решение уравнений и неравенств

Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Модуль (абсолютная величина) числа, уравнение, неравенство, числовой промежуток
Вам известно, что модуль или абсолютная величина числа, а обозначается символом: a
a, при a  0

Также вы знаете, что a  0, при a  0
- a, при а  0

Аналогично определяется модуль функции, а именно:
 f ( x), при всех x, для которых f ( x)  0

f ( x)  0, при всех x, для которых f ( x)  0
 f ( x), при всех x, для которых f ( x)  0

 x  2, при x  2;

Например: x  2  0, при x  2;
2  x, при x  2;

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используем следующий
алгоритм:
1. выражение, содержащееся под знаком модуля, приравниваем к нулю и решаем уравнение
2. используя найденные корни, разбиваем числовую ось на промежутки
3. исходное уравнение решаем для каждого промежутка по отдельности, причём знак
абсолютной величины опускаем на основе определения модуля
4. проверяем принадлежность решения рассматриваемому промежутку
5. найденные решения уравнений будут корнями исходного уравнения
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим уравнение: x  2  x  1  x  2  4
Решение. Сначала решим уравнения x  2  0, x  1  0, x  2  0 , затем отметим на числовой оси
полученные корни: x1  2, x2  1 и x3  2
Тогда имеем четыре числовых промежутка: (;2),  2;1, 1;2 и 2;
2
1
2
x
Решим данное уравнение (1) на каждом из этих промежутков.
1) На
промежутке
 ;2 по
определению
абсолютной
величины:
x  2  ( x  2), x  1  ( x  1), x  2  ( x  2). Следовательно, на этом промежутке
уравнение (1) равносильно уравнению:  ( x  2)  ( x  1)  ( x  2)  4 , имеющему
единственный корень: x1  1. Этот корень не принадлежит промежутку  ;2 .
Следовательно, уравнение (1) на рассматриваемом промежутке не имеет корней.
2) На
промежутке
определению
абсолютной
величины:
 2;1 по
x  2  x  2, x  1  ( x  1), x  2  ( x  2). Следовательно, на этом промежутке уравнение
(1) равносильно уравнению ( x  2)  ( x  1)  ( x  2)  4 , имеющему единственный корень:
x2  1 . Этот корень не принадлежит промежутку  2;1 , следовательно, уравнение (1) на
рассматриваемом промежутке корней не имеет.
3) На
промежутке
определению
абсолютной
1;2 по
величины x  2  x  2, x  1  x  1, x  2  ( x  2). Следовательно, на этом промежутке
уравнение (1) равносильно уравнению
имеющему
( x  2)  ( x  1)  ( x  2)  4 ,
единственный корень: x3  1 . Этот корень принадлежит промежутку 1;2 , следовательно,
уравнение (1) на рассматриваемом промежутке имеет единственный корень, равный
единице.
4) На
промежутке
по
определению
абсолютной
величины:
2;
x  2  x  2, x  1  x  1, x  2  x  2. Следовательно, на этом промежутке уравнение (1)
равносильно уравнению: ( x  2)  ( x  1)  ( x  2)  4 , имеющему единственный корень:
5
x 4  . Этот корень не принадлежит промежутку 2; , следовательно, уравнение (1) на
3
рассматриваемом промежутке не имеет корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень x  1.
Пример 2. Решим уравнение:
x 1
1
x 1
x 1
 0 . Это
x 1
уравнение при x  1 имеет корень x  1 . Этот корень будет точкой разбиения числовой оси.
Ещё одной точкой разбиения является точка x  1, в которой теряется смысл выражения под
знаком модуля.
Решение. Сначала приравниваем нулю выражение, которое под знаком модуля:
Этими двумя точками, x  1 и x  1, числовая ось разбивается на следующие три
промежутка: (;1), [1;1), (1;).
Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков:
1) На промежутке (;1) по определению абсолютной величины:
x 1
 0. Следовательно,
x 1
x 1
 1 , которое не имеет корней.
x 1
Следовательно, исходное уравнение на это промежутке не имеет корней.
данное уравнение равносильно уравнению
2) На промежутке [1;1) по определению абсолютной величины:
уравнение
x 1
 0. Получим
x 1
x 1
 1 , которое имеет единственный корень: х = 0.
x 1
x 1
 0. Следовательно,
x 1
исходное уравнение, как и в первом случае, не имеет корней на этом промежутке.
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень: x = 0.
3) На промежутке 1; по определению абсолютной величины:
Пример 3. Решим неравенство: x  2  x  3  x  5
Решение. Решаем уравнение x  2  0 и x  3  0 . Получим x  2 и x  3 . Этими двумя точками
числовая ось разбивается на три промежутка
-2
х
3
Рассмотрим данное неравенство на каждом из полученных промежутков:
1) при x  2 неравенство принимает вид:
4
 x  2  x  3  x  5 или x   , т.е. решениями данного неравенства являются значения х,
3
 x  2,

удовлетворяющие системе неравенств: 
4
 x   3 .
Отсюда, x  2
-2

4
х
3
2) при  2  x  3 исходное неравенство принимает вид: x  2  x  3  x  5 или x  0
Следовательно, решениями исходного неравенства являются значения х, удовлетворяющие
 2  x  3,
системе неравенств: 
, а именно  2  x  0
 x  0.
2) при x  3 исходно неравенство принимает вид: x  2  x  3  x  5 или x  6 , другими
x  3
словами, решениями являются значения х, удовлетворяющие системе неравенств: 
x  6
т.е. x  6
Таким образом, в итоге решением данного неравенства будут значения х, удовлетворяющие
неравенствам: x  2;  2  x  0 и x  6 , т.е. промежутки (;0)  (6;)
Ответ: (;0)  (6;)
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Ответ: x  2
1. Решите уравнение x  2
2. Решите уравнение 2 x  5
Ответ: x  2,5
3. Решите уравнение 2 x  3  3  2 x
Ответ: (;1,5]
4. Решите уравнение 5x  13  6  5x  7
5. Решите уравнение x 2  6 x  2  0
6. Решите уравнение
x
 x  x2 1
x
7. Решите уравнение 3
3 x 4
 9 2 x 2
1

Ответ:   ;1 
5

Ответ: 11  3;  11  3
Ответ: 1
Ответ: x  1
1
7
8. Решите неравенство 2 x  1  x  4
Ответ: (;2)  (2;)
9. Решите неравенство 3 x  1  x  3
Ответ: [0;3]
10. Решите неравенство 3 x  1  x  5
Ответ: (;2]  [1;)
Тема: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Уравнение, корень уравнения, посторонний корень, равносильные уравнения, неравенство,
решение неравенства, равносильные, неравенства, область допустимых значений переменной.
Если в уравнении (неравенств) некоторые коэффициенты заданы не конкретными
числовыми значениями, а обозначены буквами, то эти коэффициенты называются
параметрами, а уравнение (неравенство) – уравнением с параметрами (неравенством с
параметрами).
При решении уравнения или неравенства с параметрами необходимо:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) найти множество решений, соответствующее каждой допустимой системе значений
параметров.
Основной принцип решения уравнений с параметрами можно сформулировать так:
необходимо разбить область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении
параметра на каждом из них получающиеся уравнения решались одним и тем же методом.
Отдельно для каждого промежутка находятся корни уравнения, выраженные через значения
параметра. Используемые при этом приёмы такие же, как и при решении уравнений с числовыми
коэффициентами.
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ
Пример 1. Решим уравнение (a  2) x  a 2  4 для каждого значения параметра а.
Решение. Рассмотрим два случая.
1) Пусть a  2 , тогда данное уравнение имеет вид: 0  x  0 . Этому уравнению удовлетворяет
любое действительное значение х.
2) Пусть a  2 , тогда данное уравнение является линейным уравнением и его единственным
решение: x  a  2 .
Ответ:х – любое число при a  2, x  a  2 при a  2.
Пример 2. При каких значениях, а уравнение 4 x  (a  3)  2 x  4a  4  0 имеет один корень?
Решение. Рассматривая данное уравнение как квадратное уравнение относительно 2 x ,
устанавливаем, что оно равносильно совокупности уравнений 2 x  a  1 и 2 x  4 . Уравнение
2 x  a  1 при a  5 имеет одно решение, а при a  1 не имеет решения.
Уравнение 2 x  4 при любом значении, а имеет единственное решение.
Пример 3. Решим уравнение:
1 1 1
1
  
a b x ab x
Решение. Замечаем, что значения 0 и  (a  b) не являются допустимыми значениями для х.
Параметры а и bтоже неравны нулю. Освобождаем уравнение от знаменателей. Получаем:
(a  b  x)bx  (a  b  x)ax  (a  b  x)ab  abx  0
(a  b) x 2  (a  b) 2 x  (a  b)ab  0
Если a  b  0 , то уравнению (1) удовлетворяют все значения х, кроме х = 0. Исходное уравнение в
1 1
этом случае принимает вид:  .
x x
Если a  b  0, то, разделив уравнение (1) на a  b , получим квадратное уравнение:
x 2  (a  b) x  ab  0 . Корни его: x1  a ,
Ответ: любое действительное число, кроме х = 0 при a  b  0 ; x  a и x  b при a  b  0.
Пример 4. Решим уравнение 1  ax  1  ax  x
Решение.Допустимые значения переменной х и параметра, а в данном уравнении определяются
системой неравенств:
1  ax  0,
или ax  1 .

1  ax  0
Кроме того, если а и х имеют одинаковые знаки (0  ax  1) , то 1  ax  1  ax  0 и
решением уравнения может быть только положительное значение переменной, а это значит, что
и a  0. Если а и х имеют разные знаки (1  ax  0), то 1  ax  1  ax  0 и решением уравнения
может быть только отрицательное значение переменной, но при этом также и a  0 . Таким
образом, уравнение имеет отличные от нуля решения, если a  0; x  0 при а = 0.
Перепишем уравнение в виде 1  ax  x  1  ax и возведём обе его части в квадрат. После
преобразований получим: x( x  2 1  ax  2a)  0 , откуда:
1) x1  0 при произвольных значениях а;
2) x  2 1  ax  2a  0 , или 2 1  ax  2a  x .
Последнее уравнение имеет решения, если 2a  x  0. Возведём обе части этого уравнения в
квадрат и после упрощения получим: x 2  4(1  a) 2 , откуда при a  1 находим:
x2  2 1  a 2 , x3  2 1  a 2 . Найденные значения будут корнями данного уравнения, если:
a  0,
0  a  1


 a  1,

или  1  a 2  a,


 x  2a,
2
  2a 1  a  1
 ax  1


Отсюда получим:

0  a  1,
0  a  1,


2
2
или 1  2a 2  0
1  a  a ,
(2a 2  1) 2  0.

1

a 2 (1  a 2 ) 
4

Третье неравенство последней системы неравенств выполняется при любом значении а.
Поэтому решением последней системы неравенств является общее решение неравенств 0  a  1 и
1  2a 2  0 т.е.
Ответ:
2
 a 1
2
2
 a 1
2
Пример 5. Решим неравенство x 2  ax  4  0.
Решение.Дискриминант уравнения x 2  ax  4  0 будет D  a 2  16 .
Рассмотрим три случая: D  0, D  0, D  0.
1) При D  0 или a 2  16  0 получаем:  4  a  4 . Следовательно, для каждого
a  (4;4) данное неравенство имеет решение и его решением является любое
действительное число.
2) При D = 0 или a 2  16  0 получается: a  4 и a  4 . Следовательно, здесь также для
каждого a  4 и a  4 данное неравенство имеет решение и его решением является любое
действительное число.
3) При D  0 или a 2  16  0 получится: a  4 и a  4 . Следовательно, на каждом из
промежутков (;4) и (4;) данное неравенство имеет решение и его решение имеет вид:
 a  a 2  16
 a  a 2  16
, x2 
.
(; x1 ] и [ x2 ;), где: x1 
2
2
Ответ: х – любое действительное число при a  [4;4]


 a  a 2  16    a  a 2  16
a    ;
;  при a  (;4)  (4;)



2
2
 


Пример 6. Решим неравенство: x  3  a 2 .
Решение. 1) При a  0 правая часть неравенства отрицательна, тогда при любом значении х левая
часть неравенства больше правой.
3) Приа = 0 исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме
х = - 3.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
1. Решите уравнение
a
5
 3 Ответ: при a  0 нет решений, при a  0 , x  a
2a  x
3
2. Решите уравнение
a
a
 3 Ответ: при a  0 , x  , при, a  0 , нет решений
a  2x
3
3. Решите уравнение
a
3
 2 Ответ: при a  0 , x  a , при a  0 , нет решений
2a  x
2
4. Решите уравнение
a
a
 2 Ответ: при a  0 , x  , при a  0 , нет решений
a  2x
4
5. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения
x  2a  x  1  a  0 .
Ответ: значений, а нет
6. Найдите все значения а, при которых число х = - 3 является решением неравенства
4  x  2a  x 2
Ответ: (;)
7. Найдите все значения а, при которых число х = - 2 является корнем уравнения
x  a  x  1  2a  0
Ответ: a  
3
4
8. Может ли при каком-нибудь значении, а уравнение 2 x 6  x 4  a 2  1 имеет три корня?
Ответ: нет
9. Найдите все значения а, при которых число х = 2является корнем уравнения
11
(a  3 x 2  sin
x) 11  3ax
4
11
Ответ:
6
10. Найдите все значения параметра а, такие, чтобы уравнение x x  2a  1  a имело 2
различных корня.
1
Ответ: a  2; a  
2
ТЕСТ №1
1. Решите уравнение:
x 4
A)  16 B)  4
C)  2
2. Решите уравнение
7  4x  7  4x
D)  8
E)  3
7
4
7

B)   ;  C)
4
7
4

3. Решите уравнение
x2  x4 8
7

D)  ; 
4

7

E)   ; 
4

A) 3;5
B) – 3;- 5
C) – 5;3
4. Решите уравнение
x 3  x  2  x 4  3
D) 5; -3
E)  5;3
A) 6;-2
B) -6;-2
C) 6;2
5. Решите уравнение
x  x  x 2  3x  3  8  0
D) -6;2
E)  6;2
A)
3 2
5 5
5 5
5 5
5 5
;
B) ;
C) ;
D)  ;
E)  ;
2 3
2 3
5 5
2 3
2 3
6. Решите уравнение при каждом значении параметра а.
a (a  1) x  a
A) приа = 1 решения нет
B) при а = 1 одно решение
C) а = 1
D) нет решений
E)  ;
A)
7. Для каждого значения, а найдите число корней уравнения x  2  1  a  0,5x
A) при a< 0 нет корней
B) при a< 0 нет корней
приа = 0 один корень
при а = 0 один корень
приа > 0 два корня
при а > 0 нет корней
C) приa< 0 два корня
приа = 0 нет корней
приа > 0 один корень
D) при а = 0 три корня
при а > 0 два корня
при a< 0 один корень
E) приa< 0 три корня
приа > 0 два корня
приа = 0 нет корней
8. Для каждого значения, а найдите число корней уравнения
x  2  1  a  3x
A) 0;
B)  ;0
C) 5;
D)  ;5
E)  ;
9. Найдите все значения а, при которых число х = -2 является решением неравенства
3  x  2a  x 2
A) решений нет
B)  ; C)  ;5 D) 5;
E)  5;5
10. Найдите все значения а, при которых число х = 2 не является решением неравенства
 2  x  3a  x 2
A) нет решения
 4 
B)   ;0
 3 
 4 
C)   ;0
 3 
 4 
D)  ;0 
 3 
 4 
E)   ;0 
 3 
ТЕСТ №2
1. Решите уравнение x  5  x  2  3
A)  5;
B) (5;)
C) (;5]
D) (;5)
E) (5;5]
2. Решите уравнение x 2  3 x  2  2
A) 0;1
B) -1;0
C) -1;1
D) 0
E) 1
3. Решите уравнение
( x  2) x  3  5 x 2  x  2  20
1
C)  ;2
2
1 1
D)  ;
2 4
1 
C)  ;3 
2 
1 
D)  ;3
2 
6. Решите уравнение x  5  5
A) 0;10 B) 10;10
C) 0 D) -10;0
E) -10;10
A)
1
;2
2
B) 2;
1
2
1
E)  ;2
2
4. Решите уравнение
2x  1  5  x  6  x
1 
A)  ;3
2 
1 
B)  ;3 
2 
 1

E)   ;3 
 2

xa
0
5. Решите уравнение при каждом значении параметра а
x3
A) при a  3; x  a
B) при а = 3, х = а C) при a  3; x  
D) при a  3, x  a при a  3, x  
E) нет решений
7. Решите неравенство 3x  2  4
2
2
2



A)   ;   2;  ; B)   ;  ; C) (2;) ; D)   ;   2;  ; E) нет решений
3
3
3



8. Решите уравнение cos x  sin x
A)
D)

2

4
 n, n  z
B) нет решений
 2n, n  z
E) 

4
C) 

4
 2n, n  z
 2n, n  z
9. Найдите все значения а, при которых число х = -2 является корнем уравнения
x  a  x  1  2a  0 х = -2
A) 
3
4
B) 
4
3
C)
3
4
D)
4
3
3 4
E)  ;
4 3
10. Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения
11 

2
x  8  ax  0
 a  3 x  cos
4 

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ОТВЕТЫ
Тема: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест №1
B
B
C
D
E
A
A
E
A
B
Тест №2
A
B
C
D
D
D
A
E
A
E