Задача 3. Три человека записали в своих блокнотах число

Задания по математике для муниципального этапа всероссийской
олимпиады школьников 2012-2013 учебного года
7 КЛАСС
Задача 1. Дан прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см. Разрежьте его на три прямоугольника, сумма периметров которых равна 19 см? Нарисуйте чертёж и укажите размеры.
Задача 2. В картонной коробке лежат катушки с цветными нитками. Василий сказал: «В картонной коробке есть катушка с синими нитками». Николай сказал: «В картонной коробке есть катушка с зелёными нитками». Петр сказал: «В картонной коробке есть
катушка с синими и катушка с зелёными нитками». Михаил сказал: «В картонной коробке
есть две катушки с зелёными нитками». Как потом выяснилось, три человека сказали
правду, а один — неправду. Кто он?
24965
Задача 3. Три человека записали в своих блокнотах число 12345 . Потом каждый из
них стер некоторые цифры в числителе и знаменателе дроби. Удастся ли им таким образом получить тремя различными путями число 1/9?
Задача 4. Можно ли провести на плоскости 2012 различных прямых так, чтобы
каждая пересекала все остальные, кроме пяти?
Задача 5. Дано двадцать целых чисел от одного до двадцати. Можно ли покрасить
каждое из этих чисел в один из трёх данных цветов таким образом, чтобы цвет суммы
любых двух различных одноцветных чисел был не таким, как у слагаемых? (Все числа, большие 20, считаем покрашенными в четвёртый цвет.)
8 КЛАСС
Задача 1. Найдите самое большое целое число, у которого одна из его цифр равна
сумме всех остальных и любые две его цифры не равны между собой.
Задача 2. Есть четыре монеты. Три монеты настоящие и имеют одинаковый вес.
Четвертая монета является фальшивой и ее вес не равен весу настоящей. Весы могут
определить точный вес лишь двух или большего числа монет. Точный вес одной монеты на
весах невозможно определить. Как за 4 взвешивания наверняка найти фальшивую монету и
определить, какие монеты легче, настоящие или фальшивые?
Задача 3. Дан прямоугольный треугольник, у которого высота, опущенная на гипотенузу, составляет четвертую часть от гипотенузы. Найдите острые углы треугольника.
Задача 4. Между городами X и Y через пролив Z курсируют с равными постоянными
скоростями несколько паромов. Каждый паром стоит у каждого берега столько же времени, сколько тратит на переправу. Пассажир заметил, что паромы отправляются от каждого берега через равные промежутки времени, а его паром отправился ровно в тот момент, когда к одному из причалов прибыл паром с другого берега. Докажите, что число курсирующих на переправе паромов делится на 4.
Задача 5. Дано пятьдесят целых чисел от одного до пятидесяти. Можно ли покрасить каждое из этих чисел в один из четырёх данных цветов таким образом, чтобы цвет
суммы любых двух различных одноцветных чисел был не таким, как у слагаемых? (Все числа,
большие 50, считаем покрашенными в пятый цвет.)
9 КЛАСС
Задача 1. Требуется найти самое большое целое число, у которого все цифры
различны, и одна из цифр равна произведению остальных.
Задача 2. Взяли первое и второе число. Третье число равно сумме первого и
второго, четвертое получается, если сложить второе и третье и т.д. Оказалось,
что сумма первых шести чисел равна 2012. Найдите пятое число.
Задача 3. На части плоскости начертили восемь непересекающихся квадратов
и от каждого квадрата начертили по стрелочке к тем из остальных семи, которые
не больше него. Всего получилось 29 стрелочек. Докажите, что среди начерченных
квадратов есть равные.
Задача 4. В треугольнике MNP точка S — середина медианы MR, MR =NP, угол
PNS = 30. Докажите, что MPC =NS.
Задача 5. Каждое из натуральных чисел от одного до двенадцати нужно покрасить какой-нибудь цветом так, чтобы при сложении двух различных одноцветных чисел всегда получалась сумма, выкрашенная в другой цвет. Какое наименьшее
число красок нужно для этого приобрести? (Все числа, большие 12, считаются неокрашенного цвета.)
10 КЛАСС
Задача 1. Дано число, у которого частное от деления целой части на дробную равно
2012. Найдите наименьшее такое число.(Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х, дробной частью числа — разность между числом и его целой
частью (например, целая часть числа 43,49 равна 43, а его дробная часть равна 0,49).)
Задача 2. В папке лежат три цветных листа бумаги. Антон сказал: «В папке есть
алый лист». Борис сказал: «В папке есть фиолетовый лист». Владимир сказал: «В папке
есть два фиолетовых листа». Григорий сказал: «В папке есть желтый лист». Дмитрий
сказал: «В папке есть два желтых листа». Докажите, что как минимум два человека ошибаются.
Задача 3. На плоскости с декартовой системой координат прямую линию, заданную
уравнением y – ax-b=0, назовём замечательной, если она имеет ровно одну общую точку с
графиком функции y = x2+bx+a. Докажите, что на координатной плоскости можно найти
две такие точки, что каждая замечательная прямая линия проходит через одну из них.
Задача 4. Верно ли, что все стороны треугольника длиннее, как минимум, двух из
трёх отрезков, соединяющих вершины треугольника с центром вписанной окружности?
Ответ обоснуйте.
Задача 5. На чистом листе бумаги записаны восемь натуральных чисел (среди которых могут быть и равные) и из каждого числа провели стрелочки к тем из остальных семи,
которые на него делятся. Могло ли получиться ровно 50 стрелочек? Ответ обоснуйте.
2
11 КЛАСС
Задача 1. Дано число, у которого произведение его дробной части на его целую часть
равно 2012. Найдите наименьшее такое число. (Целой частью числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее a, дробной частью числа — разность между числом и его
целой частью (например, целая часть числа 42,17 равна 42, а его дробная часть равна 0,17).
Задача 2. Дан прямоугольный треугольник. Произведение длин его сторон вдвое
больше произведения длин его высот. Найдите произведение острых углов треугольника.
Задача 3. Можно ли в пространстве найти ровно шесть различных прямых так,
чтобы существовали плоскости, содержащие и ровно одну, и ровно две, и ровно три и ровно
четыре из данных прямых.
Задача 4. Дан многочлен второй степени F(х)=х2+3сx+c. Известно, что |с|>5 и F(–
2)F(2)>0. Докажите, что этот трехчлен не имеет корней, лежащих между числами –2 и 2.
Задача 5. Даны все целые числа от 2 до 200. Каждое такое число покрашено какойнибудь краской так, чтобы цвет любого произведения двух сомножителей (не обязательно
различных), покрашенных одной краской, не совпадал с цветом сомножителей. Какое
наименьшее количество красок может быть использовано? (Все остальные числа считаются покрашенными одним другим цветом или бесцветными.)
Задача 6. Докажите, не используя таблиц значений тригонометрических функций и
любых технических вычислительных средств, что
1
6
< 𝑠𝑖𝑛 100 <
2
.
11
3