"Системы уравнений".

Математика, 11 класс
Кармакова Тамара Сергеевна
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В перечень вопросов содержания школьного курса математики, усвоение которых
будет проверяться при сдаче единого государственного экзамена в 2004 г., будут входить
и системы уравнений с двумя переменными:
системы, содержащие одно или два рациональных уравнения;
системы, содержащие одно или два иррациональных уравнения;
системы, содержащие одно или два тригонометрических уравнения;
системы, содержащие одно или два показательных уравнения;
системы, содержащие одно или два логарифмических уравнения;
системы, решаемые использованием графиков;
системы, содержащие уравнения разного вида (иррациональные, тригонометрические,
показательные, логарифмические);
- системы уравнений с параметром.
Рассмотрим теоретические и практические основы темы «Системы уравнений».
Пусть дано два уравнения с двумя неизвестными f1 ( x; y)  g1 ( x; y) и
f 2 ( x; y)  g 2 ( x; y) , и ставится задача найти все пары чисел ( x0 ; y0 ) , таких, что при
подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства, то говорят, что
 f1 ( x; y )  g1 ( x; y),
задана система уравнений и записывают её в виде 
 f 2 ( x; y)  g 2 ( x; y).
Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел ( x0 ; y0 ) ,
таких, что при подстановке числа x0 вместо х и числа y 0 вместо y получаются верные
числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений.
Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают.
Если даны два уравнения f1 ( x; y)  g1 ( x; y) и f 2 ( x; y)  g 2 ( x; y) , и ставится задача
найти все пары чисел ( x0 ; y0 ) , которые удовлетворяют хотя бы одному из заданных
уравнений, то говорят, что задана совокупность уравнений и записывают её в виде:
 f1 ( x; y )  g1 ( x; y ),
 f ( x; y )  g ( x; y ).
2
 2
-
Решить совокупность уравнений – значит найти пары чисел ( x0 ; y0 ) , которые
удовлетворяют хотя бы одному из заданных уравнений.
При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им
системами. Так же как и при решении уравнений, при решении систем уравнений важно
знать при каких преобразованиях система переходит в равносильную ей систему.
Очевидно, что при замене одного уравнения системы равносильным ему уравнением,
система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно переносить
члены уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака, и умножать обе
части уравнения на одно и тоже отличное от нуля число).
Рассмотрим основные метода решения систем уравнений.
1. Метод подстановки. Этот метод основан на том, что данную систему
 f ( x; y )  0,
…………………………(1) сводят к равносильной

 g ( x; y )  0.
 y   ( x),
системе вида:
…………………………(2)

 g ( x; ( x))  0
или к совокупности аналогичных систем. Чтобы свести данную систему к виду (2), надо
решить какое-либо уравнение системы (1) относительно одного из переменных, т.е.
выразить его через другую переменную.
4 x 2  7 y 2  148,
Пример 1. Решите систему уравнений  2
3 x  y 2 .
Решение. Из второго уравнения находим: y 2  3x 2  11 . Подставляя это значение в
первое уравнение, получаем: 4 x 2  21x 2  77  148 , или после упрощения x 2  9 . Корнями
этого уравнения являются числа x1  3 , x2  3 . Таким образом, получаем совокупность
 x  3,
 x  3,
двух систем уравнений:
 2
 2
2
2
 y  3x  11;
 y  3x  11.
Первая система имеет решения (3;4); (3;4)} , а вторая {( 3;4); (3;4)} . Значит, данная
система имеет решения: {( 3;4); (3;4); (3;4); (3;4)} .
2. Метод алгебраического сложения уравнений.
Это второй очень эффективный метод решения систем уравнений. Сущность его в том,
что к обеим частям одного из уравнений системы прибавляют соответствующие части
другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставляют без
изменения. В результате, как правило, получается система, к которой применим метод
подстановки.
 x 2  xy  2 x 2  74,
Пример 2. Решите систему уравнений:  2
2 x  2 xy  y 2  73.
Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому
будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение,
2
2
2
2
2


 x  xy  2 y  74,
( x  xy  y )  y  74,
тогда получаем систему:  2
т.е.  2
2
2


3x  3xy  3 y  147
 x  xy  y  49
Равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:
2
2
 x 2  xy  y 2  49,
 x  xy  y  49,
т.е.


49  y 2  74,
 y  5.
Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
 x 2  5 x  25  49,
 x 2  5 x  25  49,


 y  5,
 y  5,
Первая система име6т решение {(8;5); (3;5)} , а вторая {(8;5); (3;5)} . Значит, решение
данной системы имеет вид: {(8;5); (3;5); (8;5); (3;5)} .
3. Метод замены переменных. Сущность его в том, некоторые выражения от
исходных переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается
более простая система уравнений, относительно новых переменных. После того как эта
система буде решена, необходимо найти значения исходных переменных.
 x  y  x 2  xy  3,
Пример 3. Решите систему уравнений: 
 x  y  x 2  xy  5.

Решение. Обозначим
x  y через и,
x 2  xy через v, тогда получим более простую
u  v  3,
систему  2
равносильную исходной. Решив полученную систему, будем иметь:
2
u  v  5,
u1  1; u2  2; v1  2; v2  1 . Перейдем к переменным х и y, и решим совокупность двух
систем уравнений:
u  1,
u  1,
v  2,
v  2,
 x  4,


1) 
или
т.е. 

 y  3.
 x  y  1,
 x  y  1,
 x 2  xy  2.
 x( x  y )  2,

u  2,
v  1,

2) 
 x  y  2,
 x 2  xy  1,

 x  0,25
.

 y  3,75
Ответ: {( 4;3); (0,25;3,75)} .
4. Метод разложения на множители основан на следующей теореме:
Если функции f1 ( x; y), f 2 ( x; y),..., f n ( x; y) определены на некотором множестве А, то
на этом множестве система уравнений
совокупности систем уравнений:
 f1 ( x; y )  0,
 f 2 ( x; y)  0,


 g ( x; y)  0;
 g ( x; y )  0;
 f1 ( x; y) f 2 ( x; y)... f n ( x; y)  0,
, равносильна

 g ( x; y)  0
 f n ( x; y)  0,

 g ( x; y)  0.
2
2

 x  2 y  17,
Пример 4. Решите систему уравнений:  2
2

6 x  xy  12 y  0.
Решение. Второе уравнение системы представим в виде: (2 x  3 y )(3x  4 y )  0 . Тогда
данная система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом
подстановки.
2 x  3 y  0,
 x  1,5 y
 x  3,
1)  2
или 
, значит 
и решением первой системы
2
2
2
 y  2
 x  2 y  17;
2,25 y  2 y  17
будет {( 3;2)( 3;2)} .
4


3 2
 x   3 y,
3x  4 y  0,
,
y  
2)  2
или 
, значит 
и решением второй системы
2
2
34
x

2
y

17
;
2

 y  17,
 x  2 2

 9
3 2
3 2
{( 2 2 ;
); (2 2 ;
)}.
будет
Ответ:
2
2



3 2
3 2 

;  2 2 ;
 .
3;2;  3;2;   2 2 ;
2  
2 




5. Графическое решение систем уравнений.
Этим методом можно пользоваться для приближенного решения систем уравнений. Он
основан на геометрическом смысле уравнений с двумя переменными. Известно, каждому
уравнению соответствует линия или множество точек плоскости, а решить систему
уравнений, значит найти координаты течек пересечения этих линий.
- гипербола;
( x  a) 2  ( y  b) 2  R 2 - окружность; xy  k
ax  by  c  0
- прямая; y  sin x
- синусоида; y  cos x
- косинусоида;
….
y  tgx
экспонента.
- тангенсоида; y  log a x
- логарифмика; y  a x
-
 x 2  y 2  36,
Пример 5. Решите графически систему уравнений:  2
 x  6 y  36.
Решение.
Уравнение
x 2  y 2  36 задает
окружность с центром в начале координат и
радиусом 6. Уравнение x 2  6 y  36 - парабола,
это уравнение можно переписать в виде:
1
y   x 2  6 . Вершиной этой параболы
6
является точка (0; 6), ветви параболы
направлены вниз, она пересекает ось Ох в
точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики
указанных линий и найдем их точки
пересечения.
Из
чертежа
видно,
что
линии
пересекаются трижды и точками пересечения
являются А(-6; 0); В(0; 6); С(6; 0).
Рассмотрим
примеры
решения
систем
уравнений,
содержащих
тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения, перечисленных в
начале статьи видов.
cos( x  y )  2 cos( x  y ),

Пример 6. Решить систему уравнений: 
3
cos x cos y  4 .
Решение. Преобразуем первое уравнение данной системы с помощью соответствующих
1
формул к виду sin x sin y  , складывая и вычитая уравнения полученной системы
4
перейдем к системе тригонометрических уравнений вида
cos x cos y  sin x sin y  1,
cos( x  y )  1,


или


1
1 . Из полученной системы находим
cos
x
cos
y

sin
x
sin
y

cos(
x

y
)



2
2

 x  y  2k , k  Z ,


 x    n  k , k  Z , n  Z ,
откуда следует 
6


x

y



2
n

,
n

Z
,


y

n

 k , n  Z , k  Z
3

  1


Ответ:      n  k ; n  k  , n  Z , k  Z .

  6

Замечание. Параметры появляющиеся при записи разных уравнений системы, являются
независимыми друг от друга, поэтому они должны обозначаться разными буквами.
Обозначение одним символом ведет к потере корней.
3 x  2 x  y 1  5,
Пример 7. Решить систему уравнений:  x 1
3  2 x  y  1.
Решение. Заменим данную систему на равносильную ей, воспользовавшись свойствами
3 x  2  2 x  y  5,
степеней:  x
. Обозначим 3x  u, u  0 ; 2 x y  v, v  0 . Система примет вид:
x y
3  3  2  1
u  2v  5,
Решив её методом подстановки, получим и = 1, v = 2, т.к. полученные

3u  v  1.
значения удовлетворяют условиям u  0 ; v  0 , перейдем к системе
3 x  1,
, откуда получаем х = 0, y = 1.
 x y
2  2
Ответ: 0;1 .
log 3 ( y  3x)  log 27 8  log 3 (3  x),

Пример 8. Решить систему уравнений: 
.
y2
log

log
(
9
x
)

4
 3 2
3
x

3  x  0,
Решение. ООС: 
0  x  3.
 x  0,
Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем систему, равносильную исходной:
( y  3x)

 log 3 (3  x),
log 3
 y  3x  2(3  x),
2
или
……………………(*)

 2
2
4
y  x
log 81 y  log 81x 2
3
3
x2

Так как уравнение y 2  x 4 равносильно совокупности двух систем, то и полученная
система (*) равносильна совокупности двух систем:
 y  x 2 ,
y  x2 ,
y  x2 ,
1) 
Так как х = -6 не входит в ООС, то
 2

 x  5 x  6  0;  x  6; x  1.
 y  3x  2(3  x);
решение первой системы является только пара (1; 1).
2
 y  x2 ,
 y  x2 ,
 y   x ,
2) 
Так как х = 3 не входит в ООС, то
 2

 x  5 x  6  0;  x  2; x  3.
 y  3x  2(3  x);
решением является пара (2; 4).
Ответ: {(1; 1); (2; 4)}.
 y  e ln x ,
Пример 9. Найти все а, при которых система 
имеет 2 корня.
 y  a  5 x  x 2
Решение.
При
х >0 данная система
уравнений
равносильна системе


y

x
,
1

. Полученная система уравнений имеет 2 решения тогда и только

2
2
 y  a  5x  x
тогда, когда уравнений (2) системы имеет два положительных корня. Исследуем
уравнение (2)
x  a  5x  x 2 , x 2  4 x  a  0 .
Так как по теореме Виета x1  x2  4; x1  x2  a , то указанные условия будут иметь
место, если имеет решение следующая система двух неравенств
 D  0,
4  a  0,
a  4,
т.е. 
 4  a  0 . Ответ: (-4; 0).


 a  0,
a  0,
a  0,
 x  3  y,
Пример 10. Пусть x0 , y0  - решение системы 
. Найдите разность x0  y0 .
 y  x  2  1
Решение. Из условия задачи следует, x  3, y  0 . Кроме того x  2  0 , т.к. x  3 .
Следовательно, данная система равносильна системе
 x  y 2  3,
x  3  y 2 ,
или 

 y  y 2  0
y  x  2 1
так как второе уравнение полученной системы равносильно совокупности двух
уравнений, то и полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений
 x  y 2  3,  x  3,
 x  y 2  3,  x  4,
1) 
2)
так как y = -1 не удовлетворяет условию



y  0
y  0
1  y  0  y  1
y  0 , то вторая пара чисел не является решением.
Ответ: 3.
Рассмотрим пример системы с неизвестным под знаком модуля.

2 1
2
2
log 2 ( x y  2 xy )  log 1     4,
x y

2
Пример 11. Решить систему уравнений: 
log xy  0
 5 6
Решение. Множество допустимых значений х, y можно определить из условий

 2
2
 xy( x  2 y )  0,
 x y  2 xy  0,

2 1
2y  x


0
,
xy( x  2 y )  0 . Данная система в ОДЗ равносильна
 0,


x
y
xy


 xy
 xy  0;
 0;

 6
2y  x

log 2 ( y ( x  2 y ))  log 2 xy  4,
( x  2 y ) 2  16,

системе 
или 
. Полученная система в ОДЗ
 xy  6
 xy  1
 6
 x  2 y  4,
 x  2 y  4,
переменных х и y равносильна совокупности двух систем 
и 
.
 xy  6
 xy  6
Решая методом подстановки каждую из систем, получаем, что первая не имеет
действительных корней, а решением второй системы является множество двух пар чисел
(2; -3) и (-6; 1).
Ответ: {(2; -3); (-6; 1)}.
Контрольное задание
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 11 классов.
М 11.1.1. Решить системы уравнений:
 y 1
x 1
 23
 1,
3
y 1
1)  x  1

 x  y  x  y  6  4;
2 x y  4 x y ,
2) 
log
 x 4  5  4
2
y
;
1

cos
x

cos
y

,

2
4) 
sin 2 x  sin 2 y  7 ;

4
М 11.1.2. Найти все а, при которых система уравнений
 y  ax  b,
 2
2
x  y  1
5

log y x  log x y  ,
3) 
2
2
2
log ( x  y )  1;
 12
имеет действительные решения при любом значении b.