8 – 1 - Центр дополнительного образования детей

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр
дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:cdodd@mail.ru
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 8 класс
ответы и решения к работе № 3,
2011-2012 уч. год
1. При каких значениях a квадратные многочлены x 2  ax  1 и x 2  x  a
имеют общий действительный корень?
Ответ: a  2 .
Решение. Пусть x1 - общий корень данных многочленов, тогда
2
2
x1  x1  a  0 ,
x1  ax1  1  0
и
т.е.
2
2
x1  ax1  1  x1  x1  a  ax1  1  x1  a  ax1  1  x1  a  x1  1a  1  0 . Тогда,
a  1 или x1  1. Если a  1 , то многочлены имеют вид x 2  x  1 и не имеют
действительных корней. Если x1  1, то 12  a  1  1  0 и 12  1  a  0 , т.е. в обоих
случаях a  2 .
2. По замкнутому маршруту курсируют с одинаковой скоростью и
равными интервалами движения 10 трамваев. Сколько трамваев нужно
добавить, чтобы при той же скорости трамваев интервалы между трамваями
уменьшились на
1
?
6
Ответ: 2 трамвая.
Решение. Пусть s - длина маршрута, l - расстояние между трамваями по
траектории движения, x - необходимое число трамваев, чтобы удовлетворить
требованию задачи. Тогда 10  l  3 и x   l  l   s , то есть x   

1
6 
3 6
l 5
10  6
 12 .
5
Надо добавить 2 трамвая.
3. Бумажный треугольник с углами 20  , 20  и 140  разрезают по одной из
биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезают по какойлибо биссектрисе и так далее. Может ли после нескольких разрезов
получиться треугольник, подобный исходному?
Ответ: не может.
Решение. Предположим, что на каком-то шаге мы получили
треугольник, подобный исходному. Тогда все его углы кратны 20  . Покажем,
что у предыдущего треугольника и вообще у всех предыдущих углы кратны
20  . Пусть к треугольнику с углами  ,  ,  приклеили ранее отрезанный угол
 , тогда получится треугольник с углами 2 ,  ,    , которые кратны
любому общему делителю углов  ,  ,  . Однако делимость на 20 теряется
после первого разрезания исходного треугольника. Противоречие.
4. Найдите, при каких значениях x и y выражение f x, y  
x  y  2 xy
x
4
2
 4 y2

2
является целым числом.
Ответ: при x  0 и y  0 ; при x  0 и y  0 ; при x  0 и y  0 ; при
x  y  0.
Решение. Ясно, что в первых двух указанных в ответе случаях f x, y 
принимает значения  1 ; в третьем случае – значение 1, а в четвертом – 0.
При x  y  0 выражение неопределенно, а при x  0 и y  0 , где x  y , имеем

f  x, y   


x 
x 
2
y 
, т.е.  1  f x, y   1 и f x, y   0 .
y 
5. На плоскости даны две точки A и B. Одним циркулем (без линейки)
постройте середину отрезка AB.
Решение. Построим точку C на прямой AB, такую, что AB = BC. Для
этого построим окружность с центром B и радиусом BA. Отметим на
окружности точки D, E и C, так что AD = DE = EC = AB. Треугольники
ABD, DBE и EBC — равносторонние, поэтому угол ABC равен 180,
следовательно точка C лежит на прямой AB и AB = BC.
Строим две окружности: первую — с центром в точке C и радиусом CA,
вторую — с центром в точке A и радиусом AB. Обозначим точки
пересечения этих окружностей через E и F и построим две окружности с
центрами в этих точках и радиусом равным AB. Эти окружности пересекутся
в точке A и еще в одной точке — G. Докажем, что точка G и будет серединой
отрезка AB.
Точки E и F симметричны относительно прямой AC, а точка G
равноудалена от точек E и F и следовательно лежит на прямой AC.
Равнобедренные треугольники AEG и CAE, поэтому AG : AE = AE : AC, а
так как AE = AB, AC = 2AB, то AG : AB = AB : 2AB, отсюда получаем, что
AB = 2AD.
6. Докажите, что из 10 различных четных двузначных чисел можно
выбрать две пары так, чтобы разности парных чисел были равны.
Решение. Расположим эти числа в порядке возрастания и применим
метод рассуждения от противного. Допустим, что все разности различны,
тогда разности между соседними числами также различны. Сумма разностей
(n2 – n1) + (n3 – n2) + …+(n10 – n9) = n10 – n1 не менее 2 + 4 + … + 18 = 90. То
есть n10 – n1  90, n10  n1 +90. Так, как n1  10, то n10  100, а по условию все
числа двузначные.