Параметр

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1»
г.Новтроицка
Исследовательская работа
Методы решения уравнений и
неравенств с параметром
Математическое моделирование
Выполнил:
Ногин Владислав Евгеньевич,
ученик 11 А класса МОАУ
«Лицей №1»
Руководитель:
Есина Наталья Ильинична,
учитель высшей
квалификационной категории
Оренбургская область
Новотроицк
2012
Оглавление
Введение ................................................................................................................... 3
Параметр .................................................................................................................. 5
Методы решения тригонометрических уравнений с параметром ..................... 9
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств
с параметром .......................................................................................................... 17
Методы решения систем уравнений и неравенств ............................................ 22
Заключение ............................................................................................................ 31
Список используемой литературы ...................................................................... 32
Введение
Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся
9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не
только знания свойств функций
и уравнений, умения выполнять
алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и
техники исследования.
Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со
следующими их особенностями:

обилие формул и методов, используемых при решении уравнений
данного вида;

возможность решения одного и того же уравнения, содержащего
параметр, различными способами.
Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием
задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс».
Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать
такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного
экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Объект исследования: задачи с параметрами.
Цель данной работы:
- выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов
уравнений с параметрами;
- решить уравнения с параметрами;
- углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. Показать способы решения уравнений с параметрами.
Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются
алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на
различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый
Государственный Экзамен.
Мои действия:
1. Подобрать и изучить литературу;
2. Решить подобранные задачи;
Параметр
Имеется несколько определений параметра:
- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения,
значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи,
но в другой задаче меняет свои значения (О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю.
И. Сорокин, Н. Г. Федин - «Толковый словарь математических терминов»).
- Переменныеa, b, c, …, k, которые при решении уравнения или
неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само
уравнение
(неравенство)
называется
уравнением
(неравенством),
содержащим параметры (Л. Л. Драгилева – «Репетитор по математике»,
Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).
Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к
квадратным уравнениям с параметром. Следовательно, чтобы научиться
решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и
системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки
решения квадратных уравнений с параметром.
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где х – неизвестная, a, b, c – выражения,
зависящие только от параметров, а0, называется квадратным уравнением
относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров,
при которых a, b, c действительны.
Контрольные значения параметра
Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо
находить контрольные значения параметра.
Контрольные значения параметра – те значения, при которых
обращается в 0:
- старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;
- знаменатели в дроби;
- дискриминант квадратного двучлена.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с
параметром.
Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям
с параметром:
1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при
которых уравнение теряет смысл.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный
нулю.
2
3. Преобразовать уравнение-следствие к виду  (a) x   (a) x   (a)  0 ,
где х - неизвестное,  (a),  (a),  (a) - действительные числа или
функции от параметра.
4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:
а)  ( a )  0 ;
б)  ( a )  0 .
5. Исключить те значения параметра, когда найденный корень x1 (или x2 )
обращает в нуль общий знаменатель; найти при этом значении параметра
x2 (или x1 ).
6. Записать ответ.
Рассмотрим пример.
При каких b корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от (1; 6)?
1 способ.
х2-4bх+4b2– 1=0
Выделим квадрат двучлена:
(х-2b)2– 1=0
(х-2b)2=1
х-2b=±1
х=2b+1
х=2b-1
Так
как
х
должен
лежать
на
промежутке
от
1
1) 1<2b+1<6
0<2b<5
0<b<2,5
2) 1<2b – 1<6
2<2b<7
1<b<3,5
0<b<2,5
1<b<3,5
b(1; 2,5)
Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от
(1; 6) при b(1; 2,5).
2 способ.
х2-4bх+4b2– 1=0
D=16b2-16b2+4=4>0
х1=
4b  2
=2b+1
2
х2=2b-1
1) 1<2b+1<6
0<2b<5
0<b<2,5
2) 1<2b – 1<6
2<2b<7
1<b<3,5
0<b<2,5
1<b<3,5
b(1; 2,5)
Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от
(1; 6) при b(1; 2,5).
3 способ.
х2-4bх+4b2– 1=0 – график парабола. Ветви направлены вверх.
до
6,
то:
у(1)>0
у=1-4b+4b2– 1>0
у(6)> 0
у=36-24b+4b2– 1>0
хв(1; 6)
1<-
4b
<6
2
1) 4b2-4b>0
4b(b-1)>0
b=0
или
b=1
b(-∞; 0)  (1; +∞).
2) 4b2-24b+35>0
D=576 – 560=16=42>0
b1=
24  4
=3,5
8
1<2b<6
b2=
24  4
=2,5
8
b(0,5; 3)
b(-∞;2,5)(3,5;+∞)
b(1; 2,5)
Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от
(1; 6) при b(1; 2,5).
Методы решения тригонометрических уравнений с параметром
Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное
находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких
уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших
тригонометрических уравнений.
Использование этих методов может намного упростить решение многих
сложных заданий. Используя шаблон каждого метода, ученик может быстро
распознать и применить к нему соответствующий метод. Представленные
примеры могут быть использованы на факультативных занятиях. Это
поможет ученикам приобрести опыт в решении задач данных типов.
1. Введение дополнительных переменных
Введение дополнительных переменных позволяет упростить
выражения присутствующие в заданиях и позволяет упростить выполнение
задания. Этот подход может быть применен в следующих случаях.
1.1.
В уравнениях вида
можно вводить дополнительную
следующие подстановки
переменную
и
применять
переменную
и
применять
1.2 . В уравнениях вида
можно
вводить
дополнительную
следующие подстановки
1.3. В уравнениях вида
можно вводить дополнительную переменную
подстановки
и применять следующие
1.4. В уравнениях вида
можно вводить дополнительную переменную
, где
и применять следующие подстановки
Ниже приведены несколько примеров решения задач описанными методами.
1.5 Пример 1
При каких значениях параметра
имеет на интервале
уравнение
более одного решения.
Решение: Обозначим
, тогда
(при
)
и
.
Нам нужно, чтобы уравнение имело более одного корня на интервале (0,1),
т.е.
Ответ:
.
2. Разделение области возможных значений переменных и параметров
Область возможных значений переменных или параметров или
некоторых выражений разделяется на дизъюнктные подмножества. Это
позволяет упростить задание, или перевести задание в новую форму, более
легкую для решения.
2.1. Пример 1
В зависимости от параметра
Решение: Очевидно, что
решить уравнение
.
будет всегда решением.
Если
, то получим
нет, если
что
Пусть теперь
, то
, то решений
. Учитывая,
,
получаем: при
и
,
при
, тогда
решений нет, если
Учитывая, что
. Если
,
.
. Если
, то
, то
,
получаем: при
и при
,
,
.
.
Теперь можем записать ответ.
Ответ: при
x = 0,
при
,
,
при
,
,
,
3. Вспомогательные преобразования
Выполнение
вспомогательных
преобразований, приводящих
к
упрoщению выражений задания, либо делает возможным применение
подходов 1 и 2.
3.1 Пример 1
Найти а при котором имеет по крайней мере одно решение
уравнение
Решение: Преобразуем это уравнение, используя формулы сокращенного
умножения и основное тригонометрическое тождество:
Разделим обе части уравнения на 4:
.
В левой части уравнения вынесем за скобки
получим:
и
.
При
, значит решений нет.
При
получаем
Зная, что
.
, следовательно
,
значит
.
Из последней системы мы можем записать ответ.
Ответ: при
4. Применение классических формул
Решение многих уравнений может быть значительно упрощено
применением классических тождеств, неравенств, свойств и теорем.
Приведем пример решения такого уравнения.
4.1 Пример
Найти наибольшее значение функции
, где
.
Решение: Найдем наибольшее значение квадрата этой функции
.
С учетом того, что
имеем
.
Выражение примет наибольшее значение тогда, когда наибольшее
значение будет иметь подкоренное выражение.
Имеем
.
Если сумма двух положительных переменных постоянна, то
произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба
сомножителя принимают одинаковые значения.
.
Если
, то
,
,
.
В этом случае каждое из подкоренных выражений равно (1+a)/2 и
Если
, то значение функции будет 2.
Ответ:
.
Примеры применения данных методов
Пример 1. Решить уравнение
=
- .
Уравнение имеет смысл при m ≠ 0. Значение х должно удовлетворять
условию cos 2x ≠ 0, tg 2x ≠ . Разделив числитель и знаменатель дроби,
стоящей в левой части уравнения на cos2 2x, а первой дроби правой части на
cos 2x, получим уравнение
=
- ,
равносильное уравнению, записанному выше.
Пустьtg 2x = z.
Несложные преобразования приводят к уравнению
z2– (3m – 1)z +2m2 + m – 6 = 0,
имеющему два корня:
z1 = m + 2,
z2 = 2m – 3.
Выше было отмечено, что значения х должны удовлетворять условию tg2x ≠
. Значит, необходимо исключить те значения m, при которых z1 или z2 (или
оба числа) равны .
при m = -1,5. При этом z2 = 2m – 3= -6.
z1 = m + 2 =
z2 = 2m – 3 =
при m = 1,75. При этом z1 = m + 2 = 3,75.
При m = -1,5 x = arctg (-6) +
;
приm = 1,75 x = arctg 3,75 +
;
при m ≠ -1,5,
m ≠ 1,75, m ≠ 0 уравнение имеет два множества корней:
x = arctg(2m – 3) +
, x = arctg(m + 2) +
,
k, n, s – независимо друг от друга принимают значения всех целых чисел.
Пример 2.Найти наибольшее целое значение параметра а, при котором
уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение: преобразуем заданное уравнение:
cos2x + asinx = 2a – 7; 1 – 2sin2х – asinx = 2a – 7; sin2х -
1
asinx + a – 4 =
2
0;



(sinх – 2) · sin x    2  = 0.
a
2





Решение уравнения (sinх – 2) · sin x    2  = 0 дает:

a
2

(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
а
sinх -   2  = 0;
2


а
х = (-1)narcsin   2  + πn, n Z при   2  ≤1.
а
2
2



Неравенство   2  ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что
а
2

наибольшее целое значение параметра а равно 6.
Ответ: 6.
Пример 3.Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2asinx –
cos 2x + 3 – 2a2 = 0 имеет решение.
Решение. Заметим, что cos 2x = 1 – 2sin2x, тогда, преобразовав уравнение,
получим
sin2x + asinx + 1 – a2 =0.
Пустьsinx = t, тогда уравнение сведётся к квадратному
t2 + at + 1 – a2 =0
Так как -1 ≤ sinx ≤ 1, то исходное уравнение имеет решение, когда хотя бы
один из корней уравнения удовлетворял условию
-1 ≤t≤ 1. При этом
возможны два варианта.
Уравнение имеет два корня, один из которых
1)
принадлежит отрезку [-1; 1]. Обозначим функцию, стоящую в левой
части уравнения через ƒ(t). Её график – парабола с ветвями,
направленными вверх. Парабола пересекает отрезок [-1; 1] только в
одной точке. Тогда на концах этого отрезка функция принимает
значения разного знака или одно из этих значений равно нулю.
ƒ(1)*ƒ(-1) ≤ 0,
где ƒ(1) = -а2 + а + 2, ƒ(-1) = -а2 - а + 2.
Подставив ƒ(1) и ƒ(-1) в неравенство и разложив на множители,
получим
(а + 1)(а – 2)(а – 1)(а + 2) ≤ 0,
откуда, используя метод интервалов, получим решение
а [-2; -1]  [1; 2].
Уравнение имеет два корня, принадлежащих
2)
отрезку [-1; 1], или имеет единственный корень, который расположен
на отрезке [-1; 1].
Это имеет место при выполнении условий
D = a2 – 4(1 – a2) ≥ 0
ƒ(1) ≥ 0
ƒ(-1) ≥ 0
-1 ≤ xв≤ 1
D ≥ 0,  5а2 – 4 ≥ 0  а (-∞;
]  [ ; +∞);
ƒ(1) ≥ 0  -a2 + a + 2 ≥ 0  а[-1; 2];
ƒ(-1) ≥ 0  -a2 - a + 2 ≥ 0  а[-2; 1];
xв =
, -1 ≤ xв ≤ 1  -1 ≤
≤ 1  a [-2; 2].
Решением системы является пересечение полученных четырёх множеств:
а[-1;
]  [ ; 1].
Решением системы является объединение множеств
а [-2; -1]  [1; 2] и а[-1;
Ответ: [-2;
] [ ; 1].
]  [ ; 1].
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и
неравенств с параметром
Для успешного решения показательных и логарифмических уравнений
и неравенств с параметром необходимо знать определение и свойства
логарифма.
Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени,
в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Основные свойства логарифмов:
1) a log b  b ;
1
5) log a   =  log a c ;
2) log a a m  m ;
6) log a b m  m  log a b ;
a
c
1
n
3) log a (b  c)  log a b  log a c ;
7) log a b   log a b ;
b
4) log a   = log a b  log a c ;
8) log a b 
c
Также важно помнить
логарифмической функций:
n
основные
log c b
.
log c a
свойства
показательной
и
1) Область определения функции у  a x , где a  0, a  1 - всё множество
действительных чисел; функции y  log a x , где a  0, a  1 - множество
положительных действительных чисел.
2) Множество значений функции у  a x - множество положительных
действительных чисел; функции y  log a x - всё множество
действительных чисел.
3) Промежутки монотонности: если a  1 обе функции возрастают; если
0  a  1 - обе функции убывают.
Замечание. 1) В соответствии со вторым свойством, при решении
логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область
допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.
Третье свойство необходимо помнить при решении неравенств.
Показательные уравнения
Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором
неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. Большинство
показательных уравнений с параметрами сводится к показательным
уравнениям вида: а f (x) = b φ(х) (*), где а>0, b>0. Если a  0, a  1 , то
уравнение a f ( x )  b g ( x ) равносильно уравнению f ( x)  g ( x) .
Логарифмические уравнения
Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором
неизвестное входит в аргумент логарифма.
При решении логарифмических уравнений используются два основных
метода: 1) переход от уравнения log a f ( x)  log a g ( x) к уравнению
вида f ( x)  g ( x) ; 2) введение новых переменных.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к
нахождению корней элементарного логарифмического или квадратного
уравнений.
Рассмотрим примеры решения показательных и логарифмических
уравнений с параметром
Пример 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение
- 2(а + 1)
+ 9а – 5 = 0
имеет четыре решения.
Решение. Обозначим t =
. Тогда исходное уравнение примет вид
- 2(a + 1)t +9a – 5 = 0 (t > 0, t ≠ 1, E(t) = [1; +∞] )
Рассмотрим сначала уравнение t =
.
1. При t = 1 это уравнение имеет одно решение
= 1,
х=0
2. При t > 1 справедливо
> 0. Поэтому уравнение
имеет два решения
=t
х2 =
х2 = 0,
=t
х1,2 =
Следовательно, исходное уравнение имеет четыре решения, если
полученное квадратное уравнение имеет два корня t1 и t2 > 1.
А это будет, если:
a
Ответ: при a
уравнение имеет четыре решения.
Пример 2. При каких значениях а уравнение
lg2(sin3x) – 2(a + 1)lg(sin3x) + 9a – 5 = 0 имеет решения? Найти их.
Решение. Обозначив t = lg(sin3x), получим уже привычное квадратное
уравнение
- 2(a + 1)t +9a – 5 = 0
Найдём область значений t. Функция sin3x меняется от -1 до 1,
поскольку логарифмы отрицательных чисел не существуют, рассмотрим
значения х, при которых 0 < sin3x 1. При этих х функция lg(sin3x)
меняется в промежутке от -
до 0, т.е. E(t) = (- ; 0].
Исходное уравнение имеет решения, если квадратное уравнение имеет
хотя бы один корень в промежутке (- ; 0].
Возможны два варианта:
1. Оба корня принадлежат этому промежутку
2. Только меньший корень ему принадлежит.
Обозначим
= - 2(a + 1)t +9a – 5.
Случай 1 имеет место, если
Случай 2 имеет место, если
9а – 5
0
а
Итак, мы нашли, что исходное уравнение имеет решения при а
Ответ: при а
.
уравнение имеет решения.
Пример 3. При каких а неравенство
- (2а + 3)
Выполняется при всех -2
+ 6а – 16
?
Решение. Приведя неравенство к виду
- (2а + 3)
и обозначив t =
+ 6а – 16
, получим
- (2a + 3)t + 6a – 16
Поскольку -2
,
, то
t=
.
2.
Таким образом, наша задача свелась к следующей. Найти все а, при которых
неравенство
- (2a + 3)t + 6a – 16
выполняется при всех
Последнее имеет место при выполнении условий:
Ответ: а
Пример 4. Решить уравнение
2 – log
a2
(1 + х) = 3 log а x  1 - log
a2
(х 2 – 1)2.
t
2.
Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.
Осуществим
на
ОДЗ
цепочку
равносильных
преобразований
исходного уравнения:
log а а2 + log a(х2 - 1) = log а ( x  1 ) 3 + log a
x 1 ,
log а (а2 (х2 - 1)) = log а (( x  1 ) 3 x  1 ),
а2 (х2 - 1) = (х - 1) ( x  1)( x  1) ,
а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1) ( x  1)( x  1) .
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) и на
x  1 . Тогда получим a 2 x  1 =
x 1 .
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4 (х + 1) = х – 1  а4 х + а4 = х – 1  х( 1 - а4 ) = а4 + 1.
Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то x 
1 a4
.
1 a4
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно
1 a4
 1.
выполняться условие х > 1, то есть
1 a4
Выясним,
при
каких
значениях
параметра
а,
это
неравенство
истинно:
1 a4
2a 4

1

0
0.
,
1 a4
1 a4
Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то
есть при а < 1.
Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем
исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;
при а > 1 решений нет;
при 0 < a < 1 x 
1 a4
.
1 a4
Методы решения систем уравнений и неравенств
Выделяют две разновидности методов:
1) Координатно-параметрический;
2) Геометрический;
3) Аналитический
Координатно-параметрический метод эффективен в задачах, в которых
фигурирует одна неизвестная и один параметр. Его применение основано на
изображении в системе координат оха и оах.
Геометрический метод может быть использован, если уравнение или
неравенство имеет две переменных и один параметр. Применение
геометрического метода сводится чаще всего к рассмотрению семейств
кривых в плоскости оху в зависимости от параметра а.
Аналитический метод решения уравнений и неравенств с параметром был
описан выше, я считаю, что он недостаточно эффективен при решении
систем уравнений и неравенств с параметром, функционально-графические
методы решения значительно рациональнее в этих случаях, поэтому этот
метод я рассматривать не буду.
Умения, необходимые для реализации функционально-графических
методов:
1) Умение строить графики функций;
2) Умение изображать на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству;
3) Умение строить семейство кривых, зависящих от параметра а.
Примеры решения задач координатно-параметрическим методом
Задача 1. При каких значениях параметра а существует хотя бы одно
значение х, удовлетворяющее системе
Решение. Сначала рассмотрим первое неравенство. Разложим его на
множители:
=0
– 4(
D=
+ 2а)
Если дискриминант является полным квадратом, тогда идём далее по
решению, если же нет – переходим к аналитическому методу.
+ 20а +4 –
D=
х=
- 8а =
+ 12а + 4 =
х1 = - 4а – 2 а =
х2 = - а
-
а=-х
Мы получим две границы, то есть пару прямых.
Рассмотрим второе уравнение:
+
= 4 это окружность с центром (0; 0) и радиусом 2.
, ,
- точки пересечения графиков а = - х и а =
окружностью
+
-
с
= 4.
Подставим в первое неравенство пробную точку (1; 0), получим 3 0,
что неверно, решением системы будут дуги, образованные острыми углами,
то есть ответ будет таков: а ( ; )
; ).
Определим
окружности
+
и
: это точки пересечения прямой а = - х и
= 4:
=4
Определим
окружностью
=
,
: это точки пересечения прямой а =
+
= 4:
;
)
-
с
а(17а + 16) = 0
а3 = 0
=
Ответ: а
(
;
).
Задача 2. Найти все значения параметра а, при которых система имеет
единственное решение.
Решение. Выразим а в обоих неравенствах:
Найдём границы областей первого неравенства: а =
Пересечение с осью ох будет в точках:
= 0;
=-2
Найдём границы областей второго неравенства:
=-1
=а
=-1
Пересечение с осью ох будет в точках:
= 0;
Красным цветом обозначена функция
=4
=2
=
= а, синим - а =
Из графика видно, что при а = 0 и а = 1 имеется одна общая точка
пересечения с областью решения системы, то есть при а = 0 и а = 1 система
будет иметь одно решение.
Ответ: а = 0; а = 1.
Задача 3. При каких значениях параметра а множество решений системы
неравенств содержит отрезок [-2; -1] по оси ох?
Решение. Так как множество решений системы неравенств должно содержать
отрезок [-2; -1] по оси ох, следовательно, у = 0, тогда система приобретёт
вид:
Определим границу первого неравенства:
х = - а; х = - 4
а = - х; х = - 4.
Определим границу второго неравенства:
а = 1,5х – 2
Синим цветом обозначен график а = - х, красным - а = 1,5х – 2, чёрным
цветом обозначен график х = - 4.
Находим область решения системы неравенств: для этого подставим в
первое неравенство пробную точку (1; 0), получим 5 > 0, что неверно,
следовательно, решение будет находиться внутри острых углов прямых а = -х
и х = -4.
Подставим пробную точку (1; 0) во второе неравенство, получим – 1 <
0, что верно, значит решение будет находиться выше прямой а = 1,5х – 2.
Множество решений системы содержит отрезок от -2 до -1 оси ох
внутри обозначенного прямоугольника от до .
- это ордината пересечения прямых а = 1,5х – 2 и х = - 1
= - 1,5 – 2 = - 3,5
- это ордината пересечения прямых а = - х и х = - 1
=1
Ответ: а
[- 3,5; 1]
Примеры решения задач геометрическим методом
Задача 1. При каких значениях параметра а система уравнений имеет два
решения?
Преобразуем первое уравнение:
=-
- 12х – 27 =
При у
1)
у=
При у
2)
у=
Преобразуем второе уравнение:
+
=
+
-
+ 12х + 36 = 0
- окружность с центром (-6; 0) и радиусом а.
Построим график функции
=
:
Из графика мы видим, что два пересечения с окружностью
+
= будет тогда и только тогда, когда окружность будет касаться графика
с внешней стороны.
Следовательно, а =
=
9.
Ответ: а = 9.
Задача 2. При каких значениях параметра а система неравенств имеет
единственное решение?
Решение. Преобразуем систему:
Первое неравенство представляет собой окружность с центром (-2; -1)
и радиусом |а|; решение находится внутри неё, так как
должно быть
.
Второе неравенство также является окружностью с центром в точке (4;
7) и радиусом |2a + 3|; решение находится вне окружности, так как
выражение
должно быть
.
Далее возможно несколько случаев.
1 случай. При а = 0 первая окружность вырождается в точку
= 0, отсюда: х + 2 = 0 и у + 1 = 0; х = - 2, у = - 1, проверим,
подставив данные значения во второе неравенство:
100
,
значит значение а = 0 удовлетворяет системе.
2 случай. При а = -
вторая окружность вырождается в точку, тогда
, что выполняется при любых значениях х и у, то есть
неравенство имеет бесконечное множество решений.
Проверим, подставив а = -
в первое неравенство:
- это множество точек внутри и на границе
окружности; оно не удовлетворяет условию.
3 случай. Так как решением окружности с центром (-2; -1) и радиусом
|a| является внутренняя область окружности, а решением окружности с
центром (4; 7) и радиусом |2а+3| является область вне окружности, то одно
решение будет в том случае, если окружность с центром (-2; -1) и радиусом
|a| будет внутри окружности с центром (4; 7) и радиусом |2а+3|, то есть одно
решение системы будет достигаться в том случае, когда окружности будут
иметь одну общую точку внутреннего касания.
К=
+
К, где
= 10,
К = |а|,
К = |2a + 3|, отсюда:
|2a + 3| = 10 + |а|
Ответ: при а = - 13, а = 0, а = 7 система имеет только одно решение.
Заключение
Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и
неравенства с параметром эффективнее решать сведением их к квадратичной
функции, учитывая допустимые значения независимой переменной и
ограниченность этих функций. Системы уравнений и неравенств с
параметром легче поддаются решению и анализу при использовании
функционально-графических методов.
При изучении темы я познакомился с такими понятиями как параметр,
контрольные значения параметра, с общей схемой решения квадратных,
тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений и
неравенств с параметром; научился определять границы функции в
зависимости от параметра, составлял математические модели при решении
задач. Выполняя работу, тем самым я готовлюсь к Единому
Государственному Экзамену и вступительным испытаниям в Высшее
Учебное Заведение; я повысил математическую культуру в рамках
школьного курса математики, а так же приобрёл навыки исследования,
которые пригодятся мне при обучении в ВУЗе.
Список используемой литературы
- Л. Л. Драгилева – «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону
«Феникс» 1997;
- О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Сорокин, Н. Г. Федин «Толковый словарь математических терминов»
- Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Т. В. Колесникова,
Л. О. Рослова – «ГИА-2010. Экзамен в новой форме. Алгебра. 9 класс:
Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения
государственной итоговой аттестации в новой форме
- В. С. Высоцкий – «Задачи с параметрами»
- Корянов – «Задания типа С1-С6. Методы решения».