Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного

Лекция 4. КОНДУКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН.
4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного
температурного поля
4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл
4.3 Условия однозначности – краевые условия
4.1 Уравнение Фурье для трехмерного нестационарного
температурного поля
Изучение любого физического процесса связано с установлением
зависимости между величинами его характеризующими. Для установления
такой
зависимости
при
изучении
довольно
сложного
процесса
теплопроводности использованы методы математической физики,
суть
которых заключается в рассмотрении процесса не во всем изучаемом
пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого
отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты
теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля.
При
выводе
дифференциального
уравнения
теплопроводности
принимаются следующие допущения:
- внутренние источники теплоты отсутствуют;
- тело однородно и изотропно;
- используется закон сохранения энергии – разность между количеством
теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный объем за
время dτ и вышедшей из него за то же время, расходуется на изменение
внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.
В теле выделяется элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz.
Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит
теплота в направлениях осей x, y, z.
dQy
Z
dQx
dz
dx
dy
X
dQz
Y
Рисунок 4.1 К выводу дифференциального уравнения теплопроводности
2
Через площадку dx·dy за время dτ, согласно гипотезе Фурье, проходит
следующее количество теплоты:
 t 
dQZ 1    dx  dy  d    .
 z 
(4.1)
Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество
теплоты:
dQZ 2    dx  dy  d 
 
t 
 t  z ,
z  z 
(4.2)
t
t
dz определяет
где  t  z  - температура второй грани, а величина

z
z

изменение температуры в направлении z.
После математических преобразований уравнение (4.2) запишется:
  2t 
 t 
dQZ 2    dx  dy  d       dx  dy  dz  d  2 ,
 z 
 z 
Приращение внутренней энергии в параллелепипеде в направлении оси z
равно:
dQZ  dQZ 1  dQZ 2
  2t 
 t 
 t 
   dx  dy  d       dx  dy  d      dx  dy  dz  d  2  ,
 z 
 z 
 z 
после сокращения:
  2t 
dQZ    dx  dy  dz  d  2  .
 z 
Приращения энергии в параллелепипеде в направлениях осей x
выразятся аналогичными уравнениями:
  2t 
dQ X    dx  dy  dz  d  2 
 x 
  2t 
dQY    dx  dy  dz  d  2 
 y 
(4.3)
и y
(4.4)
(4.5)
Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде равно:
  2t  2t  2t 
dQ  dQ X  dQY  dQZ    dx  dy  dz  d  2  2  2 .
y
z 
 x
(4.6)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:
 t 
dQ  dx  dy  dz    c d ,
(4.7)
  
где dx  dy  dz - объем параллелепипеда; ρ – плотность вещества; с –
t
массовая теплоемкость;  d - изменение температуры во времени.
  
Левые части уравнений (4.6) и (4.7) равны, поэтому:
t


 c  
  2t  2t  2t 
  2  2  2  .
y
z 
 x
(4.8)
3
Величина

 a называется коэффициентом температуропроводности и
c
уравнение (4.8) записывают в виде:
t
 à   2 t.

(4.9)
Уравнение
(4.9)
называется
дифференциальным
уравнением
теплопроводности или уравнением Фурье для трехмерного нестационарного
температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно
является основным уравнением при изучении процессов теплопроводности и
устанавливает связь между временным и пространственным изменением
температуры в любой точке температурного поля.
Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты
внутри тела:
  2t  2t  2t  q
t
 a   2  2  2   V ,

y
z  c  
 x
(4.10)
qv – плотность теплового потока внутренних источников теплоты.
4.2 Коэффициент температуропроводности. Физический смысл
Из дифференциального уравнения теплопроводности или уравнения
Фурье
для
трехмерного
нестационарного
температурного
поля:
  2t  2t  2t 
t
 a   2  2  2 

y
z 
 x
Следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела
пропорционально величине а.
Величина

 a называется коэффициентом температуропроводности,
c
является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения
ì
2
ñ
.
При одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела,
которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Так газы
имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности.
В нестационарных тепловых процессах а характеризует скорость
изменения температуры.
4.3 Условия однозначности – краевые условия
Дифференциальное уравнение теплопроводности (или система
дифференциальных уравнений конвективного теплообмена) описывают эти
процессы в самом общем виде. Для изучения конкретного явления или группы
явлений переноса теплоты теплопроводностью или конвекцией, необходимо
знать: распределение температур в теле в начальный момент, температуру
окружающей среды, геометрическую форму и размеры тела, физические
параметры среды и тела, граничные условия, характеризующие распределение
4
температур на поверхности тела или условия теплового взаимодействия тела
с окружающей средой.
Все эти частные особенности объединяют в так называемые условия
однозначности или краевые условия, которые включают:
1) Начальные условия. Задают условия распределения температур в теле
и температуру окружающей среды в начальный момент времени τ = 0.
2) Геометрические условия. Задают форму, геометрические размеры
тела и его положение в пространстве.
3) Физические условия. Задают физические параметры среды и тела.
4) Граничные условия могут быть заданы тремя способами.
Граничное условие I рода: задается распределение температуры на
поверхности тела для любого момента времени;
Граничное условие II рода: Задается плотностью теплового потока в
каждой точке поверхности тела для любого момента времени.
Граничное условие III рода: задается температурой среды, окружающей
тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.
Законы конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и
окружающей средой отличаются большой сложностью. В основу теории
конвективного теплообмена положено уравнение Ньютона-Рихмана,
устанавливающего связь между плотностью теплового потока на поверхности
тела q и температурным напором (tcт – tж), под воздействием которого и
происходит теплоотдача на поверхности тела:
q = α·(tcт – tж), Вт/м2
(4.11)
В этом уравнении α – коэффициент пропорциональности, называемый
коэффициентом теплоотдачи, Вт/м2·град.
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена
между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен
количеству теплоты отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности
тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и
окружающей средой в 1 градус. Коэффициент теплоотдачи зависит от очень
многих факторов и его определение весьма затруднительно. При решении задач
теплопроводности его значение, как правило, принимают постоянным.
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемое
единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие
теплоотдачи должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности
подводится к единице поверхности в единицу времен со стороны внутренних
частей тела:
 t 
 ,
 n  n 0
  tñò  t æ     
(4.12)
t
где   - проекция градиента температуры на направление нормали к
 n  ï 0
площадке dF.
5
Приведенное равенство является математической формулировкой
граничного условия III рода.
Решение дифференциального уравнения теплопроводности (или системы
уравнений для процессов конвективного теплообмена) при заданных условиях
однозначности позволяет определить температурное поле во всем теле для
любого момента времени, т.е. найти функцию вида: t = f(x, y, z, τ).