) и
a1+a2+…+an=1 верно, что
𝑎
∑𝑛𝑖=1 𝑖
2−𝑎
𝑖
≥
𝑛
.
2𝑛−1
𝑎
𝑛
a1+a2+…+an=1 верно, что ∑𝑛𝑖=1 2−𝑎𝑖 ≥ 2𝑛−1 .
𝑖
7. Докажите, что для любого набора a1, a2, …an, таких, что ai>0 (i=1, …,n) и
a1+a2+…+an=S верно, что
7. Докажите, что для любого набора a1, a2, …an, таких, что ai>0 (i=1, …,n) и
a1+a2+…+an=S верно, что
𝑛
𝑛
𝑎𝑖
𝑛
∑
≥
.
𝑆 − 𝑎𝑖 𝑛 − 1
∑
𝑖=1
8. Докажите, что для любых положительных чисел a1, a2, …an верно, что
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑎𝑖
𝑛
≥
.
𝑆 − 𝑎𝑖 𝑛 − 1
8. Докажите, что для любых положительных чисел a1, a2, …an верно, что
𝑎𝑖 𝑛
𝑎𝑖+1
∑(
) ≥∑
.
𝑎𝑖+1
𝑎𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑎𝑖 𝑛
𝑎𝑖+1
∑(
) ≥∑
.
𝑎𝑖+1
𝑎𝑖
9. Докажите, что для любых положительных чисел a1, a2, …an верно неравенство
9. Докажите, что для любых положительных чисел a1, a2, …an верно неравенство
∑𝑛𝑘=1 𝑘√𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑘
∑𝑛𝑘=1 𝑘√𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑘 ≤ 𝑒 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 .
≤
𝑒 ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 .
10. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d справедливо нера3
венство √
𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏𝑑+𝑎𝑐𝑑+𝑏𝑐𝑑
4
≤√
𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑎𝑑+𝑏𝑐+𝑏𝑑+𝑐𝑑
6
10. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d справедливо нера3
венство √
𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏𝑑+𝑎𝑐𝑑+𝑏𝑐𝑑
4
≤√
𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑎𝑑+𝑏𝑐+𝑏𝑑+𝑐𝑑
6
11 класс, неравенства и другая алгебра.
11 класс, неравенства и другая алгебра.
11. Докажите, что для любых чисел x, y, z, не равных 0, верно неравенство
𝑥2
𝑥 2 + √(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑧 2 )
+
𝑦2
𝑦 2 + √(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑦 2 + 𝑧 2 )
+
𝑦2
𝑥 2 + √(𝑧 2 + 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑧 2 )
11. Докажите, что для любых чисел x, y, z, не равных 0, верно неравенство
𝑥2
≤1
𝑥 2 + √(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑧 2 )
+
𝑦2
𝑦 2 + √(𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑦 2 + 𝑧 2 )
+
𝑦2
𝑥 2 + √(𝑧 2 + 𝑦 2 )(𝑥 2 + 𝑧 2 )
≤1
12. Для каких натуральных n > 1 неравенство 𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2 ≥ (𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 )𝑥𝑛
выполняется при всех вещественных x1, ..., xn?
12. Для каких натуральных n > 1 неравенство 𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2 ≥ (𝑥1 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 )𝑥𝑛
выполняется при всех вещественных x1, ..., xn?
13. Докажите, что для любых положительных чисел a≤b≤c≤d верно неравенство
abbccdda ≥ bacbdcad.
13. Докажите, что для любых положительных чисел a≤b≤c≤d верно неравенство
abbccdda ≥ bacbdcad.
14. Докажите, что для любых натуральных чисел n,k >1 верно неравенство
14. Докажите, что для любых натуральных чисел n,k >1 верно неравенство
𝑛𝑘
𝑛
𝑗=2
𝑗=2
𝑛𝑘
𝑛
𝑗=2
𝑗=2
1
1
∑ > 𝑘∑
𝑗
𝑗
1
1
∑ > 𝑘∑
𝑗
𝑗
15. Определите наименьшее действительное число M, при котором неравенство
|ab(a2 – b2) + bc(b2 – c2) + ca(c2 – a2)| ≤ M(a2 + b2 + c2)2 выполняется для любых действительных чисел a, b, c.
15. Определите наименьшее действительное число M, при котором неравенство
|ab(a2 – b2) + bc(b2 – c2) + ca(c2 – a2)| ≤ M(a2 + b2 + c2)2 выполняется для любых действительных чисел a, b, c.
16. На рёбрах полного графа на n вершинах расставлены числа 1, 2, 3, ..., ... Докажите, что при всех достаточно больших n найдётся (возможно, замкнутый) путь из
трёх рёбер, сумма чисел на которых не больше 3n–1000.
16. На рёбрах полного графа на n вершинах расставлены числа 1, 2, 3, ..., ... Докажите, что при всех достаточно больших n найдётся (возможно, замкнутый) путь из
трёх рёбер, сумма чисел на которых не больше 3n–1000.
17. Докажите, что для любых натуральных чисел k > n выполняется неравенство
17. Докажите, что для любых натуральных чисел k > n выполняется неравенство
𝑘
√𝑘!
𝑛
√𝑛!
𝑘
≤ 𝑛.
𝑘
√𝑘!
𝑛
√𝑛!
𝑘
≤ 𝑛.
18. Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам,
на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить
такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат
заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой
коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке. Какие
коробки следует купить?
18. Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам,
на которые установлены цены в 1, 2, ..., n у. е. соответственно. Требуется купить
такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат
заведомо не менее k/n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой
коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке. Какие
коробки следует купить?
19. Докажите, что для любых неотрицательных вещественных a, b, c верно неравенство 4(√𝑎3 𝑏 3 + √𝑏 3 𝑐 3 + √𝑐 3 𝑎3 ) ≤ 4𝑐 3 + (𝑎 + 𝑏)3
19. Докажите, что для любых неотрицательных вещественных a, b, c верно неравенство 4(√𝑎3 𝑏 3 + √𝑏 3 𝑐 3 + √𝑐 3 𝑎3 ) ≤ 4𝑐 3 + (𝑎 + 𝑏)3
20. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить
цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки
(менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
20. На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить
цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки
(менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
21. Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих
по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x,y) , для которых f(x)=g(y) , через n – число пар, для которых f(x)=f(y) , а через k – число пар, для которых g(x)=g(y) . Докажите, что 2m n+k .
22. В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
б) А может ли быть ровно 50?