XI открытый конкурс научно-технических работ школьников и студентов «Старт в науку»

XI открытый конкурс научно-технических работ
школьников и студентов
«Старт в науку»
Секция: Биология
Тема: «Элементы теории вероятности в генетике»
Автор: Кантемирова Дина
СОШ № 27, 10 кл.
МОУ ДОД ДДТТ
Научный руководитель:
Бегиева Тамара Борисовна
кандидат педагогических наук,
заслуженный работник образования РСО – Алания,
победитель конкурса «Лучший учитель России»,
учитель – методист, преподаватель математики
г. Владикавказ
2011 г.
Тезисы
В данной работе рассматривается применение статистики и теории
вероятностей при решении задач по биологии.
Объект исследования: статистика и теория вероятностей.
Предмет исследования: математические аспекты законов Менделя и
Харди как проблема генетики.
Основные задачи исследования:
• выделить соотношение между статистическими и вероятностными методами
решения проблемы; (1, с.35-49)
• показать применение метода математического моделирования для решения
задач по биологии. (2.с.5-8)
В основной части работы приведено доказательство закона Харди с
применением элементов теории вероятностей (классическое определение
вероятности события, теорема о сумме несовместимых и теорема о
произведение независимых событий).
Структура популяции вида: АА Аа аа
P2
2pq q2
стационарна, т.е. не меняется от поколения к поколению, где P2 2pq q2
соответствующая вероятность генотипа АА Аа аа.
Значение работы состоит в том, что показано применение математических
методов при решении прикладной задачи.
В заключении представлены выводы.
Работа содержит список литературы.
План
Введение___________________________________________________________2
1. Законы Менделя: статистика и теория вероятностей в биологии___________3
2. Закон Харди: математический аспект__________________________________5
3. Заключение________________________________________________________9
4. Литература_______________________________________________________10
Введение
«Без знания математики нельзя понять
основ современной техники, ни того, как
ученые изучают природные и социальные
явления»
А.М. Колмогоров
В данной работе рассматривается применение статистики и теории вероятностей
при решении задач биологии.
Объект исследования: статистика и теория вероятностей.
Предмет исследования: математические аспекты законов Менделя и Харди как
проблемы генетики.
Основные задачи исследования:
• выделить соотношение между статистическими и вероятностными методами решения
проблемы;
• показать применение метода математического моделирования для решения задач в
биологии;
Значение работы состоит в том, что показано применение математических
методов прикладной задачи.
В заключении представлены выводы.
Работа содержит список литературы и приложение.
Законы Менделя: статистика и теория вероятностей в биологии
В нашу современную жизнь вторгается
математика с её особым стилем
мышления, становящимся сейчас
обязательным и для инженера, и для
биолога»
Б.В. Гнеденко
Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству
зависит от определенного гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый
признак, находятся парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов,
отвечающих за цвет цветков потомства, - красный или белый. Эти гены могут
находиться в двух состояниях – доминантном (оно обозначается буквой А) и
рецессивном (оно обозначается буквой а). Поэтому пары генов могут быть такими: АА,
Аа или аА, аа
Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый –
доминантный, второй – смешанный, третий – рецессивный. Оказывается, что
наследование признака зависит от генотипа особи. Например, для гороха красный цвет
цветков – доминантный признак, а белый – рецессивный.
Из опытов известен первый закон Менделя: особи доминантного и смешанного
генотипов в фенотипе (внешнее проявление признака) обладают доминантным
признаком, и только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным
признаком.
Согласно этому закону для гороха особи доминантного и смешанного генотипов
имеют красный цвет цветков, и только особи с рецессивным генотипом имеют белый
цвет цветков. (2.с.36-42)
Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и аа – поколение F0
(родительские формы).
После скрещивания особей с генотипом АА с особями с генотипом аа поколение
F0 образуется поколение гибридов с генотипом Аа. Это поколение в генетике принято
обозначать F1. В поколении F1 других генотипов, кроме генотипа Аа, нет.
При случайном скрещивании особей поколения F1 образуется поколение F2 в
котором одинаково часто встречаются 4 генотипа: АА, Аа, аА, аа.
Из опытов известен второй закон Менделя: в поколении F2 происходит
расщепление фенотипов в отношении 3:1 (три части составляют особи с доминантным
признаком в фенотипе, одна часть приходится на особи с рецессивным признаком в
фенотипе).
Из этого закона следует, что для поколения F2 вероятность того, что в фенотипе
особи проявится доминантный признак, равна ¾, а вероятность того, что в фенотипе
особи проявится рецессивный признак, равна ¼.
Законы Менделя интересны также тем, что они наглядно показывают связь между
классической и статистической вероятностями. На первом этапе Мендель проводил
статистический анализ и обнаружил устойчивость частот. Затем была построена
теория, согласно которой цвет семян определяется комбинацией хромосом. Из четырех
возможных комбинаций три соответствуют красному цвету, а одна – белому, причем
эти четыре комбинации равновероятны. В других опытах Менделя вероятности
различных исходов также определяются равновероятными комбинациями хромосом
Следовательно, законы Менделя укладываются в рамках классической вероятности,
которая опирается на понятие «равновероятный исход» Таким образом, сначала мы
видим переход от статистической вероятности к классической. А при
экспериментальной проверке закона проводилось большое число опытов, и
вычислялись частоты появления семян красного и белого цветов. Следовательно, здесь
мы видим переход уже от классической вероятности к статистической. (4.с.25-27).
Закон Харди: математический аспект
«Ни одно человеческое исследование не
может назваться истинной наукой, если
оно не прошло через математические
доказательства»
Леонардо да Винчи
Пусть в популции встречаются три генотипа: АА, Аа, аа, при этом доля особей
генотипа АА равна и, доле особей генотипа Аа равна 2V и доля особей генотипа аа
равна W. Тогда структуру популяции можно кратко записать следующим образом.
АА
Аа
аа
u
2v
w
(1)
Отсюда следует, что если популяция содержит N особей, то особей генотипа АА в ней
будет uN, особей смешанного генотипа Аа – 2vN и особей рецессивного генотипа аа –
wN. При этом, так как
uN+2vN+wN=N
то
u+2v+w=1
(2)
Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного генотипа
имеют 2 uN генов А (у каждой особи два гена А, а всего особей uN),особи смешанного
генотипа имеют 2vN генов А (у каждой особи один ген А, и всего особей 2vN), у
особей рецессивного генотипа генов А нет. Следовательно, в популяции (1) число
генов А равно:
2 uN= 2 vN= 2N (u=v),
или, короче, 2Np, где
p=u+v
(3)
Число p имеет простой вероятностный смысл – это есть Р(А), т.е.вероятность
того, что выбранный наудачу ген доминантен. Действительно, доминантных генов 2Np,
а всех генов 2N (у каждой особи популяции два гена). Следовательно,
P(A)=2Np = p
(4)
2N
Аналогично подсчитывается, что число всех рецессивных генов а в популяции (1)
равно:
2Nq
где
q= w + v
(5)
При этом число q имеет аналогичный вероятностный смысл:
P(a)=2Nq = q
(6)
2N
Из вероятного смысла чисел p и q, а также из формул (3), (5), (2) следует, что
p+q=1
(7)
Заметим, что числа u, 2v и w в (1) тоже имеют простой вероятностный смысл
(подсчет аналогичен проведенному выше подсчету для доминантных генов):
P(AA)=uN = u,
(8)
N
P(Aa) = 2vN = 2v
(9)
N
P(aa) = wN = w
(10)
N
При этом P(Aa), P(Aa), P(aa) – вероятности того, что выбранная на удачу особь
имеет генотип АА, Аа и аа соответственно.
Теперь посмотрим, какова будет структура потомства. Пусть потомство имеет
структуру:
АА
u1
Аа
аа
2v1
w1
(11)
Подсчитаем u1, 2v1, w1. Числа u1, 2v1, w1 есть вероятности того, что взятый на удачу
потомок имеет соответственно генотип АА, Аа и аа (см. соответственно формулы 8, 9,
10). Так как скрещивания происходят независимым образом, то вероятность u1 может
рассматриваться как вероятность следующего события: на удачу и независимым
образом из всего запаса выбрали два гена А. Так как выбрать каждый ген А можно с
вероятностью р (формула 4), то в силу теоремы умножения вероятностей независимых
событий интересующая нас вероятность равна р2, т.е.
u1 = p2
(12)
Аналогично с использованием формулы (6) получаем:
w1 = q2
(13)
Вероятность генотипа Аа в популяции потомков складывается из двух возможностей –
либо ген А получен от отца, а ген а от матери, либо ген А получен от матери, а ген а от
отца – вероятности соответствующих событий есть pq и qp. Следовательно,
вероятность генотипа Аа в популяции потомков равна 2pq, т.е. 2v1 = 2pq. Отсюда,
v1 = pq
(14)
Следовательно, потомство (11) имеет следующую структуру:
АА
Аа
аа
p2
2pq
q2
(15)
Самое замечательное состоит в том, что если для потомства взять u1 + v1 и w1 + v1,
как это делалось для родителей в формулах (3) и (5), то получим те же самые числа p и
q. Действительно, согласно формулам (12), (14), (13), (7) имеем:
u1 + v1 = p2 + pq = p(p + q) = p
w1 + v1 = q2 + pq = q(q + p) = q
так как структура (15) потомства вычислена только с использованием этих сумм,
то потомки популяции со структурой (15) будут иметь ту же структуру. При этом
говорят, что структура (15) стационарна, т.е. от поколения к поколению не меняется.
Этот замечательный факт – со второго поколения устанавливается стационарная
структура популяции – является непосредственным обобщением второго закона
Менделя и называется законом Харди.
На практике возможно отклонение, однако, для больших популяций, закон Харди
остается в силе.
Для гороха вероятность получения белой особи равна q2 (рецессивный признак),
вероятность получения красной особи равна 1-q2 (как для противоположного события),
и отношение числа красных и белых особей равно (1-q2):q2.
Для описанного в параграфе «Законы Менделя» случая q =1
2
и мы опять получаем 3:1 (см. второй закон). (5.с.7-11)
Заключение
В результате исследования сделаны следующие выводы:
• статистические методы теории вероятностей применимы при решении прикладных
задач;
• вероятностно-статистические законы – средство описания научной картины мира,
моделирования социальных, экономических, естественно-научных процессов и
явлений.
Литература
1. Гнеденко Б.В., Хинчик А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей –
М., Наука, 1970.
2. Биология. Общая биология. Профильный уровень 10 класс. Учебник для
общеобразовательных учреждений А.Б. Захаров, С.Г. Мамонтов, Н.И. Сонин,
Е.Г. Захаров 5-е изд., М., Дрофа, 2009.
3. Колмагоров А.Н. Основы понятия теории вероятностей, М., 1974.
4. Алгебра учеб. Для 9 кл. общеобразовательных учреждений Ю.М. Макарычев,
К.И. Нешков, С.. Суворова под ред. С.А. Теляковского 16-е изд., М.,
Просвещение, 2009.
5. В. Феллер Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1.-М., 1984.