Московский турнир математических боев Финал. Лига 11Б

Московский турнир математических боев
Финал. Лига 11Б
1. Известно, что функция f(x) определена при всех действительных значениях х и является
монотонно убывающей, а функцияx x + f(x) является возрастающей. Докажите, что при всех
натуральных n функция х + f(x) + f(f(x)) + f(f(f(x))) + … + f ( f (...( x)...)) является возрастающей.



n
2. Число n > 50 является суммой квадратов трех последовательных натуральных чисел.
Докажите, что оно по крайней мере еще одним способом может быть представлено в виде
суммы трех квадратов натуральных чисел.
3. В каждой из трех школ учится по n человек. Любой ученик имеет в сумме n + 1 знакомых
учеников из двух других школ. Докажите, что можно выбрать по одному ученику из каждой школы
так, чтобы все трое выбранных учеников были знакомы друг с другом.
4. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Пло-
7
a , CAB  2DBA . Найдите площадь
5
щади треугольников ВОС и АОD равны. АС = а, BD =
АВСD.
5. Все грани треугольной пирамиды – подобные прямоугольные треугольники. Найдите
отношение наибольшего ребра этой пирамиды к наименьшему.
2
6. Вычислите
 cos x  cos 5x  cos 25x    сos5
2005

х dx .

7. Каждая точка плоскости покрашена в один из двух цветов. Для каждого треугольника, все
вершины которого одного и того же цвета, центр описанной окружности этого треугольника покрашен в тот же цвет. Докажите, что все точки плоскости – одного цвета.
8. Докажите, что если α, β и γ – углы треугольника, то
cos(α – β)cos(β – γ)cos(γ – α) ≥ 8cosαcosβcos γ.
Московский турнир математических боев
Финал. Лига 11Б
1. Известно, что функция f(x) определена при всех действительных значениях х и является
монотонно убывающей, а функцияx x + f(x) является возрастающей. Докажите, что при всех
натуральных n функция х + f(x) + f(f(x)) + f(f(f(x))) + … + f ( f (...( x)...)) является возрастающей.



n
2. Число n > 50 является суммой квадратов трех последовательных натуральных чисел.
Докажите, что оно по крайней мере еще одним способом может быть представлено в виде
суммы трех квадратов натуральных чисел.
3. В каждой из трех школ учится по n человек. Любой ученик имеет в сумме n + 1 знакомых
учеников из двух других школ. Докажите, что можно выбрать по одному ученику из каждой школы
так, чтобы все трое выбранных учеников были знакомы друг с другом.
4. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и АОD равны. АС = а, BD =
7
a , CAB  2DBA . Найдите площадь
5
АВСD.
5. Все грани треугольной пирамиды – подобные прямоугольные треугольники. Найдите
отношение наибольшего ребра этой пирамиды к наименьшему.
2
6. Вычислите
 cos x  cos 5x  cos 25x    сos5
2005

х dx .

7. Каждая точка плоскости покрашена в один из двух цветов. Для каждого треугольника, все
вершины которого одного и того же цвета, центр описанной окружности этого треугольника покрашен в тот же цвет. Докажите, что все точки плоскости – одного цвета.
8. Докажите, что если α, β и γ – углы треугольника, то
cos(α – β)cos(β – γ)cos(γ – α) ≥ 8cosαcosβcos γ.