= = 0. U r

  U 2в  U1в   U 2  E2  U1  E1 
=
 =
 = 0.
U 2в  U 3в  U 4в   U 2  E2  U 3  U 4 
Или с учётом [U] = [Z][I] = [r2I2, r3I3, r1I1, r4I4]T
r2  I 2  E2 
 r I

3
3

 и тогда
имеем превращение [Uв] = [U] – [Е] =
 r1  I1  E1 


 r4  I 4 
  r  I  E2  r1  I1  E1 
[В][Uв] =  2 2
 = 0.
r

I

E

r

I

r

I
2
3
3
4
4
2 2
Таким образом, получаем уравнения:
-r2I2 + E2 + r1I1 – E1 = 0
или r1I1 – r2I2 = E1 – E2,
(**)
r2I2 – E2 + r3I3 + r4I4 = 0
r2I2 + r3I3 + r4I4 = E2.
Уравнения (*)-(**) образуют систему уравнений Кирхгофа.
1.10. РАСЧЁТ ЦЕПЕЙ С УПРАВЛЯЕМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
Зависимый или управляемый источник представляет собой
идеализированный 4-полюсный элемент, имеющий пару входных и пару
выходных выводов. Входная ветвь – КЗ или разрыв, выходная – источник
напряжения
(ИН)
или
источник
тока
(ИТ).
kUU1
U2=kUU1
Короткозамкнутый вход имеет а) U1
ток I1 и нулевое напряжение,
разомкнутый вход – U1 и
нулевой
ток.
Входные
величины
являются б) I1
I2=kII1
k II 1
управляющими. Выходные –
I2 или U2 – пропорциональны
управляющему
току
или
напряжению входной ветви.
k Z I1
U2=kZI1
в) I1
1. ИНУН (источник
напряжения, управляемый
напряжением) (рис. 1.59,а):
I1 = 0, U2 = kU ·U1 идеальный усилитель
kYU1
г) U1
I2=kYU1
напряжения – идеализация
реального усилителя.
Рис. 1.59
2. ИТУТ (источник тока,
управляемый током) (рис. 1.59,б):
U1 = 0, I2 = kI ·I1 - идеальный усилитель тока.
kU, kI – коэффициенты усиления.
3. ИНУТ (источник напряжения, управляемый током) (рис. 1.59,в):
U1 = 0, U2 = kZ·I1, kZ – передаточное сопротивление.
44
4. ИТУН (источник тока, управляемый напряжением) (рис. 1.59,г):
I1 = 0, I2 = kY·U1, kY – передаточная проводимость.
Коэффициент пропорциональности k также называют коэффициентом
управления.
ЗАДАЧА 1.56. В цепи рис. 1.60 определить токи, проверить баланс
мощностей, если R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 15 Ом, R4 = 20 Ом, Е = 65 В,
J1 = 2I3, J2 = 0,1U1.
Решение
Задачу решим методом контурных
I4
I2
токов. В качестве контурных токов
I3
взяты: II = J1, III = J2, IIII = I1; направления
II
обхода контуров показаны на рис. 1.60.
R2 I R3
R4
Поскольку
неизвестным
считается
только один контурный ток (I1), для него
J1
J2
и составляем контурное уравнение:
R1
I1
E
I1(R1 + R4 + R2) – R2J1 + R4J2 = E.
Токи ветвей, записанные через
III
U1
контурные токи по принципу наложения:
Рис. 1.60
I2 = J1 – I1; I3 = J1 + J2; I4 = I1 + J2.
Управляющее напряжение второго источника U1 = R1I1.
Тогда токи источников тока (первый и второй контурные токи):
J2 = 0,1U1 = 0,1R1I1; J1 = 2I3 = 2J1 + 2J2 = 2J1 + 0,2R1I1.
Из последнего уравнения J1 = -0,2R1I1.
После подстановки J1 и J2 в контурное уравнение получаем:
I1(R1 + R4 + R2) + 0,2R1R2I1 + 0,1R1R4I1 = Е,
откуда находим ток первой ветви:
E
65
I1 =
=
=
R1  R 2  R 4  0,2 R1  R 2  0,1R1  R 4 10  5  20  0,2  10  5  0,1  10  20
= 1 А.
Далее находим токи источников тока и оставшиеся токи ветвей:
J1 = -0,2R1I1 = -0,2101 = -2 А; J2 = 0,1R1I1 = 0,1101 = 1 А;
I2 = J1 – I1 = -2 – 1 = -3 А;
I3 = J1 + J2 = -2 + 1 = -1 А;
I4 = I1 + J2 = 1 + 1 = 2 А.
Мощность источников:
Рист = ЕI1 + J1(R2I2 + R3I3) + J2(R4I4 + R3I3) =
= 65 – 2(-15 – 15) + 1(40 – 15) = 150 Вт.
J2
I2
I1
Мощность потребителей:
II
Рпотр = R1I12 + R2I22 + R3I32 + R4I42 =
R2
2
2
2
2
R3
= 101 + 53 + 151 + 202 = 150 Вт.
I3
E
III
Баланс Рист = Рпотр выполняется.
ЗАДАЧА 1.57. В цепи рис. 1.61 R4
определить токи, если R1 = R3 = 10 Ом,
45
I
I4
J1
R1
Рис. 1.61
R2 = R4 = 40 Ом, Е = 100 В, J1 = 0,2I1, J2 = 0,5I2. Сделать проверку по
второму закону Кирхгофа.
Решение
Задачу решим методом контурных токов. В качестве контурных токов
взяты: II = J1, III = J2, IIII = I1; направления обхода контуров показаны на
рис. 1.61.
Токи ветвей, являющиеся управляющими, запишем через контурные
токи: I1 = IIII; I2 = III + IIII. Тогда токи управляемых источников (они же и
контурные токи):
II = J1 = 0,2I1 = 0,2IIII; III = J2 = 0,5I2 = 0,5III + 0,5IIII.
Из последнего уравнения вытекает, что III = IIII.
Поскольку неизвестным считается только один контурный ток (IIII),
для него и составляем контурное уравнение:
(R1 + R2 + R3 + R4)IIII – (R3 + R4)II + (R2 + R3)III = E
или (R1 + R2 + R3 + R4)IIII – (R3 + R4)0,2IIII + (R2 + R3)IIII = E.
Отсюда третий контурный ток:
E
IIII =
=
R1  R2  R3  R4  0,2( R3  R4 )  R2  R3
100
=
= 0,714 А.
10  40  10  40  0,2  ( 10  40 )  40  10
Токи управляемых источников (остальные контурные токи):
J1 = II = 0,2IIII = 0,20,714 = 0,143 А;
J2 = III = IIII = 0,714 А.
Токи ветвей, выраженные через контурные токи:
I1 = IIII = 0,714 А; I2 = III + IIII = 0,714 + 0,714 = 1,428 А;
I3 = III + IIII – II = 0,714 + 0,714 – 0,143 = 1,285 А;
I4 = IIII – II = 0,714 – 0,143 = 0,571 А.
Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для третьего
контура имеет вид:
R1I1 + R2I2 + R3I3 + R4I4 = Е.
Подставим числовые значения:
100.714 + 401.428 + 101.285 + 400.571 = 99,95  100 В.
46