Введение в системы счисления

Введение в системы счисления
1.
2.
3.
4.
Понятие системы счисления (СС)
Непозиционные СС
Позиционные СС
Пример 10-ой СС
Для обмена информацией между людьми используются естественные языки (русский, английский, немецкий и т. д.).
В естественных языках для построения слов используются символы, которые отличаются друг от друга написанием. Из
символов по некоторым правилам строятся слова и предложения, понятные для человека.
Для представления числовой информации (о количестве объектов) то же используются специальные языки, которые
описывают символы (в данном случае, цифры) и правила построения чисел из цифр (символов), определяющие порядок
записи цифр в числе и операции над числами, то есть правил сложения, вычитания, умножения и т. п. Эти специальные
языки называются системами счисления.
Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В
позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не
зависит.
Системы счисления (СС)
Позиционные СС
Непозиционные СС
В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не
зависит от ее позиции в записи числа.
Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней
используются: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в
каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра
стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской
системе счисления будет выглядеть следующим образом:
МСМХСVIII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1.
Число 15 в римской системе – XV = 10 + 5
А число 8 можно представить как:
VIII = 5 + 1 + 1 + 1
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная,
двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и
основание.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной
системе счисления.
В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет,
во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно
бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем
счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,
где
ai — цифры системы счисления;
n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых
арабских цифр, и основание, равное 10.
Двоичная – две цифры и основание 2.
Восьмеричная – восемь цифр и основание 8.
Шестнадцатеричная – шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание
16.
Система счисления
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
Основание
10
2
8
16
Алфавит цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А (10), В (11), С (12), D
(13), E (14), F (15)
Пример записи чисел в 10-ой СС
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у
людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае,
например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа
возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа
позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра смещенная на одну позицию влево – количество десятков, еще
левее – сотен, затем тысяч и так далее.
Число в десятичной позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания
(10), в качестве коэффициентов выступают цифры данного числа.
Запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом 555 10 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100.
Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания.
Например: 555,5510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100 + 5 *10-1 + 5 *10-2
Индекс 10 у чисел (55510 и 555,5510) обозначает основание системы счисления в которой записано число, в данном
примере, это десятичная СС.
Десятичная
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Соответствие чисел в различных системах счисления
Шестнадцатеричная
Восьмеричная
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
10
9
11
А
12
В
13
С
14
D
15
E
16
F
17
Двоичная
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111