Вслед за Гауссом или Некоторые

1
Международный Фестиваль «Звезды Нового Века»
Точные науки (от 11 до 13 лет)
Вслед за Гауссом
или
Некоторые нестандартные
способы вычислений
Исследовательская работа
Автор:
Хамматова Камилла Наильевна,
Россия, сельское поселение Сингапай,
Нефтеюганское районное муниципальное
общеобразовательное учреждение
«Сингапайская средняя общеобразовательная
школа», 5 класс
Научный руководитель:
Баталова Оксана Владимировна, учитель
математики,
Нефтеюганское районное муниципальное
общеобразовательное учреждение
«Сингапайская средняя общеобразовательная
школа»
Контактные телефоны:
8(3463)293093,
8(3463)293030, 8(3463)293164, 89028591603
E-mail: [email protected]
2011
2
Содержание
I.
Введение …………………………………………………………………………...1
II.
Глава I Теоретическая часть ………………….…………………………..............2
III.
Глава II Практическая часть……………………………………………………....2
1. Вывод формул…………….……………………………………………………..3
2. Эксперимент……………………………………………………………………..4
IV.
Заключение…………………………………………………………………………4
V.
Список использованной литературы….…………………………………………..5
Приложение
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
Введение
Актуальность. В современном обществе процессы проходят очень быстро и поэтому
от человека требуется умение быстро принимать решения, в том числе и в
математических действиях. У нас возникла проблема с подсчётом суммы некоторых
чисел. Если не знаешь определённые способы вычислений, то задача может оказаться
непосильной либо занять для своего решения очень много времени.
Гипотеза: если найти способ «быстрых» вычислений, то его можно будет применить
при решении ряда задач, тем самым сократить время при их решении.
Цель: определить способ решения задач на нахождение суммы чисел, позволяющий
экономить время при их решении.
Объект исследования: задачи на сложение чисел.
Предмет: способы быстрого счёта.
Для реализации цели и проверки гипотезы я поставила следующие задачи:
1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. На основе анализа условий и решений задач определить более простые способы их
решения
3. Провести эксперимент.
Методы: анализ, синтез, обобщение, эксперимент.
Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что найдены
способы быстрого счёта при решении задач на нахождение суммы чисел, которые могут
применяться учащимися разных классов.
3
Новизна работы. Найденные способы решения задач отличаются от традиционных
способов формулировкой и простотой применения.
Глава I Теоретическая часть
В основе данной работы лежит идея подсчёта ста натуральных чисел от 1 до 100,
которую применил Карл Гаусс1 в
десятилетнем возрасте, когда школьный учитель
предложил классу сложить все числа от одного до ста. Пока он диктовал задание, у Гаусса
уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101*50=5050
Способ, который применил маленький Карл, был следующим: первое число сложено с
последним, второе с предпоследним и так далее (1+100=101, 2+100=101) и подсчитано
количество таких пар, их 50.
Глава II Практическая часть
1. Вывод формул
Если требуется сложить натуральные числа от 1 до какого-либо чётного числа, то для
определения количества пар достаточно последнее чётное число разделить на 2. А как
поступить, если последнее число нечётное? Например, необходимо сложить натуральные
числа от 1 до 111? На основе метода К. Гаусса сложим 1 и 111, 2 и 110, 3 и 109 и так
далее. Каждая такая сумма равна 112. Подсчитаем количество пар. Здесь возникает
проблема, так как 111 на 2 не делится и при подсчёте пар одно число остаётся без пары.
Возникает вопрос: сколько получится пар и какое число останется без пары? Чтобы
определить количество пар, надо из последнего числа вычесть первое и результат
разделить на 2, т.е. (111-1) : 2 = 110 : 2 = 55 (пар), тогда число, стоящее посередине ряда
(без пары) будет равно 56. Можно сделать иначе: 1+111 = 112, затем 112 : 2 = 56 – это
среднее число, тогда количество пар равно 55 (112*55 + 56 = 6 216).
Однако, мы сделали по-другому: мы решили найти сумму чисел от 1 до 110, а затем к
полученному результату прибавить 111. (1+110=111, 111 * (110 : 2) + 111= 6 216)
Таким образом, формула для подсчёта подобных сумм выглядит следующим образом:
1) для подсчёта суммы натуральных чисел от 1 до некоторого чётного числа формула
такая: (1 + У)*У/2, где У - наибольшее число в сумме
2) для подсчёта суммы натуральных чисел от 1 до некоторого нечётного числа
формула такая: У*(У-1)/2 +У.
А если сумма натуральных чисел начинается не с 1, а с 2-х или 3-х?
К. Гаусс - немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех
времён, «королём математиков».
1
4
Для определения способов решения исследуемых задач нам необходимо было
подобрать задачи данного вида, исследовать их на наличие закономерностей и описать эти
закономерности.
Задача 1.
Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 17.
2+3+…+17=
Такой пример позволяет «вручную» определить количество пар равных сумм: их 8. Тогда
решение: (2+17)*8=152
Для определения закономерности необходимо подобрать ещё несколько примеров:
2+3+4+5+6+7 . Пар получается 3, попытаемся найти закономерность:
2+3+4+5+6+7 = (2+7)*(7-2+1)/2) = 9*3 = 27.
Применим данный способ к примеру в задаче 1.
2+3+…+17= (2+17)*(17-2+1)/2 ) = 19*8 = 152. Найденную закономерность можно описать
с помощью формулы: (X+Y)(( Y - X +1)/2), где Х = 2, У - наибольшее число в сумме.
Задача 2.
Проверим, подойдёт ли эта формула для случая, если Х = 3, 4 и т.д. Обратим внимание на
то, что последнее наибольшее натуральное число в ряду складываемых чисел в сумме с
первым должно быть нечётным.
Вычислим: 3 + 4 + 5 + … + 16 по формуле: (3+16)*(16-3+1)/2 = 19*7 = 133.
Вычислим без формулы: 3 + 4 + 5 + … + 16 = (3 + 16)*7 = 19*7 = 133, значит, формула
подходит.
Задача 3.
Проверим для ряда, начинающегося с 4:
4+5+6+7+8+9+10+11=(4+11)*(11-4+1)/2=15*4=60.
Непосредственное сложение приводит нас к такому же результату.
Задача 4.
Определим формулу для случая, когда сумма первого и последнего чисел ряда будет
чётной.
Вычислим: 2+3+…+18. Здесь останется число без пары. Способ определения среднего
числа трудоёмкий, поэтому лучше сложить все числа до последнего числа, а затем
последнее число прибавить к полученной сумме.
2+3+…+18=(2+3+…+17)+18=19*16/2+18=170.
В данном случае применяем формулу, выявленную ранее (X+Y)((X-Y+1)/2) и к
полученному результату прибавляем оставшееся число.
5
Таким образом, мы определили формулы для решения данного вида задач на сложение
всех натуральных чисел от заданного числа.
2. Эксперимент
Далее мы провели эксперимент, в котором участвовали 10 учеников 5А класса (февраль
2011 года). Учащимся было предложено в течение получаса решить следующие примеры:
1) 1+2+3+…+300=
2) 1+2+3+…+301=
3) 2+3+4+…+352=
4) 2+3+4+…+353=
5) 3+4+5+…+300=
6) 4+5+6+…+300=
Результаты эксперимента представлены в таблице (Приложение 1).
Со всей работой не справился никто из класса. 4 человека решили верно пример №1,
следуя способу Гаусса, ещё 2 человека верно решили пример №5.
Через 5 дней мы предложили найденный нами способ решения этим учащимся и
результат был другим. Из 10 человек все примеры решили 7 человек, трое допустили
вычислительные ошибки.
Также мы дали учащимся совет: если вам необходимо найти закономерность при
решении громоздкой задачи, то можно попробовать обнаружить эту же закономерность на
аналогичной задаче с более простыми данными, а затем применить найденное решение к
первоначально заданной задаче.
Заключение
В результате нашего исследования определён способ решения задач на нахождение
суммы последовательных натуральных чисел, позволяющий экономить время при их
решении. Цель работы достигнута, гипотеза подтвердилась.
Перспективы работы: в дальнейшем мы попытаемся найти способ решения
аналогичных задач с шагом равным 2, 3 , 4 и так далее.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что определены
формулы, которые успешно могут применяться для нахождения суммы последовательных
натуральных чисел.
Список использованной литературы
6
1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Гаусс,_Карл_Фридрих
2. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. M: МЦНМО, 2001, глава «Король
математиков».
3. Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательного учреждения,
М.: «Мнемозина», 2006.
Приложение 1
Результаты эксперимента
1. Начальный
Дата проведения: 11 февраля 2011 года.
Класс: 5А
Количество учащихся: 10 человек
Фамилия И.
1. Абдугафарова М.
2. Докукин Д.
3. Гусева Д.
4. Морозенко Д.
5. Плаксин Д.
6. Картаус Д.
7. Петякина Ю.
8. Плаксин Д.
9. Сучков А.
10. Шарипова А.
Итого
пример
№1
+
+
+
+
4
пример
№2
0
пример
№3
0
пример
№4
0
пример
№5
+
+
2
пример
№3
+
+
+
+
+
+
+
7
пример
№4
+
+
+
+
+
+
+
7
пример
№5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
9
2. Повторный
Дата проведения: 16 февраля 2011 года.
Класс: 5А
Количество учащихся: 10 человек
Фамилия И.
1. Абдугафарова М.
2. Докукин Д.
3. Гусева Д.
4. Морозенко Д.
5. Плаксин Д.
6. Картаус Д.
7. Петякина Ю.
8. Плаксин Д.
9. Сучков А.
10. Шарипова А.
Итого
пример
№1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10
пример
№2
+
+
+
+
+
+
+
+
8
7