other - BSUIR Helper

Задание №1.8
А - сложение слова "математика"
Для нахождения вероятности того, что из данных букв сложиться слово
"математика", используем классическую формулу вероятности:
p
m
n
Поскольку, данные события взаимозависимые, то общая вероятность
будет равняться произведению вероятностей:
p ( A)
2 3 2 1 1 2 1 1 1
        1
10 9 8 7 6 5 4 3 2
1
6
151200
6.614  10
Задание №2.7
A1 - отказ
A2 - отказ
A3 - отказ
B - сигнал
C - сигнал
1 элемента
2 элемента
3 элемента
прошел с входа на выход
прошел по ветви 1-2
Вероятности отказа элементов:
p1=p(A1)=0.1
p2=p(A2)=0.2
p3=p(A3)=0.3
Вероятности работы элементов:
q1=1-p1=1-0.1=0.9
q2=1-p2=1-0.2=0.8
q3=1-p3=1-0.3=0.7
Определим вероятность события C, используя формулу:
2
p ( C)

qi
q1  q2
0.9  0.8
0.72
i 1
Определим вероятность события B:

A3  C
p ( B) 1  ( 1  p ( C) )  p3
A
1  ( 1  0.72)  0.3
0.916
Задание №3.31
p1
0.8
p2
0.95
p3
0.98
p4
0.93
- вероятность обнаружения цели первым локатором
- вероятность обнаружения цели вторым локатором
- вероятность обнаружения цели третьим локатором
- вероятность обнаружения цели четвертым локатором
H1 - включили 1 и 2 локатор
H2 - включили 1 и 3 локатор
H3 - включили 1 и 4 локатор
H4 - включили 2 и 3 локатор
H5 - включили 2 и 4 локатор
H6 - включили 3 и 4 локатор
A - цель обнаружена
Определим вероятности событий Hi:
 
p H1
 
p H2
 
p H3
 
p H4
 
p H5
 
p H6
1 1

2 3
1 1

2 3
1 1

2 3
1 1

2 3
1 1

2 3
1 1

2 3
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Определим вероятности событий A/Hi:
 A 
p
 p1  p2 0.8  0.95 0.76
 H1 
 A 
p
 p1  p3 0.8  0.98 0.784
 H2 
 A 
p
 p1  p4 0.8  0.93 0.744
 H3 
 A 
p
 p2  p3 0.95  0.98 0.931
H4
 
 A 
p
 p2  p4 0.95  0.93 0.8835
 H5 
 A 
p
 p3  p4 0.98  0.93 0.9114
 H6 
Используя формулу полной вероятности, определим вероятность события
A:
6
p ( A)
A
p Hi  p  
 Hi 
  
i 1
1
6
 0.76 
1
6
 0.784 
1
6
 0.744 
1
6
 0.931 
1
6
 0.8835 
1
6
 0.9114
0.83565
Задание №4.34
A - изготовление продукции высшего сорта
p(A)=0.8
q(A)=1-p(A)=1-0.8=0.2
m0=250 - наивероятнейшее число изделий высшего сорта
Для определения того, сколько необходимо изготовить изделий высшего
сорта, воспользуемся формулой:
n  p  q  mo  n  p  p
n  0.8  0.2  250  n  0.8  0.2
n  0.8  0.2  250
n  0.8  250.2
250.2
n
312.75
0.8
n  0.8  0.2  250
n  0.8  249.8
249.8
n
312.25
0.8
Значит, необходимо изготовить 313 изделий.
Задание №5.33
x1  4
p1  0.2
x2  3
x3  1
p3  0.2
x4  0
p4  0.1
x5  1
p5  0.4
p2  1  p1  p3  p4  p5
p2  0.1
Вычислим математическое ожидание нашей дискретной величины:
mx  x1  p1  x2  p2  x3  p3  x4  p4  x5  p5
mx  0.9
Теперь найдем дисперсию нашей дискретной величины:
Dx
2
2
2
2
2
x1  p1  x2  p2  x3  p3  x4  p4  x5  p5  mx
2
Dx  3.89
Рассчитаем график функции распределения F(x):



 p1
F  x2  x  x3 p1  p2
F  x3  x  x4 p1  p2  p3
F  x4  x  x5 p1  p2  p3  p4
F  x  x5 p1  p2  p3  p4  p5
F x  x1
0
F x1  x  x2
1
Теперь построим график функции распределения F(x):
F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
x
Задание №6.11
Начальные данные:
Случайная величина X задана плотностью вероятности:
( x  c)  c  cos ( 2  x)
a0

b
4
  0.5
 1
Определим сначала константу "c". Для этого воспользуемся условием
нормировки:




f ( x ) dx
1

Поскольку наша функция существует не на всей области, а только в
интервале [a,b], то условие нормировки в данном случае записывается
так:



b
f ( x ) dx
1
a
Подставим наши начальные данные и найдем константу "c":
1
c



1

b
1
4

 cos ( 2  x ) dx

( x ) dx
a
1
2
    1  sin ( 0)

 4 2
2
 sin  2 
0
Теперь найдем математическое ожидание:

b
mx

c   ( x )  x dx

a
4

2   cos ( 2  x )  x dx

0
1
1
  1 
   1

2    cos  2      sin  2      cos ( 2  0)   0  sin ( 2  0) 
2
4
 4 2 4
 4  4

1
4
 
1
2
0.2854
Дисперсия нашей непрерывной величины X равна:

Dx

c 

b
a
2
( x )  x dx  mx
2
4
2

1
2
1
2   cos ( 2  x )  x dx      

4
2


0
1   
1
1
1
  1
  1
    1 2
  1
2       sin  2     sin  2     cos  2       0  sin ( 2  0)   sin ( 2  0)   cos ( 2  0)  0       
4
2
2
2  4 
 4 4
 4 2
 4 4  2
  4
2
2
0.0354
Теперь найдем функцию распределения величины X:
У нас имеется 3 интервала:
1)<a
2)[a,b]
3)>b
На первом интервале функция плотности вероятности не существует,
поэтому она равна 0, значит и функция распределения на этом
интервале тоже равна 0.
На втором интервале функция распределения изменяется по некоторому
закону, увеличиваясь от 0 до 1.
На третьем интервале функция распределения не изменяется и остается
равной 1.
F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
0.5
0
0.5
1
1.5
x
Осталось найти вероятность попадания величины X в интервал [,]:
p(  X  )
F ()  F ()
p  0.15852902
Задание №7.5
Начальные данные:
( x )  x
a  4
b1
2
Построим график случайной величины Y=(x):
y
15
10
5
5
4
3
2
1
0
1
2
x
Поскольку величина X равномерно распределена на промежутке [a;b],
то ее плотность вероятности равна:
f(x)
0.2
0.15
0.1
0.05
8
6
4
2
0
2
4
x
Определим обратные функции Y=(y) на интервале [0;1):
 1 ( y)
y
 2 ( y)
 y
Определим обратные функции Y=(y) на интервале [1;16]:
 ( y)
 y
Плотность вероятности величины y равна:
0 y  0
f ( x)  ' 1 ( y)  f ( x)  ' 2 ( y)
f ( x)  ' ( y)
0.2 
1
2 y
0.1 
0.2 
1
y
1
2 y
 0.2 
1
2 y
 1  y  16
0  y  16
Задание №8.32
Начальные данные:
x1  0
x2  2
x3  5
x4  6
x5  5
0.2 
1
y
0  y  1
x6  4
у1  1
у2  2
Построим нашу фигуру:
3
2
y
1
0
1
2
3
4
5
6
7
1
x
Поскольку двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для
любой точки нашей области и равна константе "C", то найдем эту
константу, используя условие нормировки:









f ( x  y ) dx dy
1

Однако стоит учесть то, что эта формула условия нормировки для
случая, когда функция определена на всей области. В нашем случае
функция ограничена, поэтому условие нормировки запишется так:






f ( x  y ) dx dy


1
D
, где D - наша область
2
 
 
 
0
y 4
с dx dy
1
y
Найдем недостающий параметр "c":
c
1
2
y 4
0
y
 
 
 
1
1
1

 y  4  y dy

42
8
2
1 dx dy
0
Для того чтобы высчитать коэффициент корреляции между величинами X
и Y, необходимо до этого высчитать их математические ожидания,
затем дисперсии, а потом уже и сам коэффициент.
Высчитаем математические ожидания наших величин:



mx
2
0



1 

8 
c  x dx dy
y
2
 
 
 
my
y 4
0
2



0
y 4
x dx dy
y
1  
 
8 0 y
y
2
( y  4)
2
2

y
2
2
1 

8 
dy
1
4  y  8 dy
2
1 
  ( y  4  y)  y dy
8 0
y dx dy
2
8
0
0
2
y 4
2
c  y dx dy

1 

8 

y 4
1 
  4  y dy
8 0
1
8

2

 22  82
2
22
3
1
Теперь найдем дисперсии X и Y:
Dx



2
0



y 4
2
c  x dx dy  mx
y
 
 
 
0
1 

8 
2
0
2
Dy
2
y 4



y 4
2
2
x dx dy  3
y

1 

8 

2
( y  4)
3
3

y
3
dy  9
3
0
2
1  
 
8  
2
2
c  y dx dy  my
y
0
y 4
1 

8 

2
2
4  y  16  y 
64
3
 23
64 
2
 82 
2  9
8  3
3 
1
dy  9
0
2
1 
2
  4  y dy  1
8 
2
y dx dy  1
y
1 4 3
 2  1
8 3
0
 4
1
3
Определяем корреляционный момент:
Kxy



2
0



y 4
c  x  y dx dy  mx my
y
1 

8 
2
0



y 4
x  y dx dy  3  1
y

1 

8 

2
0
 ( y  4) 2 y2

  y dy  3

2
 2
1 

8 
2
2
4  y  8  y dy  3
0
Теперь найдем необходимый коэффициент корреляции:
Rxy 
Kxy
Rxy  0.44721
Dx Dy
Задание №9.10
Исходные данные:
a0  0
b0  8
m1  0
D1  4
K12  5
a1  8
b1  6
m2  4
D2  25
K23  2.5
a2  6
b2  4
m3  1
D3  1
K13  1
Решение:
Математическое ожидание величины U:
mu  a0  a1  m1  a2  m2
mu  24
Математическое ожидание величины V:
mv  b0  b1  m2  b2  m3
mv  36
Дисперсия величины U:
Du  a1  a1  D1  a2  a2  D2  2  a1  a2  K12
Du  1636
Дисперсия величины V:
Dv  b1  b1  D2  b2  b2  D3  2  b1  b2  K23
Dv  1036
Математическое ожидание между величинами U и V:



muv  mu  mv  a1  b1  K12  b2  K13  a2  b1  D2  b2  K23

muv  2096
Корреляционный момент между величинами U и V:
Kuv  muv  mu  mv
Kuv  1232
Коэффициент корреляции между величинами U и V:
1
8
 4  23  4  22   3

3


1
3
5
3
Ruv 
Kuv
Du  Dv
Ruv  0.946
Математическое ожидание величины x22:
mx2x2  m2  m2  D2
mx2x2  41
Математическое ожидание величины x1.x2:
mx1x2  m1  m2  K12
mx1x2  5
Математическое ожидание величины x1.x3:
mx1x3  m1  m3  K13
mx1x3  1
Математическое ожидание величины x2.x3:
mx2x3  m2  m3  K23
mx2x3  6.5