МИФ-2, №1, 2000 год Математика, 11 класс Колегаева Елена Михайловна Уравнения и системы уравнений с параметрами Рассмотрим уравнение f x, a 0. 1. Если ставится задача отыскать все пары x, a , при которых уравнение превращается в верное равенство, то имеем уравнение с двумя неизвестными x и a. 2. Если же рассматривать a как некоторое фиксированное число, а x – переменную, то говорят об уравнении с одним параметром. В этом случае ставится задача: для каждого а из некоторого множества А решить уравнение относительно переменной x. Множество А называют областью изменения параметра а. Например: Пусть дано уравнение aa 1x 1 и пусть область изменения параметра а: A 1; 0;1. тогда уравнение имеет вид: 2 x 2, если a 1; 0 x 1, если a 0; 0 x 0, если a 1. В дальнейшем, если не оговорено обратное, под областью изменения параметра будем понимать все значения aR, при которых имеет смысл уравнение. Поэтому, чтобы решить уравнение с параметром, выделяют “контрольные значения параметра”, при которых происходит качественное изменение уравнения. Пример 1. Решим уравнение: aa 1x a 1. (1) Решение. Уравнение (1) – линейное уравнение. Качественное изменение уравнения происходит при тех значениях а, при которых коэффициент при x обращается в ноль. То есть, контрольные значения параметра: a 0; a 1. 1) При а=0 уравнение примет вид: 0 x 1. Это уравнение не имеет решений. 2) При а=1 уравнение имеет вид: 0 x 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, решение – любое xR. 3) Если а0, а1, то уравнение имеет единственное решение: 1 x . a Ответ: При а=0 уравнение не имеет решений. При а=1 уравнение имеет решением любое 1 xR. При а0, а1 уравнение имеет единственное решение x . a Аналогично рассматривается уравнение f x, a, b 0 с двумя параметрами. Ставится задача: для всех возможных значений параметров a и b найти решения x уравнения. Обычно, параметр обозначается буквами: a; b; c; k; p; q. Пример 2. Решить уравнение: a 2 9x a 3 27. Решение. 1. Пусть a 2 9 0. Тогда x a 3 a 2 3a 9 ; x a 2 3a 9 a 3 27 ; x a3 a2 9 a 3a 3 - единственное решение. 2. Пусть a 2 9 0 , то есть a 3 , то: а) при а=3 имеем: 0 x 54 - нет решений. b) при а=-3 имеем: 0 x 0 - любое xR – решение. a 2 3a 9 ; при а=3 a3 уравнение не имеет решений; при а=-3 уравнение имеет решением любое xR. Ответ: При а3 уравнение имеет единственное решение x 1 1 1 1 . xa xb a b Решение. Область допустимых значений уравнения: x a; x b; a 0; b 0. xb xa ab . x a x b ab 2x a bab a bx ax b ; Пример 3. Решить уравнение: a b x 2 a b 2 x aba b 2abx aba b 0; a bx 2 a 2 4ab b 2 x 2aba b 0. а) Если а+b=0,то есть a=-b, тогда a 2 4ab b 2 b 2 4b 2 b 2 2b 2 0, тогда x=0. b) Если a+b0, то a a x 2 4ab b 2 2 a 2 4ab b 2 2a b 2 8aba b 4ab b 2 a 4 b 4 2a 2 b 2 a 2 4ab b 2 a 2 b 2 ; 2a b 2a b 2ab x2 . x1 a b; ab 2 Ответ: x=0 при a=-b0; x=a+b и x 2ab при a-b, a0, b0. ab x a ab 1 . a x ab 1 Решение. Область допустимых значений: xa; ab1. ab 1x a a xab 1, выполнив преобразования, получим: 2abx 2a. a) Если а=0, то x – любое, отличное от нуля. b) Если а0, b=0, то уравнение не имеет решений. 2a 1 . c) Если ab0, ab1, то x 2ab b Пример 4. Решить уравнение: Пример 5. При каких значениях а уравнение: a 1x 2 a 4 A 7x 0 имеет равные корни? Решение. Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант равен 0, то 2 есть: a 4 4a 1a 7 0; a 2 8a 16 4a 2 24a 28 0; 3a 2 16a 44 0; a 8 64 132 8 14 ; 3 3 a1 22 ; a 2 2. 3 Ответ: Уравнение имеет равные корни при а=2 и а= 22 . 3 Пример 6. При каких значениях m уравнение не имеет действительных корней? a) x 2 x m 2 0; b) mx 2 m 1x 2m 1 0. Решение. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен. 1 1 1 1 a) x 2 x m 2 0; 1 4m 2 0; m 2 ; m ; m или m . 4 2 2 2 1 1 Ответ: m ; m . 2 2 2 2 b) mx m 1x 2m 1 0; m 1 4m2m 1 0; m 2 2m 1 8m 2 4m 0; 7m 2 6m 1 0; 7m 2 6m 1 0; 3 9 7 3 16 3 4 1 ; m1 1; m 2 . 7 7 7 7 1 m 1; m . 7 m 1 Ответ: m 1; m . 7 Пример 7. При каких значениях k уравнение: k 12x 2 2k 12x 2 0 имеет два действительных различных корня? Решение. Корни действительные и различные получаются при положительном дискриминанте. k 122 2k 12 0; k 12k 12 2 0; k 12k 14 0; k 14; k 12. Ответ: k 14; k 12. Пример 8. Решить систему уравнений: x 3 2ax ay; 3 y ax 2ay. Решение. Заменим первое уравнение системы суммой уравнений, а второе – разностью уравнений системы. После преобразований имеем: 2 2 x y x xy y 3a 0; или 2 2 x y x xy y a 0 / x y 0; x y 0; x y 0; x 2 xy y 2 2 2 x xy y x y 0; x 2 xy y 2 x 2 xy y 2 a 0; 3a 0; 3a 0; a 0. x 0; y 0; y x; x 2 a; y x; x 2 3a; x 2 y 2 2 a; 2 xy 2a. y x; (2): 2 x a. x a ; x a ; 1) Если а0, то: 1 или 2 y1 a ; y 2 a . 2) Если а<0, то нет решений. y x; (3): 2 x 3a. x3 3n ; x 3n ; 1) Если а0, то: или 4 y 4 3n . y 3 3n ; 2) Если а<0, то нет решений. x 2 y 2 2a; (4): x y 2 0; y x; 2 - совпадает с системой (2). x a . Ответ: Если а<0, то 0;0; если а0, то 0;0; a ; a ; a ; a ; 3a ; 3a ; 3a ; 3a . Задачи для самостоятельного решения Ниже приводятся тексты заданий для самостоятельного решения. Вам необходимо решить эти задачи, оформить решения отдельно от решений по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы. Решите уравнения: xa xb 2; М11.7.1. xb xa М11.7.2. a b ; 1 bx 1 ax М11.7.3. m n mn ; xm xn x p М11.7.4. ab ab a b . xa xb xa xb М11.7.5. При каких значениях а уравнение a 2x 2 2a 2x 2 0 не имеет действительных корней? М11.7.6. При каких значениях а уравнение x 2 2a a 2 3x 4 0 имеет равные корни? М11.7.7. При каких значениях а один корень уравнения x 2 3a 2x a 2 0 в девять раз больше другого? М11.7.8. В уравнении x 2 4 x p 0 найдите р так, чтобы сумма квадратов его корней была равна 16. М11.7.9. Найдите сумму кубов корней уравнения 3x 2 ax 2a 1 0 . М11.7.10. Вычислите 1 x1 3 1 x2 3 , где x1 и x2 – корни уравнения 2 x 2 3ax 2 0. М11.7.11. При каком наименьшем целом а трехчлен a 2x 2 8 x a 4 положителен при всех значениях x? М11.7.12. Найдите все значения а, при которых оба корня уравнения x 2 6ax 2 2a 9a 2 0 больше 3. М11.7.13. Найдите коэффициенты p и q уравнения x 2 px q 0 так, чтобы его корни были равны p и q. a 3x 2 y 3; М11.7.14. Решить систему уравнений ax y 3. 2 2 3 x y x y 3a ; М11.7.15. Решить систему уравнений 2 2 3 x y x y 15a .