Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе для студентов естественных факультетов Определение модуля упругости из растяжения Ростов - на – Дону 2006 2 Методические указания разработаны кандидатом физико – математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики Е.Я.Файном, ассистентом кафедры общей физики М.Б. Файн. Ответственный редактор А.С. Богатин Компьютерный набор и верстка Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета РГУ, протокол №11 от 17.01.06г. 3 Определение модуля упругости из растяжения Краткая теория. Деформация тела, неисчезающая по прекращению действия на него силы, называется пластической, а если исчезает – упругой. Деформируемое тело, благодаря изменению в нём молекулярных сил взаимодействия, противодействует силе, вызывающей деформацию. Сила, с которой деформируемое тело противодействует силе, вызывающей деформацию, называется силой упругости. Величина, измеряемая силой упругости, приходящейся на единицу площади, называется механическим напряжением: F S (1) Единицы измерения механического напряжения 1Па и 1 Н/мм2. Допустим, что на закрепленный стержень (трос, провод) действуют силой F. От того стержень растянется, длина его 0 увеличится на и станет . Разность - 0 = называется абсолютным удлинением, которая показывает на сколько изменилась при деформации вся длина тела. Отношение называется относительным удлинением. Экспериментально установлено, что для данного материала в пределах упругой деформации отношение механического напряжения к относительному удлинению есть величина постоянная. Это отношении называется модулем Юнга. E (2) Различные материалы имеют различный модуль Юнга. Например, модуль Юнга стальной проволоки марки СТ – 3 приблизительно равен 2105 Н/мм2 , меди 1.2 10 5 Н/мм2. Модуль Юнга численно равен механическому напряжению, 4 которое надо приложить к стержню, чтобы растяжением увеличить его длину в два раза. Заменив в формуле (2) механическое напряжение (1), получим формулу закона Гука: F E S (3) Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения, прямо пропорциональна относительному удлинению деформированного тела (изменением S пренебрегаем). С использованием коэффициента жесткости k Закон Гука запишется так: F k x. То есть сила упругости, возникающая при упругой деформации, прямо пропорциональна величине деформации x (смещения) и направлена в сторону, противоположную этому смещению (поэтому в выражении и появился минус). Закон Гука имеет место только в пределах упругой деформации. Он является одним из основных в теории упругости. Используя уравнение (3), получим формулу для вычисления модуля Юнга: E F 0 S (4) Способность материала сопротивляться разрушению, называется прочностью. Наибольшее напряжение, при котором материал при деформации не разрушается, называется пределом прочности пр. Так, предел прочности стальной проволоки 7810 7 Н/м2.Чтобы не допускать разрушения деталей машин, нагрузку не доводят до предела прочности материала. С этой целью для них установлены допускаемые напряжения дн, которые составляют лишь некоторую часть от предела прочности их материала. Число, показывающее во сколько раз предел прочности больше допускаемого напряжения, называется коэффициентом запаса прочности: k пр дн 5 Механические свойства материала при разных деформациях определяют опытным путём специальными устройствами, в которых автоматически записывается график деформации (рис.1) . Для анализа разобьём график на части. Участок 0 – 1. На этом участке удлинение прямо пропорционально напряжению ~ (а значит и ~ ), т.е. выполняется закон Гука. Рис.1. 1. Участок 1 – 2. На этом участке (он мал) закон Гука уже не выполняется, но деформация ещё упругая, т.е. если снять деформирующую силу, то деформация исчезнет и тело. 2.Участок 2 – 3. На этом участке упругая деформация постепенно исчезает, переходя в пластическую. 3.Участок 3 – 4. Начиная с точки три, деформация начинает увеличиваться без заметного увеличения механического напряжения: деформирующая сила остаётся постоянной, а площадь сечения образца из-за его удлинения уменьшается, что даёт мало заметное увеличение (область текучести). 4. За пределом прочности (точка 5) в образце образуется шейка, и он разрушается. 6 Описание прибора. Прибор Лермантова состоит из двух кронштейнов 1 и 2 , расположенных один над другим, и один из них (1) служит для укрепления проволоки из исследуемого материала. При нагрузке, для чего груз 6 кладётся на полочку 3, проволока удлиняется и стержень – рычаг 4, скреплённый с зеркальцем 5, вращается. При удлинении проволоки на , зеркальце 5 повернётся на угол и будет иметь место соотношение: tg b (5) где b – длина стержня – рычага 4. Изменение положения зеркальца 5 определяется по световой шкале 7, изображение которой рассматривается через зрительную трубу 8, имеющую в окуляре крест нитей или одну горизонталью нить. Если n разность делений шкалы при повороте зеркальца на угол , а D - расстояние от зеркальца до световой шкалы, то в этом случае: tg 2 n D (6) Удлинение проволоки очень мало, поэтому и очень мал угол ; это даёт возможность принять tg 2 2 tg . Приравняв (5) и (6) получим: n b 2 D (7) Грузы в 9.8 Н (1 кг) и 19.6 Н (2 кг) и т.д., необходимые для растяжения проволоки, находятся на полочке 6. 7 8 Выполнение работы. 1. Ознакомится с конструкцией Лермантова для определения модуля Юнга. Рекомендуем все константы собрать в одну и вычислять её один раз: E здесь F 0 m g 0 2 D 4 m 8 D 0 g m S d 2 h b h bd 2 h 8 D 0 g , b d 2 где E – искомый модуль Юнга в Н/мм2, F – деформирующая сила в Н, 0 – начальная длина проволоки от нижнего винта – зажима до верхнего в мм, S – площадь сечения проволоки в мм2, - удлинение проволоки под действием силы в мм, h - удлинение проволоки по световой шкале в мм, b – длина стержня – рычажка 4 до зеркала в мм, m – масса груза в килограммах. D – расстояние от зеркала до световой шкалы в мм. Определить модуль Юнга при деформирующей силе в 9,8 Н (1 кг), 19,6 Н (2кг), 29,4 Н (3 кг) и т.д. 2. Вращением винта 10 опустить арретир 9, чтобы проволочка 3 своим весом натянула проволоку. Измерить длину проволоки и её радиус. Вычислить площадь сечения проволоки. 3. Измерить длину стержня – рычажка 4 зеркала. 4. Включить свет световой шкалы. Перемещая световую шкалу 7 и зрительную трубу 8, найти в трубе изображение шкалы. Смещая винтом трубу по вертикали, совместить ее нить 4 с одним из делений световой шкалы (для 9 удобства отсчета с делением, равным числу с нулем: 20 или 40, 60 и т.д. в мм). От этого деления h0, будет отсчитываться удлинение проволоки. Запишите его в таблицу. 5. Измерить расстояние D между зеркалом и световой шкалой, после этого не сдвигать ни шкалу, ни трубу. 6. Поднять арретиром нижнее крепление проволоки, положить на полочку 3 груз в 9,8 Н. 7. Опустить арретир 9 и через трубу определить, на сколько мм удлинилась проволока под действием силы в 9,8 Н. Полученные данные из первого эксперемента занести в таблицу. 8. Подняв арретиром 9 нижнее крепление проволоки, снять с полочки груз в 9,8 Н. 9. Выполняя указания п.п. 2 – 9, продолжать эксперемент с деформирующей силой в 19,6 Н, а затем в 29,6 Н и т. д. 10.Вычислить удлинение проволоки ∆l1, ∆l2, ∆l3….. и на миллиметровой бумаге построить график функции ∆l=f(F). Какой закон отображает тот график? 11.Вычислить модули Юнга Е1, Е2, Е3 и его среднее значение. 12.Вычислить абсолютную погрешность ∆Е и полученное значение Еср модуля Юнга. E E ( 0 d (h) b D 2 ) 0 d h b D ∆l0, ∆d, ∆(∆h), ∆b, ∆D – погрешность соответственного измерения. Полученные значения модуля Юнга для стали марки СТ – 3 записать Еср-∆Еср Е Еср+∆Еср 13. Зарисовать прибор Лермантова. 10 m,кг F, H ∆h, ↓ ∆h, ↑ ∆hср, мм мм мм ∆l, мм Е*10^6, Еср 10 6 Па 1 2 3 4 5 6 7 Контрольные вопросы: 1. Природа сил упругости и причина их образования. 2. Упругая, пластическая и остаточная деформации. 3. Механическое напряжение, относительное удлинение. 4. Закон Гука, анализ диаграммы растяжения. 5. Физическое содержание модуля Юнга. Па