12 Термодинамическая температура
advertisement
14 Фермионы и бозоны. Функции распределения Функция распределения Ферми —Дирака Фермионы – частицы (электрон, протон, нейтрон), подчиняющиеся принципу Паули, согласно которому на одной орбитали (т.е. в определённом квантовом состоянии) может находиться не более одной частицы. Бозоны (фотон, дейтрон) не подчиняются принципу Паули, т.е. на одной орбитали может находиться произвольное количество бозонов. Рассмотрим систему с одной-единственной орбиталью, которая может быть занята электроном. Система находится в тепловом и диффузионном контакте с резервуаром. Реальная система может состоять из большого числа электронов, но очень полезно сконцентрировать внимание на одной орбитали и назвать ее системой. Все остальные орбитали реальной системы, занятые всеми N или N— 1 электронами, можно считать резервуаром. Наша задача состоит в том, чтобы найти тепловое среднее заселенности выбранной таким образом орбитали. Электроны являются фермионами, и поэтому орбиталь может либо быть вообще не заселенной, либо на ней может находиться один электрон. Другие возможности исключаются принципом системы, занятые всеми N или N— 1 электронами, можно считать резервуаром. Наша задача состоит в том, чтобы найти тепловое среднее заселенности выбранной таким образом орбитали. Электроны являются фермионами, и поэтому орбиталь может либо быть вообще не заселенной, либо на ней может находиться один электрон. Другие возможности исключаются принципом Паули. Если орбиталь не заселена, то будем полагать энергию системы равной нулю; если она заселена одним электроном, то будем ее считать равной ε. Большая статистическая сумма находится из определения: Первое слагаемое здесь соответствует энергией ; член частицей, т.е. п — 1, и энергия равна конфигурации с заселенностью 0 и появляется, когда орбиталь занята одной Тепловое среднее заселенности орбитали равно отношению члена в большой сумме с п = 1 к сумме слагаемых с n = 0 и п = 1: Для средней заселенности фермионами введем общепринятое обозначение Здесь , где —химический потенциал. Теперь можно переписать (2) в общепринятой форме Эта формула известна как функция распределения Ферми — Дирака. Соотношение (4) дает среднее число фермионов на одной орбитали с энергией находится между нулем и единицей. Значение всегда Функция распределения Бозе — Эйнштейна Рассмотрим функцию распределения для системы невзаимодействующих бозонов. Пусть система находится в тепловом и диффузионном контакте с резервуаром. При рассмотрении бозонов мы будем обозначать энергию одной орбитали, занятой одной частицей, через , Если на орбитали п частиц, то энергия равна . Будем рассматривать одну орбиталь в качестве системы. Всеми остальными орбиталями можно пренебречь или рассматривать их как часть резервуара. Поскольку мы имеем дело с бозонами, то на эту орбиталь можно поместить любое число частиц. Большая статистическая сумма для нее равна Верхний предел для n должен был бы равняться полному числу частиц в системе вместе с резервуаром, и так как мы вправе считать резервуар очень большим, то с высокой точностью суммирование по n можно проводить от нуля до бесконечности. Проводя суммирование и вводя обозначение получаем при условии Для всех приложений величина удовлетворяет этому условию, так как иначе число бозонов в системе нельзя было бы считать неограниченным (из-за расходимости геометрической прогрессии. Среднее по ансамблю число частиц на орбитали равно по определению среднего значения и с учетом ( 1 1 ) Выполняя дифференцирование, получаем или, записывая вместо Это соотношение определяет функцию распределения Бозе—Эйнштейна. Математически она отличается от функции распределения Ферми — Дирака только наличием в знаменателе —1 вместо +1. Но это различие имеет важные физические последствия.
