Закон распределения Вейбулла

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко.

F (t )  1  e 0t , λ0, β – параметры распределения
λ0 – масштабный пар-р распределения
β – пар-р кривизны распределения

P (t )  1  F (t )  e 0t

dF (t )
f (t ) 
 0  t  1e 0t
dt
f (t )
 (t ) 
 0  t  1
P (t )
все функции зависят от времени. β изменяется в 3-х областях и определяет вид граф.
зависимостей.
F (t )  1  e  0t
1
1. β=1:
- распределительный закон переходит в
экспоненциальный. – для аппаратной техники
2. β<1 – характерно для периода приработки, убывают значения всех показ-ей. Параметр β<1
характерен для описания распределения наработки до отказа ПО. (Рис1)-для ПО
3. β>1 – используется для описания наработки до отказа мех-х и электр-х устройств,
имеющих период приработки и старения. (рис.2)
Распределение Вейбулла-Гнеденко используется при проведении форсированных испытаний
объекта на надежность.
Нормальное распределение (Гаусса).
Оно используется для описания работы устройств в периоде старения
F (t ) 
f (t ) 
t
1
e
 2
 2
( x m)2
2 2
0

1

e
(t m)2
dx
где m и σ =√D[t] – распределительные параметры
2 2
m- средняя наработка на отказ
σ =√D[t] – среднеквадратичное отклонение
рис3
Усеченное нормальное распределение:
0, t  0
( x m)2


2
c
2
(
x

m
)
f(t)=
F (t )   c t  2
e 2
2
dx, t  0
 2

e
 2 0
это распределение используется: в период старения, при определении показ-ей надежности, при
постепенных отказах, а также для учета ухода параметров за допустимые пределы.
Распределение Рэлея.

t2

t2
t2
dF (t )
t  2
f (t )
t
F (t )  1  e
 P(t )  e
 f (t ) 
 2 e 2   (t ) 
  2 (рис.4)
dt
P(t )


Это распределение используется для описания периода старения. В области малых значений
наработки до отказа (t<t0) интенсивность отказов λp(t)<λэ(t), а Pp(t)>Pэ(t), поэтому объекты,
функционирующие малое непрерывное время целесообразно строить на рэлеевских элементах.
2 2
2 2
Потоки отказов восстан-х объектов.
Отказы происходят в случайные моменты времени, продолжительность восстановления –
величина случайная, время восстановления << времени работы до отказа (tв<<t).
Рис5
Кривая n(t) одна из реализаций вектора числа отказов ζ(t) в восстан-м объекте.
Поток отказов восстан.объекта – последовательность отказов, произошедших в случайные
моменты времени t1, t2, t3… Вектор числа отказов ζ(t) – основная характеристика потока отказов
Свойства потока отказов:
1. стационарность – закон распределения вектора числа откзаов на отрезок времени ∆t1, ∆t2 …
зависит только от длительности этих отрезков и не зависти от выбора общего момента
начала этих отрезков. Рис6
с течением времени вероятностные хар-ки не изменяются, а если изменяются, то это
нестационарный поток.
2. отсутствие последствия – для любого набора непересекающихся промежутков времени
число отказов на этих промежутках представляют собой взаимно независимые случайные
величины; – это вероятность наступления отказов в ∆t не зависит от того , сколько было
отказов до этого и как они распределились. Для случайного это означает что все отказы
происходящие в нем, - события случайные и независимые. Рис7
3. ординарность – в любой бесконечно малый промежуток времени может произойти только
P(t )
0
один отказ - lim
t 0 t
Способы описания потока отказов:
I. Задание числа отказов на каком-либо промежутке времени (описание n(t))
II. Задание закона распределения в промежутках времени между отказами (∆t).
Поток отказов удовлетворяет свойствам стационарности, ординарности, отсутствием
последействия наз-ся простейшим и встречается в идеальных объектах, а в реальных нет.
 Условие стационарности нарушается если:
1. наличие приработки
2. старение элементов в процессе хранения
3. неодновременное функционирование элементов в случайном объекте
4. нарушение условий эксплуатации
 условие отсутствия последствия нарушается если:
1. наличие постепенных отказов основных элементов, которые ведут к изменению режима
работы
2. наличие отказов второстепенных элементов, они влияют на режим работы основных
элементов
 чтобы упростить описание показателей надежности при расчетах гипотеза отсутствия
последействия принимается, если:
1. при изучении потоков отказов систем, состоящих из функционально несвязанных
элементов
2. в системах разового использования
3. в системах где отказ любого элемента ведет к отказу всей системы
 условие ординарности практически выполняется в реальных потоках
Простейший поток отказов.
Условия существования простого потока:
1. элементы объекта работают одновременно
2. отказы носят мгновенный характер
3. отказ одного объекта ведет к отказу всей системы в целом
4. отсутствует старение
( t ) n  t
P{ (t )  n} 
e - закон распределения Пуассона, где λ- параметр потока отказов
n!
N
P( )  e  ,    i
i 1
Нестационарный пуассоновский поток
- это поток неудовлетворяющий условиям стационарности, свойствам ординарности и условиям
последействия удовлетворяет. Наблюдается в процессе приработки устройств, в сл.объектах, в
которых элементы работают не одновременно, в резервированных объектах.
Условия существования: отказы элементов носят мгновенный характер, отказ одного ведет к
t
отказу всей системы, старение элементов отсутствует. P{ (t )  n} 
[   (t )dt ] n
0
n!
t
e
   ( t ) dt
0
где ω(t) –
параметр потока отказов. P(τ)=e-λτ
Поток Эрланга.
Образуется в результате разряжения простого потока событий путем отбрасывания некоторых из
них. Если в объекте удаляется каждый второй отказ, то это поток Эрланга. Потоки Эрланга
встречаются в объектах, где имеются средства разряжения потока отказов: системы контроля,
аппаратное резервирование, времен-е резерв-е и изменения конфигураций объекта.
Рис1
1
P(t)
λ(t)
f(t)
рис2
λ(t)
P(t)
f(t)
рис3
λ(t)
P(t)
f(t)