Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Теоретическая механика»
М.Б. Ботогова
Е.Д. Рафеенко
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Учебно-методическое пособие для студентов
высших технических учебных заведений
Минск 2009
УДК
ББК
Б
Р е ц е н з е н т ы:
А.В. Чигарев, В.А. Акимов
Б
Боготова, М.Г.
Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум: учебно-методическое пособие для студентов высших технических учебных заведений / М.Г. Ботогова, Е.Д. Рафеенко. –
Минск: БНТУ, 2009. – с.
ISBN 978-985-479-992-6.
В пособии представлены традиционные методы решения
уравнений с частными производными, включая и некоторые численные методы. При этом особое внимание уделено методу разделения переменных и методу интегральных преобразований.
В текст издания включено краткое изложение основных теоретических сведений, знание которых необходимо для сознательного решения задач.
Учебно-методическое пособие может быть использовано студентами технических вузов, а также преподавателями в целях
повышения квалификации.
УДК
ББК
ISBN 978-985-479-992-6
© Ботогова М.Г.,
Рафеенко Е.Д., 2009
© БНТУ, 2009
Лабораторная работа № 1
УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Цель: показать, что такое уравнения с частными производными, где и как они возникают и как решаются. Кратко
обсудить способы классификации уравнений и привести перечень основных понятий.
Основные понятия
Уравнения с частными производными – это уравнения,
содержащие частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной, в
уравнениях с частными производными неизвестная функция
зависит от нескольких переменных (например, температура
u(x, t) зависит от координаты x и времени t). Для упрощения
записи воспользуемся следующими обозначениями:
u
u
 2u
ut 
, ux 
, u xx 
, …
t
x
x 2
Некоторые уравнения с частными производными
Одномерное уравнение теплопроводности
ut  u xx .
Двумерное уравнение теплопроводности
ut  u xx  u yy .
Уравнение Лапласа в полярных координатах
1
1
urr  ur  2 u  0 .
r
r
Трехмерное волновое уравнение
utt  u xx  u yy  u zz .
Телеграфное уравнение
utt  u xx  u yy  u .
3
Основные методы классификации уравнений
с частными производными
1. Порядок уравнения.
Порядком уравнения называется наивысший порядок
частных производных, входящих в уравнение. Например:
ut  u xх – уравнение второго порядка;
ut  u x – уравнение первого порядка;
ut  uu xxx  sin x уравнение третьего порядка.
2. Число переменных.
Числом переменных называется число независимых переменных. Например,
ut  u xх – уравнение с двумя переменными x и t.
1
1
ut  urr  ur  2 u – уравнение с тремя переменными
r
r
r , , t .
3. Линейность.
Уравнения с частными производными бывают линейными
и нелинейными. В линейное уравнение зависимая переменная и все ее частные производные входят линейным образом, в частности, они не умножаются друг на друга, не возводятся в квадрат и т.д., т.е. линейными переменными второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида
Au xx  Bu xy  Cu yy  Du x  Eu y  Fu  G ,
(1.1)
где A, B, C, D, E, F, G – константы или заданные функции
независимых переменных x и y. Например:
utt  e t u xx  sin t – линейное уравнение;
uu xx  ut  0 – нелинейное уравнение;
u xx  yu yy  0 – линейное уравнение;
xux  yu y  u 2  0 – нелинейное уравнение.
4
4. Однородность.
Уравнение (1.1) называется однородным, если правая часть
G(x, y) тождественна равна нулю для всех x, y. Если G(x, y) не
равна нулю, то уравнение называется неоднородным.
5. Виды коэффициентов.
Если коэффициенты уравнения (1.1) A, B, C, D, E, F постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами (в другом случае – уравнение с переменными коэффициентами).
6. Три основных типа линейных уравнений.
Все линейные уравнения с частными производными второго порядка вида (1.1) относятся к одному из трех типов:
а) параболический, б) гиперболический, в) эллиптический.
Параболический тип. Уравнения параболического типа
описывают процессы теплопроводности и диффузии и определяются условием B  4 AC  0 .
Гиперболический тип. Уравнения гиперболического описывают колебательные системы и волновые движения и
2
определяются условием B  4 AC  0 .
Эллиптический тип. Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся процессы и определяются условием
2
B 2  4 AC  0 . В случае переменных коэффициентов тип уравнения может изменяться от точки к точке.
Примеры:
А) ut  u xх
Б) utt  u xx
В) uξη  0
B 2  4 AC  0 – параболическое;
B 2  4 AC  4 – гиперболическое;
B 2  4 AC  1 – гиперболическое;
Г) u xx  u yy  0 – эллиптическое;
Д) yu xx  u yy  0
B 2  4 AC  4 y – эллиптическое при y > 0;
параболическое при y = 0;
гиперболическое при y < 0.
5
Задачи
1. Провести классификацию следующих уравнений по всем
признакам
а) ut  u xх  2u x  u ;
t
б) ut  u xх  e ;
в) ut  u xх  3u xy  u yy ;
г) utt  uu xх  e
2. Сколько
t
.
существует
решений
уравнения
ut  u xх ?
Найти решения вида
u( x, t )  eax bt .
3. Если функции u1(x, t) и u2(x, t) удовлетворяют уравнению (1.1), то удовлетворяет ли ему сумма этих функций?
Докажите.
4. Решить уравнение с частными производными
u ( x, y )
 0.
x
5. Найти решения уравнения
 2u ( x, y)
 0.
xу
Сравнить с числом решений обыкновенного дифференциального уравнения
d2y
dx 2
0.
6. Решить уравнения в частных производных:
1.
6
z
 1;
x
2.
2 z
 6y ;
y 2
3.
2z
 1;
xy
4.
4 z
0.
x 2y 2
Лабораторная работа № 2
УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Цель: научиться решать уравнения в частных производных первого порядка.
Линейные уравнения в частных производных 1-го порядка.
Чтобы решить уравнение в частных производных
a1
где
z
z
 ...  an
b,
x1
xn
(2.1)
a1,... an , зависят от x1,... xn , z нужно записать систему ОДУ
dx1
dx
dz
 ...  n 
;
a1
an
b
(2.2)
найти n независимых первых интегралов этой системы:
1 ( x1 ,..., xn , z )  c1,
...............................
n ( x1,..., xn , z )  cn .
(2.3)
Формулы (2.3) – характеристики уравнения (2.1).
Тогда общее решение уравнения (2.1) в неявном виде записывается
F (1, 2 ,..., n )  0 ,
(2.4)
где F – произвольная дифференцируемая функция.
Если требуется найти поверхность z  z ( x, y ) , удовлетворяющую ДУ
7
a1 ( x, y, z )
z
z
 a2 ( x, y, z )  t ( x, y, z )
x
y
(2.5)
и проходящую через данную линию, определяемую уравнениями Fx1( x, y, z )  0 , Fx2 ( x, y, z)  0 , то функция F уже не
будет произвольной, а определяется путем исключения переменных x, y, z из системы уравнений:
Fx1 ( x, y, z )  0, Fx2 ( x, y, z )  0,
1 ( x, y, z )  C1, 2 ( x, y, z )  C2 .
(2.6)
Пример.
Найти общее решение уравнения
xz
z
z
 yz
  xy ,
x
y
(2.7)
а также интегральную поверхность, проходящую через кривую
y  x 2 , z  x3 .
Решение.
Составим систему уравнений
dx dy
dz
dx dy

 ln x  ln y  C1 ,



x
y
xz yz  xy
ln
x
x
x
 C1  y 
;
 C1 ,
y
C1
y
dx dy
dx
dz


 ,
xz yz
z
y
8
(2.8)
x2
C
dx
C dz
 z2  2 ,
  1  xdx  C1zdz  0 , x2  C1z 2  C2 ,
z
x
C1
C1
x
 C1 .
y
xy  z 2  C2 ,
(2.9)
Следовательно, общее решение уравнения (2.7) запишется в виде
x

F  , z 2  xy   0 ,
y

(2.10)
где F – произвольная функция.
Чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через линию (2.8) составим следующую систему:
 xy  x 2  C2 ,

 x y  C1 ,
x
1


C

x

.

1
2
2
C
x
y

x
,
1


2
z  x ,
y  x2 , z  x3 в первое уравнение системы, по1
3
6
лучим x  x  C2 ; так как x 
, то из последнего соотноC1
1
1
шения следует, что
 6  C2 . Учитывая, что C2  xy  z 2 ,
3
C1 C1
Подставляя
C1  x / y , получаем ответ
y3
x
3

y6
x
6
 xy  z 2 .
9
z
График поверхности
z  z ( x, y )
Система двух нелинейных уравнений
первого порядка
Рассмотрим систему
z

 A( x, y, z ), 
x


z
 B( x, y, z ),

y
(2.11)
правые части которой непрерывно дифференцируемы в некоторой заданной точке x0 , y0 , z0  . Это система называется
совместной, если существует функция
z  zx, y  , обращаю-
щая оба уравнения системы (10) в тождества в некоторой
окрестности точки x0 , y0 , z0  . Для того чтобы система (2.11)
имела семейство решений, зависящее хотя бы от одной произвольной постоянной, необходимо и достаточно, чтобы условие
A A
B B

B

A
y z
x z
10
(2.12)
выполнялось тождественно относительно x, y, z в некоторой
окрестности точки
 x0 , y0 , z0  .
Условие (2.12) называется условием полной интегрируемости системы (2.11). Если условие (2.12) выполнено, то
решение системы (2.11) ищется по следующей схеме.
Фиксируя в первом из уравнений (2.12) переменную у и
интегрируя полученное уравнение, найдем
z  ( x, C ( y )) ,
(2.13)
где C ( y ) – произвольная непрерывно дифференцируемая
функция от у. Выбираем C ( y ) так, чтобы функция (2.13)
удовлетворяла и второму из уравнений (2.11). В результате
мы получим
z  zx, y, C  ,
(2.14)
где С – произвольная постоянная.
Уравнения Пфаффа
Рассмотрим уравнения вида
Px, y, z dx  Qx, y, z dy  Rx, y, z dz  0 .
(2.15)
Предположим, что функции P, Q, R непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности заданной точки x0 , y0 , z0 
и хоть одна из них отлична от нуля в этой точке.
Пусть Rx0 , y0 , z0   0 .
Тогда
P
Q

dx  dy, 
R
R


z
z
dz   dx 
dy,

x
y
dz  
11
откуда
так как
z
z
P
Q
dx  dy   dx  dy ,
x
y
R
R
dx и dy независимы, то искомая функция z должна
удовлетворять системе
z
P 
  ,
x
R 

z
Q 
  .
x
R 
(2.16)
Записывая для системы (2.16) условие полной интегрируемости (2.12), придем к уравнению, которое можно преобразовать к виду
 R Q 
 Q P 
 P R 
  Q
  0
P



  R
 z x 
 y z 
 x y 
или
P

x
P
Q

y
Q
R

0.
z
R
(2.17)
Выражение (2.17) – условие полной интегрируемости
уравнения Пфаффа. При выполнении этого условия интегрирования уравнение Пфаффа (2.15) приводится к интегрированию системы (2.16), в результате чего получается
семейство решений вида (2.14), содержащее одну произвольную постоянную.
Нелинейные уравнения
Рассмотрим нелинейное уравнение
F x, y, z, p, q   0 ,
12
(2.18)
где
z  zx, y  – искомая функция p 
z
z
, q
, а F – заx
y
данная функция от своих аргументов.
Семейство решений уравнения (2.18), заданное в виде
V  x, y, z, a, b   0 или z  f  x, y, a, b  ,
где а и b – произвольные постоянные, называется полным
интегралом уравнения (2.18). Нахождение полного интеграла во многих случаях не вызывает затруднений, например:
1) если уравнение (2.18) имеет вид F ( p, q )  0 или
p  (q) , то полагая q  a , где а – произвольная постоянная, получим p  (a ) ; dz  pdx  qdy  (a)dx  ady , откуда
z  (a) x  ay  b – полный интеграл;
2) если уравнение (2.18) может быть приведено к виду
1( x, p)  2 ( y, q) , то, полагая 1( x, p)  2 ( y, q)  a , где а –
произвольная постоянная, и разрешая, если это возможно,
относительно p и q , получим p  y1( x, a) , q  y2 ( y, a) ,
dz  pdx  qdy  y1( x, a)dx  y2 ( y, a) , z   y1( x, a)dx   y2 ( y, a)dy –
полный интеграл;
3) если уравнение (2.16) имеет вид F ( z , p, q)  0 , то, по-
dz dz 

u  ax  y , получим F  z , a ,   0 .
du du 

Интегрируя это уравнение, получим z  Ф(u , a, b) , где b произвольная постоянная, или z  u (ax  y, a, b) – полный
лагая z  z (u ) , где
интеграл;
4) если уравнение
уравнение Клеро:
(2.18)
имеет
вид,
напоминающий
z  px  qy  ( p, q) ,
то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой,
полным интегралом является
z  ax  by  (a, b) .
13
Задание 1
Найти общее решение для каждого из уравнений:
z
z
 x  0;
x
y
1.
y
3.
ex
5.
( x2  y 2 )
7.
x2 z
9.
2x
2.
z
z
 y2
 ye x ;
x
y
( x  2 y)
4.
xy
z
z
 y  0;
x
y
z
z
 x2
 yz ;
x
y
z
z
z
z
 2 xy  z 2  0 ; 6. yz  xz  x  y ;
x
y
x
y
z
z
z
z
 y2z
 x  y ; 8. 2 y 4  xy  x z 2  1 ;
x
y
x
y
z
z
 ( y  x)  x 2  0 .
x
y
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
и проходящую через заданную линию, и построить ее.
14
z
z
 y  0, z  2 x при y  1 ;
x
y
10.
x
11.
2 x
12.
y2
13.
x
z
z
 2 y  x 2  y 2 , y  1 при z  x 2 ;
x
y
14.
x
z
z
 y  z  xy, x  2, z  y 2  1 ;
x
y
z
z
 y  0, z  y 2 при x  1 ;
x
y
z
z
 xy  x, x  0 при z  y 2 ;
x
y
15.
x
z
z
 y  z 2 ( x  3 y), x  1, yz  1  0 ;
x
y
16.
x
z
z
 y  z  x 2  y 2 , y  2, z  x  x 2 ;
x
y
17.
z
z
z
 ( z 2  x 2 )  x  0, y  x 2 , z  2 x ;
x
y
18.
( y  z)
19.
x
20.
y2
21.
( x  z)
22.
xy3
23.
x
z
z
 ( z  x)  x  y, z  y   x ;
x
y
z
z
 ( xz  y )  z, x  y  2 z, xz  1 ;
x
y
z
z
 yz  z 2  0, x  y  0, x  yz  1 ;
x
y
z
z
 ( y  z )  2 z, x  y  2, z  2 x  1 ;
x
y
z
z
 x2 z 2
 y3 z, x   z 3 , y  z 2 ;
x
y
z
z
 y  z  x 2  y 2 , y  2, z  x  x 2 .
x
y
Решить данные системы уравнений:
 z
 x  yz ,
24. 
 z  xz.
 y
 z
2
 x  z ,
25. 
 z  2 yz 2 .
 y
 z
 x  z ,
26. 
 z  e x  y  z.
 y
15
 z z
 z

,
 x x
 x  x sin y,
27. 
28. 

z
2
z
  .
 z  z / x.
 y
y
 y
 z 2 z
 x  x ,
29. 
 z  3 z .
y
 y
2z
 z
 x  x  y ,
30. 
 z  2 z .
 y x  y
Найти поверхности, удовлетворяющие должным уравнениям Пфаффа:


31.
zdx  ( x2  y 2 )2  2 yz dy  ( y 2  x) dz  0 ;
32.
( x2  2 z  x3 ) dx  x3dy  xdz  0 ;
33.
yzdx  xzdy  x2dz  0 ;
34.
yzdx  (e xy  xy) dy  dz  0 ;
35.
2dx 2
( x  y)
 dy 
dz  0 ;
z
z
z
36.
( y 2  z 2  x2 ) dx  xzdy  xydz  0 ;
37.
( y  3x2 ) dx  ( x  y) dy  6 xzdz  0 ;
38. ( x  y ) dx  zdy  xdz  0 ;
39. (2 yz  3x) dx  xzdy  xydz  0 .
16
Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля:
40.
F  (2 x  y) i  (3 y  z ) j  ( x  2 y) k ;
41.
F  (2 xy  3 yz) i  ( x2  3xz) j  3xyk .
Найти полный интеграл уравнения:
42.
pq  x 2 y 2 ;
45. p  sin q ;
43.
z  px  qy  p3q3 ;
46. z  pq  1 ;
48.
4z  p2  q2 ;
50.
p  2zq 2 .
49.
44.
pq  9z 2 ;
47. 2 z  pq ;
z 2 (1  p2  q2 )  R2 ( R  const ) ;
17
Лабораторная работа № 3
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ (КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ)
Цель: классифицировать все уравнения вида:
a11uxx  2a12uxy  a22u yy  b1ux  b2u y  cu  f  0 .
Уравнение называется линейным относительно старших
производных если имеет вид
a11uxx  2a12uxy  a22u yy  F1( x, y, u, ux , u y )  0 ,
(3.1)
где
a11, a12 , a22 – функция от x, y .
Если коэффициенты a11, a12 , a22 зависят не только от x, y,
но и от u , u x , u y , то уравнение называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как
относительно старших производных, так и относительно функции ее первых производных:
a11uxx  2a12uxy  a22u yy  b1ux  b2u y  cu  f  0 , (3.2)
где
a11, a12 , a22 , b1, b2 , c, f – функции только от x, y.
(3.2) – линейное уравнение.
Если коэффициенты в (3.2) не зависят от x, y , то уравнение называется линейным с постоянными коэффициентами.
Уравнение называется однородным, если f ( x, y )  0 .
Введем новые переменные ,  так, чтобы уравнение (3.1)
имело наиболее простую форму. Вычислим вначале частные
производные:
18
u x  uξ  ξ x  uη  η x ;
u y  uξ  ξ y  uη  η y ;
u xx  uξξ  ξ 2x  2uξη  ξ x  η x  uηη  η2x  uξ  ξ xx  uη  η xx ;
(3.3)
u yy  uξξ  ξ 2y  2uξη  ξ y  η y  uηη  η2y  uξ  ξ yy  u y  η yy ;
u xy  uξξ  ξ x  ξ y  uξη (ξ x η y  ξ y η x )  uηη  η x  η y  uξ ξ yy  uηη xy .
Подставим (3.3) в (3.1):
a11u  2a12u  a22u  F  0 ,
(3.4)
где
a11  a112x  2a12 x  y  a222y ;
a12  a11 x x  a12 ( x  y   y  x )  a22 y  y ;
a22  a112x  2a12x  y  a222y .
Наша цель – сделать так, чтобы коэффициенты
a11 и a12
(или
a22 и a12 ) обратились в ноль.
Функция F не зависит от II производной. Если исходное
уравнение F ( x, y, u, ux , u y )  0 линейно, то и уравнение
F (ξ, η, u, uξ , uη )  0 линейно.
Выберем переменные  и  , чтобы
Рассмотрим УЧП I порядка:
a11  0 .
a11z x2  2a12 z x z y  a22 z 2y  0 .
(3.5)
Пусть функция z  u ( x, y ) – любое частное решение уравнения (3.5).
19
Если положить   u ( x, y ) , то
a11  0 , и задача о выборе
новых независимых переменных связана с решением уравнения (3.5).
Лемма 1: Если z  ( x, y ) является некоторым частным
решением уравнения (3.5), то соотношение ( x, y )  с представляет собой общий интеграл ДУ:
a11dy 2  2a12dydx  a22dx 2  0 .
(3.6)
Лемма 2: Если выражение ( x, y )  с представляет собой общий интеграл уравнения (3.6), то функция z  ( x, y )
удовлетворяет уравнению (3.5).
Уравнение (3.6) называется характеристическим для выражения (3.1), а его интегралы называются характеристиками.
Полагая   ( x, y ) , где ( x, y )  с есть общий интеграл
уравнения (3.6), коэффициент при u превращаем в 0.
Если  ( x, y )  с является другим общим интегралом уравнения (3.6), то взяв за новую переменную    ( x, y ) , коэффициент при u становится равным нулю.
Разрешая (3.6) относительно
Знак выражения
dy
, получаем два уравнения
dx
2
dy a12  a12  a11a22
;

dx
a11
(3.7)
2
dy a12  a12  a11a22
.

dx
a11
(3.8)
2
a12
 a11a22 определяет тип дифферен-
циального уравнения в ЧП.
ДУ II порядка в частных производных в точке М будет
называться уравнением гиперболического типа, если
20
2
2
a12
 a11a22  0 ; эллиптического типа, если a12
 a11a22  0 ;
параболического типа, если
2
a12
 a11a22  0 .
В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Для уравнений гиперболического типа
2
a12
 a11a22  0 .
Правые части уравнений (3.7) и (3.8) действительные и
различные. Их общие интегралы ( x, y )  с и  ( x, y )  с
определяет действительное семейство характеристик. Пусть
  ( x, y ) ,    ( x, y ) . Тогда в уравнении (3.4) коэффици-
a11  0 и при a22  0 , это уравнение после деления
на коэффициент 2a12 при u приведется к виду
ент при
u   – каноническая форма уравнения гиперболического типа, где

F
.
2a12
Часто пользуются 2–й канонической формой.
Пусть     ,      . Тогда  


,
, ,  –
2
2
новые переменные.
Найдем


1
1 1
 u 
 u   u   (u  u ) ;


2
2 2

 1
u  u 
 u 
 (u  u );

 2
u
 1
1  1 u 1 u
u 



 u  u  
   2
2  2  2 
u  u 
1

  1 

 
1
1
  u
 u
 u
   u
   u  u .
2

  2 

 
4
4
В результате уравнение (3.4) примет вид
21
u  u  1 – вторая каноническая форма уравнений гиперболического типа. Здесь
1  4 .
2. Рассмотрим уравнение параболического типа.
Из соотношения
2
a12
 a11a22  0 следует, что a12  a11a22 .
Для уравнения параболического типа уравнения (3.7) и (3.8)
совпадают. В результате получаем один общий интеграл
( x, y )  c . Введем следующую замену переменных   ( x, y ) ,
   ( x, y ) – любая функция. При таком выборе переменных имеем
a11  a11 x 2  2a12 x  y  a22 y 2 

a11  x  a22  y

2
 0,
a12  a11a22 .
Рассмотрим a12  a11 xx  a12 ( x y   y x )  a22 y  y . Вме-
т.к.
сто
a12 подставим
a11a22 :
a12  a11 x x  a11 a22 ( x  y   y  x )  a22 y  y .
Сгруппируем ( a11  x  a22  y )( a11  x  a22  y )  a12 . Отсюда следует, что коэффициент
a12  0 .
После деления уравнения (3.4) на коэффициент при u  ,
получим каноническую форму уравнения параболического типа:
u   (, , u , u , u ) .
3. Рассмотрим уравнение эллиптического типа.
2
a12
 a11a22  0 и правые части уравнений (3.7) и (3.8)
комплексны.
22
Пусть ( x, y )  c – комплексный интеграл уравнения (3.7).
 ( x, y )  ( x, y) – общий интеграл сопряженного уравнения (3.8).
Перейдем к комплексным переменным
  ( x, y ),    ( x, y ) .
При этом уравнение эллиптического типа приводится к
тому же виду, что и уравнение гиперболического типа. Для
того чтобы не было комплексной переменной, введем новые
переменные  и  :

  
  
; 
;     i;     i .
2
2
В этом случае
a11  a11ξ 2x  2a12ξ x ξ y  a22ξ 2y  a11 (α x  iβ x ) 2 
2a12 (α x  iβ x )(α y  iβ y )  a22 (α y  iβ y ) 2
Из этого следует, что
a11  a22 ,
a12  0.
Уравнение (4) после деления на коэффициент при
uαα
примет вид.
uαα  uββ  (ξ, η, u, uα , uβ ) – каноническая форма записи
для УЧП эллиптического типа.
Пример
x2uxx  2 yxuxy  y 2u yy  2 xux  0 .
a11  x 2 ;
a12   xy; a22  y 2 . Определим тип уравне-
ния
a122  a11a22  x 2 y 2  x 2 y 2  0 – уравнение параболического
типа.
Составим характеристическое уравнение:
23
x2dy 2  (2 xy)dxdy  y 2dx2  0 .
dx 2 :
dy
dy 2
dy
 z.
x 2 2  2 xy  y 2  0. Введем обозначение
dx
dx
dx
Делим на
2
dy
 dy

x z  2 xyz  y  0   x  y   0  x  y  0.
dx
 dx

Из последнего уравнения следует, что xy  c . Введем замену ξ  xy, η  y .
u x  uξ  ξ x  uη  η x  uξ y  uη  0  uξ y;
2 2
2
u y  uξ x  uη 1  xuξ  uη ;
uxx  (uξξ  ξ x  uξη  ηx )  y  (uξξ  y  uξη  0)  y  y 2  uξξ ;
u y


( xuξ  uη )  (uξ  uξξ  x  uξη  0  uηη  0  uξη  y ) 
x x
x
 uξξ  x  uξη  0  uξξ x  0  uηξ  y  xyuξξ  uξη y  uξ ;
u xy 

u yy  x(uξξ  x  uξη 1)  (uηξ  x  uηη 1) 
 x 2uξξ  uξη  xuηξ  uηη  x 2uξξ  uξη ( x 2  1)  uηη ;
Подставим частные производные в исходное уравнение и
получим
x 2 y 2uξξ  2 xy ( xyuξξ  uξη y  uξ )  y 2 ( x 2uξξ  2uξη  uηη )  2 x ( yuξ );
y 2uηη  0;
uηη  0.
Ответ.
uηη  0.
Привести уравнение к каноническому типу
1.
24
u xx  2u yy  x 2ux  e x
2
/2
;
2.
uxx  2uxy  2u yy  0 .
3.
sin 2 x  uxx  2 y  sin x  uxy  y 2  u yy  0 .
4.
2
 2u
2 u
x
 2 xy
y
0.
xy
x 2
y 2
5.
e2 xuxx  2e x yuxy  e2 yu yy  0 .
6.
uxx  2uxy  4u yy  2ux  3u y  0 .
7.
2
1
x
2
 2u
uxx 
1
y2
u yy  0 .
8.
sin 2 y  uxx  e2 x  u yy  3ux  5u  0 .
9.
uxx  2uxy  2u yy  0 .
10.
x2uxx  y 2u yy  0 .
11.
y 2uxx  x2u yy  0 .
12.
y 2uxx  x2u yy  0 .
13.
4uxx  2uxy  2u yy  0 .
14.
8uxx  6uxy  2u yy  0 .
15.
uxx  2uxy  2u yy  3ux  sin x .
16.
8uxx  6uxy  2u yy  tgx  u .
17.
y 2uxx  x2u yy  u .
18.
e2 xuxx  2e x yuxy  e2 yu yy  ux  u .
1
u 
2 xx
1
u yy  cosx .
x
y2
20. 3uxx  8uxy  3u yy  tgx  u .
19.
25
Лабораторная работа № 4
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ
РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.
Цель: познакомить студентов с мощным методом разделения переменных и показать, как можно воспользоваться
этим методом для решения хорошо известной диффузионной
задачи.
Основная идея метода состоит в разложении начального условия на простейшие компоненты, нахождении отклика системы на каждую простейшую компоненту и последующего суммирования всех откликов. Так можно найти отклик на произвольное начальное условие.
Метод разделения переменных – один из методов решения смешанных задач и применяется, когда:
1. Уравнение является линейным и однородным (не обязательно с постоянными коэффициентами).
2. Граничные условия заданы в виде
αu x (0, t )  βu (0, t )  0,
где , ,  и
γu x (1, t )  δu (1, t )  0,
 – константы (граничные условия, задан-
ные в таком виде, называются линейными однородными
граничными условиями).
Рассмотрим смешанную задачу диффузионного типа:
найти решение
(УЧП)
ut  α2uxx , 0  x  1, 0  t  ,
удовлетворяющее граничным условиям
(ГУ)
u (0, t )  0,
0t 

u (1, t )  0,
и начальному условию
(НУ) u ( x, 0)  ( x), 0  x  1.
Наша цель – найти распределение температуры u ( x, t ) в
последующие моменты времени.
26
Общие принципы метода разделения переменных
Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных – это поиски решений вида
u ( x, t )  X ( x)T (t ),
где X ( x ) – функция, зависящая только от переменной x,
а T (t ) – зависящая только от t. Такое решение является в
каком-то смысле простейшим, поскольку температура
u ( x, t ) , представленная в таком виде, будет сохранять
«форму» профиля в различные моменты времени t.
Рисунок. График функции X ( x ) T (t ) в различные моменты времени t.
Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное число таких решений уравнения с частными производными (которые удовлетворяют граничным условиям). Эти
простейшие функции u ( x, t )  X n ( x)Tn (t ) (называемые фундаментальными решениями) являются как бы элементарными кирпичиками, из которых строится решение нашей
задачи. Решение нашей задачи u ( x, t ) находиться в виде
такой линейной комбинации фундаментальных решений

X n ( x)Tn (t ) , что результирующая сумма  An X n ( x)Tn (t ) удоn1
влетворяет начальным условиям.
Разделение переменных
27
ШАГ 1. (Нахождение элементарных решений уравнения с
частными производными.)
Найдем функцию u ( x, t ) , которая является решением
следующей задачи:
(УЧП)
ut  α2uxx , 0  x  1, 0  t  ,
u (0, t )  0,
0  t  ,

u (1, t )  0,
(НУ) u ( x, 0)  ( x), 0  x  1.
(ГУ)
Будем
искать
решения,
представимые
в
виде
u ( x, t )  X ( x)T (t ).
Для
этого
подставим
выражение
X ( x ) T (t ) в уравнение. В результате подстановки получаем
X ( x)T (t )  α2 X ( x)T (t ).
тоду:
Теперь выполним операцию, присущую данному меразделим обе части последнего уравнения на
α2 X ( x)T (t ) , в результате чего получаем
T (t )
X ( x)

.
α 2T (t ) X ( x)
Про это выражение говорят, что в нем переменные разделены, т.е. левая часть уравнения зависит только от t, а
правая часть – только от x. Так как x и t не зависят один от
другого, то каждая часть этого уравнения должна быть константой. Обозначим эту константу k, тогда
T (t )
α2T (t )

X 
k
X
или
T   kα 2T  0,
X   kX  0.
k  λ 2 , где  не равно нулю (в
Введем обозначение
этом случае выражение –  будет всегда отрицательным). С
учетом нового обозначения для константы разделения два
2
28
обыкновенных дифференциальных уравнения запишутся в
виде
T   λ 2α2T  0,
X   λ 2 X  0.
Общие решения записываются в виде
T (t )  Aeλ α t (А – произвольная постоянная),
X ( x)  A sin(λx)  B cos(λx) (А, В – производные постоян2
2
ные).
Следовательно, функции вида
u( x, t )  eλ α t  Asin(λx)  B cos(λx) .
(где А, В и  – произвольные постоянные) удовлетворяют
2
УЧП ut  α u xx .
2
2
ШАГ 2. (Нахождение решений, удовлетворяющих
граничным условиям.)
Положение сейчас таково: у нас есть бесконечное
множество решений исходного уравнения, но не все они
удовлетворяют граничным или начальным условиям. Следующий шаг состоит в выборе такого подмножества решений
вида
eλ α t  A sin(λx)  B cos(λx) ,
2
2
которое удовлетворяет граничным условиям
u (0, t )  0,
0  t  ,

u (1, t )  0.
Чтобы
это
сделать,
подставим
решения
eλ α t  A sin(λx)  B cos(λx) в граничные условия. В результа2
2
те получаем
u (0, t )  Be λ α t  0  B  0,
2
2
u (1, t )  Ae λ α t sin λ  0  sin λ  0.
2
2
Второе граничное условие накладывает ограничение на
возможные значения константы разделения λ: она должна
29
быть
корнем
λ n  nπ,
уравнения
sin λ  0 .
Следовательно
n  1, 2...
Итак, мы закончили выполнение второго шага и располагаем
бесконечным
набором
функций
un ( x, t )  e (πnα) t sin(πnx),
2
n  1, 2...
ШАГ 3. (Нахождение решения, удовлетворяющего уравнению, граничным и начальным условиям.)
Последний шаг заключается в нахождении такой суммы фундаментальных решений

u ( x, t )   Ane( nπ) t sin(nπx),
2
n1
т.е. в подборе таких коэффициентов
An , что функция бу-
дет удовлетворять начальному условию
u ( x, 0)  ( x) .
Подстановка суммы в начальное условие дает

( x)   An sin(nπx).
n1
Это уравнение приводит нас к интересному вопросу:
можно ли начальную температуру ( x) разложить в ряд по
элементарным функциям вида
A1 sin(πx)  A2 sin(2πx) A3 sin(3πx) …
Положительный ответ на этот вопрос дал французский
математик Жозеф Фурье. Оказалось, что для достаточно хороших функций такое разложение возможно. Тогда возникает новый вопрос: как найти коэффициенты разложения An ?
Итак, мы хотим найти коэффициенты в разложении
( x)  A1 sin(πx)  A2 sin(2πx)  A3 sin(3πx)  ...
Умножим обе части этого соотношения на sin(mx) и проинтегрируем от нуля до единицы. В результате получаем
1
1
0
0
2
 ( x)sin(mπx)dx  Am  sin (mπx)dx 
30
Am
2
(все остальные слагаемые обратились в нуль, благодаря
ортогональности). Решая уравнение относительно Аm, получаем
1
Am  2 ( x)sin(mπx)dx .
0
Таким образом, мы получили, что решение записывается
в виде

 nπα t
u ( x, t )   Ane   sin(πnx) ,
2
где
коэффициенты
n1
Am
определяются по формулам
1
Am  2  ( x) sin(mπx)dx .
0
Пример выполнения задания в Mathcad.
31
Графики температуры в различные моменты времени.
32
0.8
U ( x 1)
U ( x 0)
0.6
F ( x)
U ( x 10)
0.4
U ( x 100)
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1.
Задания
что
Покажите,
λ 2 2t
u( x, t )  e
 A sin  λx   B cos  λx 
нию уравнения
функции
вида
удовлетворяют
реше-
ut  α2uxx при произвольных значениях А,
В, .
1
2.
Покажите, что
 0,
 sin  mπx  sin  nπx  dx  1/ 2,
0
m  n,
m  n.
УКАЗАНИЕ. Использовать тождество
sin  mx  sin(nx) 
1
cos((m  n) x)  cos( m  n  x)  .
2
3. Найдите разложение в ряд Фурье по синусам функции ( x )  1 на отрезке [0,1]. Постройте график первых
трех-четырех членов разложения.
4. Используя результаты решения задачи 3, найдите
решение следующей смешанной задачи:
ut  u xx ,
(УЧП)
0  x  1,
33
(ГУ)
u  0, t   0,
0<t<,

 u 1, t   0,
(НУ)
u ( x, 0)  1 ,
0  x  1.
(Отметим, что эта задача физически бессмысленна, поскольку подразумевается, что температура на концах
стержня мгновенна уменьшается от единицы до нуля. В
большинстве задач, если, заданы нулевые граничные усло-
( x) должна обращаться
вия, то и начальная температура
в ноль при х=0 и х=1.)
5. Найти решение задачи 4, если начальное условие задано в виде
1. u ( x, 0)  sin(2πx) 
1
1
sin(4πx)  sin(6πx) ;
3
5
1
sin(2πx) .
8
1
3. u ( x, 0)  sin(πx)  sin(3πx) ;
3
1
1
4. u ( x, 0)  sin(2πx)  sin(4πx)  sin(6πx) ;
3
5
2
5. u( x,0)  x  x ;
6. u ( x, 0)  x ;
2. u ( x, 0) 
7.
u( x,0)  x2 ;
u( x,0)  e x  1 ;
11. u ( x, 0)  x  sin(πx) ;
u( x,0)  x3  x ;
13.
u( x,0)  x2  sin(2πx) ;
15.
u( x,0)  x3 ;
u( x,0)  e x  x ;
12. u ( x, 0)  1  cos(πx) ;
1
1
14. u ( x, 0)  x  sin(5πx) ;
3
5
2x
16. u ( x,0)  e ;
17.
u( x,0)  e3x 1 ;
18.
u( x,0)  e2 x  1 ;
19.
u( x,0)  e2 x  x ;
20.
u( x,0)  e x  x2 .
9.
34
8.
10.