УДК 519.6: 631.616 МОДЕЛЬ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ В УСЛОВИЯХ РАБОТЫ ДРЕНАЖА

УДК 519.6: 631.616
МОДЕЛЬ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ В УСЛОВИЯХ РАБОТЫ ДРЕНАЖА
Н.М. Кащенко*
Российский государственный университет им. И. Канта,
236014, г. Калининград, ул. А. Невского, д. 14, Россия
E-mail: [email protected]
*
Рассмотрена модель фильтрации в дренажной системе, учитывающая аномальность диффузионного закона влагопереноса в почве.
математическое моделирование, аномальная диффузия, фрактальная геометрия, уравнения в
частных дробных производных, фильтрация
ВВЕДЕНИЕ
Учет фрактальных свойств при исследовании пространственной вариабельности почв позволяет более точно моделировать фильтрационные процессы и
водоудерживающую способность неоднородных почв, в том числе в условиях работы дренажной системы. Почвы имеют фрактальные свойства благодаря непрерывному спектру размеров пор с диапазоном от десяти и более раз. Это подтверждается данными рис. 1, на котором приведен пример распределения пор по диаметрам. Числовые метки у кривых распределения соответствуют глубине залегания определенных слоев почвы.
Рис. 1. Пример распределения пор по диаметрам
На рис. 2. приведены результаты численного моделирования двухмерного
фрактального радиального растекания жидкости для разной длительности процесса. Длительности относятся как 1 : 3 : 9. Обработка результатов этого численного
эксперимента выявляет эмпирическую зависимость:
S  constR,   1,700,10,
(1)
где S – площадь; R – радиус минимальной описанной окружности. Метрическая размерность этих множеств, вычисленная в диапазоне от минимального
моделируемого размера до R, приблизительно равна 1,7 (что совпадает с показателем  в формуле (1)).
Рис. 2. Численная модель фрактального радиального двухмерного растекания
жидкости для разной длительности процесса (отношение времен 1 : 3 : 9)
Если пространственное варьирование какого-либо почвенного свойства
фрактально по самой своей природе, методы традиционного моделирования могут
давать неприемлемые погрешности при его описании. Для учета этой фрактальной природы необходимо использовать математические модели, корректно описывающие такие свойства.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Дренажная система, моделируемая в работе, представляет собой набор горизонтальных дренажных трубок, расположенных параллельно друг другу на некоторой глубине, при этом с одной или двух сторон эти трубки имеют сток в водоотводящую сеть каналов. Обычно для моделирования процессов фильтрации в
пористых средах используется уравнение Букингема – Ричардса [1,2]:
∂θ/∂t =  (D*(θ)  θ) - ∂k*(θ)/∂z.
(2)
Для ненасыщенной зоны это уравнение перепишем через потенциал:

   h  
  x , y ( k x , y ( h ))   k   1   F  Q ,
(3)
t
z   z

где  – влажность; h – потенциал; F, Q – источники и потери влаги; k – коэффициент диффузитивности, нелинейно и неоднозначно зависящий от потенциала и его градиента. Пример такой зависимости дается формулой:
k = exp(18,6 – 11,5 – 2,3(exp(3,00 – 51) – exp(2,85 – 62))2).
График этой зависимости показан на рис. 3.
Рис. 3. График зависимости k от 
Уравнение Ричардса (3) описывает движение влаги в пористой среде (при
 d ( h ) h
h

 C( h ) , уравнение (3)
z, направленном вверх). Учитывая, что
t
dh t
t
можно записать в следующем виде:
C( h )
h

 h   F  Q
,
  x , y ( k( h ) x , y ( h ))   k( h )  1  
t
z 
z0
 z  
(4)
где F – источники (осадки, приток и др.); Q – потери (сток, испарение и
др.); z0 – толщина распределения источников и потерь.
Для коэффициента диффузитивности (влагопроводности) в модели была
использована одна из эмпирических зависимостей, применяемых на практике при
решении задач фильтрации, которая имеет вид: k(h) = kfeh при h<0 и k(h) = kf при
h0, где kf – коэффициент фильтрации;  – эмпирический параметр. Зависимость
влажности  от потенциала имеет вид: (h) = (s – r)eh + r при h<0 и (h) = s
при h0, где s – максимальная влажность; r – минимальная влажность.
Численные эксперименты с моделью (4) в условиях работы дренажных систем показывают несоответствие рассчитанных профилей уровней грунтовых вод
(УГВ) в поперечном к дренам направлении экспериментальным исследованиям.
Для решения этой проблемы в работе предлагается использовать уравнения, описывающие аномальность диффузии в процессах фильтрации воды. Термин «аномальная диффузия» обозначает процессы переноса на «самоподобных» структурах, характеризующиеся нестационарным распределением частиц в пространстве,
где расстояние r , которое прошла частица за время t, растет по закону
r 2  2 D  t  ,  = 1 для классического закона диффузии и   1 для аномальной
диффузии. Естественным математическим аппаратом описания процессов такой
диффузии являются уравнения в частных дробных производных [3]. При этом в
реальных задачах порядок дифференцирования не известен, следовательно, необходимо дополнительно ставить задачу нахождения вида уравнения аномальной
диффузии, связанного со значением коэффициента  [3,4]. Дифференциальный
интеграл Римана-Лиувилля – наиболее удобная формула для дробной производной. Она является обобщением до произвольного порядка формулы повторного
интегрирования Коши:
t
1
dn
q
D[  ,t ] f (t ) 
(t   ) n  q 1 f ( )d .
n 
Г (n  q) dt  
q
[, t ]
D
В этой формуле n выбирается так, чтобы интеграл сходился. Оператор
обладает свойствами линейности D[q,t ] (ax)  aD[q,t ] ( x) ,
D[q,t ] ( x  y)  D[q,t ] ( x)  D[q,t ] ( y) и полугрупповым свойством
D[q,t ] D[p,t ] ( x)  D[q p,t ] ( x) .
Модифицированное с учетом аномальной диффузии уравнение (4) принимает вид:
C * ( h )D[q ,t ] h   x , y ( k( h ) x , y ( h )) 

 h   F  Q
, (5)
 k( h )  1  
z 
z0
 z  
q
где D[
,t ] – оператор дробного дифференцирования с параметром q. При
этом для q = 1 получается уравнение (4), а для q = 2 - волновое уравнение. В численных экспериментах использовалось одномерное приближение модели (5) с координатой, направленной перпендикулярно дренажным трубкам. Это приближение допустимо вдали от концов дренажных труб. Для решения уравнения (5) в
этом приближении применялся конечно-разностный метод с использованием
прямоугольной равномерной сетки. Для аппроксимации правой части уравнения
применена обычная неявная аппроксимация второго порядка точности по пространственным переменным. Для аппроксимации оператора дробного дифференцирования порядка q использовалась разностная схема первого порядка точности:


Dtqu    q u0  C1qu1  C2qu 2  ...  Cnqu n  ... ,
(6)
nq
, n  1 . При этом для коэффициентов схемы
n 1
n
верно равенство Cnq  Cnq1  ...  Cnq . Аппроксимация (6) приводит к монотонной
q
разностной схеме при 0<q1 и к немонотонной схеме при q > 1. Для устранения
погрешности замены ряда (6) на конечную сумму разностные коэффициенты,
начиная с некоторого места, приближаются геометрической прогрессией. Полученные разностные уравнения решались с использованием классической прогонки и итераций по нелинейности.
где C1q  q, Cnq1  Cnq
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Численные эксперименты c предложенной моделью показали, что она дает
при q<1 более реалистичные по сравнению с исходными уравнениями профили УГВ,
что иллюстрируется рис. 4. В частности, максимальное различие УГВ, соответствующее этому расчету, составляет 0,12 м. При этом среднеквадратичное значение разностной производной 3-го порядка для расчета с дробной производной в 2,1 раза
больше, чем с классической производной, т.е. ее форма сильнее отличается от параболической, что соответствует экспериментальным данным.
Рис. 4. Профили УГВ для 12 ч процесса с обычной производной по времени (сплошная
линия) и с учетом дробной производной по времени для q = 0,3 (штриховая линия)
На рис. 3 минимумы соответствуют положению дренажных трубок. Моделирование осуществлялось при следующих условиях: расстояние между дренажными трубками 10 м, глубина заложения дренажа 1,2 м, глубина водоупора 2 м,
коэффициент фильтрации почвы 1,1610-5 м/с, в начальный момент времени почва
полностью насыщена. Коэффициент водоотдачи 0,1 для обычной производной и
подбирался для дробной производной по совпадению максимумов УГВ с расчетами для обычной производной.
ВЫВОД
Применение фрактальной модели фильтрации почвы приводит к более пологой форме поперечного дренам сечения УГВ, что соответствует экспериментальным данным и после эмпирического подбора параметров q и коэффициента
водоотдачи  позволяет более точно моделировать работу дренажной системы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород / Н.Н.
Веригин, С.В. Васильев, В.С. Саркисян, Б.С. Шержуков. -М.: Недра, 1997. -С. 271.
2. Иксанов Р.Г. Задача Стефана о впитывании влаги в почву //Сборник
научных трудов МГУП. - М., 2004. - С. 155-160.
3. Беданокова С.Ю. Математическое моделирование солевого режима почв
с фрактальной структурой // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.
2007, 2(15).- С.102–109.
4. Мейланов Р.П., Свешникова Д.А., Шахбанов О.М. Метод дифференциальных уравнений дробного порядка в описании кинетики сорбции // Журнал физической химии.- 2003.- Т. 77.- №2.- С.260–264.
MODEL OF ABNORMAL DIFFUSION IN DRAINAGE WORKING
CONDITIONS
N.M. Kaschtschenko
A model of the filter in the drainage system, taking into account the anomalous diffusion law
moisture transfer in soil.
mathematical modeling, anomalous diffusion, fractal geometry, partial differential equations of fractional
derivatives, filtering