30 уравнения максвелла

30 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Ток смещения. Физический смысл уравнений Максвелла. Система
уравнений Максвелла является обобщением уравнений электро- и
магнитостатики, она основана на анализе экспериментальных фактов и имеет
следующий вид:

  D
rotH  j 
,
(30.1)

t


B
rotE  
,
(30.2)
t

divB  0 ,
(30.3)

divD   ,
(30.4)
где
все уравнения записаны в дифференциальной форме;

j - плотность свободных токов;
 - объёмная плотность свободных зарядов.
Уравнение (30.1) показывает, что магнитное поле порождается как
электрическими токами, так и изменяющимся во времени электрическим
полем (токами смещения). Уравнение (30.1) называется законом полного
тока в обобщённом виде.
Слагаемое в правой части уравнения (30.1)


D
jсм. 
t
(30.5)
называется объёмной плотностью тока смещения.
Производная вектора смещения (30.5), как и объёмная плотность тока
проводимости, имеет размерность А / м 2 . Опыт показывает, что ток
смещения, как и ток проводимости, является причиной возникновения
магнитного поля. Это обстоятельство даёт основание называть производную
вектора индукции (30.5) «плотностью тока».
Уравнение (30.2) выражает закон электромагнитной индукции Фарадея
и утверждает, что электрическое поле создаётся изменяющимся во времени
магнитным полем. Это электрическое поле называется индукционным и
является вихревым. Знак минус в уравнении (30.2) позволяет определить
направление индукционного поля в соответствии с правилом Ленца.
Уравнение (30.3) свидетельствует об отсутствии в природе магнитных
зарядов и отражает вихревой характер магнитного поля.
Уравнение (30.4) показывает, что электрическое поле порождается также
электрическими зарядами (а не только изменяющимся во времени
магнитным полем) и выражает закон Кулона в дифференциальной форме.
Это электрическое поле, в отличие от вихревого индукционного поля,
является потенциальным.
Из уравнений Максвелла следует, что изменяющееся с течением времени
электрическое поле создает магнитное поле. Аналогично изменение во
времени магнитного поля приводит к возникновению электрического поля.
Таким образом, электрическое и магнитное поля взаимно превращаются и
являются неразрывно связанными друг с другом. Таким образом, возникает
электромагнитное поле, содержащее в общем случае и электрическое, и
магнитное поля.
Материальные уравнения. Уравнения Максвелла называются полевыми и
характеризуют прежде всего свойства электромагнитного поля. Для описания
свойств поля в некоторой среде необходимо уравнения Максвелла дополнить
материальными уравнениями (или уравнениями связи), которые в
простейшем случае имеют вид

 
 

D  E , B  H , j  E ,
(30.6)
где    0 r и    0  r - диэлектрическая и магнитная проницаемость;
 - проводимость среды.
Третье соотношение в (30.6) является законом Ома в дифференциальной
форме.
Чтобы найти электромагнитное поле в конкретном случае, например, в
кристалле, волноводе, внутри либо снаружи любого искусственного
устройства или естественного объекта, необходимо решить уравнения
Максвелла совместно с материальными уравнениями и учесть граничные
условия для векторов электрического и магнитного поля (см. разделы 6 и 23).
Полученное таким способом решение уравнений Максвелла является
единственным и описывает поле в рассматриваемом случае.
Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла следует возможность
существования
электромагнитных
волн,
то
есть
переменного
электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной
скоростью. Распространение электромагнитных волн в вакууме является
прямым экспериментальным подтверждением существования тока смещения
(30.5). В вакууме отсутствует вещество и отдельные заряжённые частицы,
поэтому магнитное поле не может создаваться токами проводимости. Однако
в электромагнитной волне присутствуют как электрическое, так и магнитное
поле, эти поля взаимно преобразуются, что обеспечивает распространение
волны в пространстве. Отсюда можно сделать вывод, что причиной
возникновения магнитного поля в вакууме является переменное
электрическое поле, то есть ток смещения.
Чтобы описать распространение электромагнитного поля в вакууме в
отсутствие зарядов и токов, необходимо использовать уравнения Максвелла

и материальные уравнения при следующих условиях:  r   r  1,   0, j  0.
Тогда можно получить

электрического поля E
уравнение
для
вектора




2E 2E 2E
2E


  0 0 2 .
x 2 y 2 z 2
t
напряжённости
(30.7)
Такому
же уравнению удовлетворяет и вектор напряжённости
магнитного



поля H . Из этих уравнений следует, что если векторы E и H изменяются с
течением времени, то они обязательно изменяются и в пространстве.
Уравнение (30.7) является типичным примером волнового уравнения, и
любая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую
волну. Чтобы найти скорость этой волны, необходимо извлечь квадратный
корень из величины, обратной коэффициенту при второй производной по

времени. Значит, уравнение (30.7) и аналогичное уравнение для вектора H
указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде
электромагнитных волн, скорость которых определяется формулой (18.11).
На основании сформулированной им системы уравнений Максвелл
создал электромагнитную теорию света, согласно которой свет
представляет собой электромагнитные волны. Данная теория получила в
дальнейшем полное подтверждение.
Свойства электромагнитных волн. Волновое уравнение, аналогичное
уравнению (30.7), можно получить также для электромагнитного поля в
однородной изотропной среде в отсутствие свободных зарядов и токов. Из
этого уравнения следует, что скорость электромагнитных волн в такой
среде равна
v
c
 r r
,
(30.8)
где  r и  r - относительная диэлектрическая и относительная магнитная
проницаемости среды.
Основные свойства электромагнитных волн можно наглядно изучить
на


примере плоской монохроматической волны, для которой векторы E и H
зависят только от одной координаты и от времени. Выбрав ось z вдоль
направления распространения плоской волны, можно записать:
 
 
E  E0 cos(t  kz) , H  H 0 cos(t  kz) ,


где E0 и H 0 - постоянные, называемые амплитудами волн;
величина k называется волновым числом;
 - циклическая частота волны;
  t  kz - фаза волны.
(30.9)
Если выбрать постоянную координату z , то из формул (30.9) следуют
синусоидальные функции времени, описывающие гармонические колебания
с циклической частотой  . С другой стороны, для фиксированного момента
времени t получаем синусоидальное изменение электромагнитного поля в
пространстве.
Рассматривая перемещение в пространстве произвольно выбранной точки
волны, которой соответствует некоторое постоянное значение фазы  ,
например, максимума волны, можно определить скорость распространения
волны. Из формул (30.9) следует, что скорость волны равна
v

.
k
(30.10)
Используя соотношения (30.8) и (30.10), получаем выражение для
волнового числа
k

c
 r r .
(30.11)
Расстояние между двумя точками, в которых колебания отличаются по
фазе на 2 , например, между соседними максимумами, называется длиной
волны  . Она равна расстоянию, на которое распространяется волна за время
одного периода колебаний T , следовательно, справедливы соотношения
  vT 
2
.
k
(30.12)
Длина волны равна периоду изменения электромагнитного поля (30.9) в
пространстве.
Поверхность, во всех точках которой фаза колебаний одинакова,
называется фронтом волны. Для электромагнитной волны (30.9) фронт
представляет собой плоскость, перпендикулярную оси z . Введя в

рассмотрение единичный вектор n , ортогональный волновому фронту и
направленный в сторону распространения волны, можно определить
волновой вектор,


k  kn ,
(30.13)
модуль которого равен волновому числу.
С целью упрощения математических преобразований, например, при
вычислении ротора и дивергенции поля, векторы напряжённости
электрического и магнитного полей (30.9) можно записать в комплексной
форме


 
 
E  E0 exp( it  ikr ) , H  H 0 exp( it  ikr ) ,
(30.14)

где r - радиус-вектор, проведённый в произвольную точку пространства,
в которой рассматриваются электромагнитные колебания.
Значения напряжённости электрического и магнитного полей (30.9)
можно получить, выделяя только действительные части в выражениях
(30.14). Подобным образом мы уже поступали в разделе 28 при изучении
переменного тока.
Аналогично (30.14),
можно
представить в комплексном виде также


векторы индукции D и B . Дифференцируя поля по пространственным
координатам и по времени, получаем:

  D


 
 
rotE  E  i k E , divB  B  ikB ,
 i D .
t
 
 
(30.15)
Используя соотношения (30.15), уравнения Максвелла (30.1) – (30.4) для
плоских монохроматических волн в отсутствие свободных токов и зарядов
можно записать в виде
kE   B , kH   D ,

kB  0 ,
(30.16)

kD  0 .


(30.17)



Из формул (30.16) следует, что векторы E , B и k (а также векторы D , H

и k ) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему.
На основании соотношений (30.16)
можно
также сделать
вывод, что в



электромагнитной волне векторы E и B (а также D и H ) всегда имеют
одинаковые фазы колебаний.
Формулы (30.16) можно записать в скалярном виде с учётом соотношения
(30.10):
E  vB ,
H  vD .
(30.18)
Используя материальные уравнения (30.6) и перемножая выражения
(30.18), получаем следующее соотношение для электромагнитного поля в
однородной изотропной среде в отсутствие свободных зарядов и токов:
 0 r E 2   0  r H 2 .


(30.19)

Для такой среды векторы E , H и k являются взаимно
перпендикулярными и образуют правовинтовую систему (см. рис.58).
Рисунок 58 – Распределение электрического и магнитного полей
в плоской монохроматической волне
Формула (30.19) справедлива для полей, рассматриваемых в
произвольный момент времени, она верна и для амплитуд полей.
Для волны, распространяющейся в вакууме, на основании соотношения
(30.19) можем записать:
E

H
0
 120  377(Ом) ,
0
где величина  0   0  0 , измеряемая в омах, называется волновым
импедансом свободного пространства.
(30.20)