Примеры решения задач контрольного задания

1
Примеры решения задач контрольного задания
Задача 1: Определить показатель Рс надежности ИС, содержащей 4 элемента и
имеющей следующую ССН:
Р
Р
Р3
Р1
Р
Р
Р2
Р4
Решение. Поскольку в ИС элементы 1 и 3 соединены последовательно в смысле
надежности (отказ любого элемента приводит к отказу всей этой цепочки элементов),
то показатель их общей надежности Р13=Р1*Р3 (принцип “ цепь не крепче ее
наислабейшего звена”). Аналогично Р24=Р2*Р4. Теперь эквивалентная ССН ИС
содержит 2 элемента и имеет следующий эквивалентный вид:
Р
Р13
Р
Р24
Поскольку элементы 13 и 24 соединены параллельно в смысле надежности
(отказ одного из них не приводит к отказу всей ИС, т.к. другой элемент остается
работоспособным, принцип “ сеть крепче ее сильнейшего звена”), то показатель их
общей надежности Рс = 1 – Qс, где Qс – показатель "ненадежности" ИС
(соответственно вероятность отказа ИС за заданное время, функция распределения
отказов, коэффициент простоя и т.д.). [Всегда Рс + Qс ≡ 1]. Показатель системы Qс =
Q13*Q24 , где Q13,Q24 – показатели "ненадежности" (например, вероятность отказа) ее
элементов 13 и 24 (система откажет, если откажет и элемент 13, и элемент 24).
Очевидно, что Q13= 1 – Р13, а Q24= 1 – Р24. Таким образом, окончательно имеем
Рс = 1 – Qс = 1 – Q13*Q24 = 1 –(1 – Р13) * (1 – Р24) =1 – (1 – Р1*Р3) * (1 – Р2*Р4).
(П1)
Определить для указанной выше ИС вероятность безотказной работы Рс за
заданное время, если вероятности безотказной работы ее элементов за это время
составляют Р1= 0.9, Р2= 0.8, Р3= 0.9, Р4= 0.8.
Решение. Используя формулу (П1), имеем Рс = 1 – (1 – 0.81) * (1 – 0.64) =
= 1 –0.19 * 0.36 = = 1 – 0.0684 = 0.9316.
[При подготовке к зачёту самостоятельно подготовьтесь к решению задач по
оценке надежности ИС по их структурным схемам надежности при различном числе
элементов ИС (N=2,3,4,5)].
.
2
Задача 2: Поток отказов ИС подчинен закону Пуассона с параметром =0.0001
1/час. Определить вероятность того, что за время с момента начала работы в течение
t1 час ИС будет работоспособна, а в течение t2 час в ней не будет более N отказов.
Пусть задано t1 = 1000 час; t2 = 1 год; N = 2.
Решение. В соответствии с законом Пуассона вероятность возникновения ровно К
отказов за время t при простейшем потоке отказов с параметром  определяется
следующей формулой:
(t ) к
Pк (t ) 
exp( t ) .
к!
(П2)
Следовательно, вероятность того, что за время с момента начала работы в
течение 1000 час ИС будет работоспособна (число отказов К =0), равна:
P0 (1000) 
( *1000) 0
1
exp(  *1000)  exp( 0.0001*1000)  exp( 0.1)  0,905.
0!
1
Аналогично за время t2 = 1 год = 8760 час имеем:
Ро(8760)= exp(–0.0001*8760)  exp( 0.876)  0,416.
В случае К =1 в соответствии с (П2) определим Р1(8760):
P1 (8760) 
( * 8760)1
0.876
exp(  * 8760) 
exp( 0.876)  0,876*0,416 ≈ 0,364.
1!
1
При К =2 в соответствии с (П2) определим Р2(8760):
( * 8760) 2
0.876
exp(  * 8760) 
exp( 0.876)  0,384*0,416 ≈ 0,160.
2!
2
2
P2 (8760) 
Таким образом, вероятность того, что за время с момента начала работы в
течение 1 года в ИС будет не более 2 отказов (число отказов К = 0,1 ,2), равна:
Рк<3(1 год) = Р0,1,2(8760) = Р0(8760) + Р1(8760) + Р2(8760) ≈ 0,416+0,364+0,160 ≈ 0,940.
Выводы: 1. В 1000 ИС через 1000 час отказ произойдет в среднем в 95 ИС (1000905=95), а за 1 год – в 584 ИС (1000-416=584).
2. В течение 1 года из 1000 ИС в 940 ИС произойдет в среднем не более
2 отказов.
Задача 3: Функция надежности интерфейса ИС подчинена показательному
закону с параметром  = 10-4 час-1. Определить показатели ее надежности: плотность
распределения наработки до отказа, вероятность безотказной работы за 10000 час и
за 1 год, среднюю наработку до отказа.
Решение. Пусть задано: интенсивность отказов  = 10-4 час-1, t = 104 час, N = 1 год.
Плотность распределения наработки
определяется по формуле
до
f(t) =  (t).p(t),
отказов
f(t)
в любых
случаях
(1)
где p(t) – функция надежности интерфейса ИС.
Поскольку по условию  = const, то отказы интерфейса ИС имеют характер
внезапных (период нормальной эксплуатации ИС), для таких отказов функция
надежности интерфейса ИС
p(t) = e
–t
3
.
(2)
Следовательно, плотность распределения наработки до отказов интерфейса ИС
соответствии с (1) и (2) определяется как
f(t) = .exp(–t) = 10-4exp(–10-4 .t).
(3)
График зависимости плотности распределения наработки до отказов от времени
эксплуатации интерфейса ИС f(t) имеет следующий вид:
{далее необходимо представить указанный выше график}.
Вероятность безотказной работы интерфейса ИС за 10000 час соответствии с
(2) определяется как
Р0(10000 час) = p(t =10000) = e–*10000 = exp(–10-4 .10000) = exp(–1) ≈ 0,368.
(4)
{значение exp(х) можно определить с помощью программного средства Excel}.
Вероятность безотказной работы интерфейса ИС за 1 год Р0(8760 час)
определяется аналогично (4), а именно
Р0(8760) = p(t =8760) = e–*8760 = exp(–10-4 .8760) ≈ 0,416.
Поскольку по условию  = const (отказы интерфейса ИС имеют характер
внезапных), то средняя наработка интерфейса ИС до отказа
Тср = 1/ = 1/10-4 = 10000 час.
Выводы: 1. Вероятность безотказной работы интерфейса ИС за 10000 час
составляет около 0,368, а это означает, что в среднем через 10000 час из 1000
интерфейсов ИС откажет около 662 (1000–368=662).
2. В течение 1 года из 1000 ИС не откажет около 416, а откажет около
584 (1000 – 416 = 584).
3. Средняя наработка интерфейса ИС до отказа составляет около 10000
час или приблизительно 1,14 года.
Задача 4: В офисе размещено N рабочих станций (РС) сети, на которых
постоянно должны работать N операторов. Сколько РС необходимо иметь в резерве,
чтобы обеспечить непрерывную работу операторов с заданной вероятностью Рзад = 0.3
в течение времени t0, если интенсивность отказов каждой РС =const.
Решение. Пусть задано: интенсивность отказов рабочей станции (РС)
вычислительной сети  = 10-4 час-1, заданное время t0 = 104 час, N = 3. Поскольку по
условию задачи 3 РС должны работать постоянно (т. е. отказ любой РС приводит к
отказу такой системы), структурная схема надежности (ССН) системы имеет
следующий вид:
1 РС
2 РС
3 РС
Чтобы обеспечить непрерывную работу такой системы с заданной
вероятностью, учитывая идентичность всех РС, целесообразно
использовать
скользящее резервирование (замещением отказавших РС резервными). В этом случае
ССН резервированной системы имеет следующий вид:
4
1 РС
2 РС
3 РС
Основная система
1 РС
. . .
Резервные РС
М РС
Необходимо определить такое число М резервных РС, при
котором
обеспечивается непрерывная работа операторов в вычислительной сети с
вероятностью Рс = 0.3 в течение времени t0= 104 час.
В случае скользящего резервирования вероятность безотказной работы системы
за заданное время t0 определяется по формуле [9]:
к М
Рс(t0) =  С Nк  M Qк(t0) PМ+N–к(t0) ,
(1)
к 0
где С УХ – число сочетаний из Х по У
С УХ = Х!/(У!(Х–У)!);
(2)
N и М – число соответственно основных и резервных элементов системы (в данном
случае N=3, а М=?); Q(t0) – вероятность отказа одного элемента основной системы
(т. е. РС) за заданное время t0; P(t0) – вероятность безотказной работы одного элемента
основной системы за заданное время t0. Очевидно P(t0) + Q(t0) ≡ 1.
Поскольку по условию задачи =const, то отказы в системе внезапные. В таком
случае P(t0) = e–t0 = exp(–10-4*104) = exp(–1) = 0.368, а Q(t0) = 1– P(t0) = 0.632.
{значение exp(х) легко определить с помощью встроенной функции ТП Excel }.
Пусть М=0, тогда в соответствии с (1) и (2) Вероятность безотказной работы
основной системы Рс (t0) = С30 Q0(t0) P3(t0) = 3!/(0!3!)*1*0.3683 = 1*1*0,050 = 0,050, что
меньше заданной вероятности Рзад.
{для вычислений используйте возможности и встроенные функции ТП Excel }.
Пусть М=1, тогда в соответствии с (1) и (2) Вероятность безотказной работы
резервированной (кратность резервирования 3:1) системы Рс (t0) = С40 Q0(t0) P4(t0) +
+ С 41 Q1(t0) P3(t0)= 4!/(0!4!)*1*0.3684 + 4!/(1!3!)*0.632*0.3683 = 1*1*0,018 + 4*0.632*
*0,050 = .... = 0,144, что меньше заданной вероятности Рзад.
Пусть М=2 (кратность резервирования 3:2), тогда аналогично Рс (t0) = С50 Q0(t0)*
*P5(t0) + С 51 Q1(t0) P4(t0) + С 52 Q2(t0) P3(t0) = 1*1*0.3685 + 5!/(1!4!)*0.632*0.3684 +
+5!/(2!3!)*0.6322*0.3683 = 1*1*0,007 + 5*0.632*0,018 + 10*0,399*0,050= .... = 0,263,
что меньше заданной вероятности Рзад.
5
Пусть М=3 (кратность резервирования 3:3), тогда аналогично Рс (t0) = ... =
=0,003 + 0,027 + 0.108 + 0,252 = 0,389, что соответствует заданной вероятности Рзад.
Вывод: при использовании 3 резервных рабочих станций по схеме
скользящего резервирования (с возможностью замещения любой из 3 отказавших
основных рабочих станций резервной) обеспечивается непрерывная работа операторов
в вычислительной сети с вероятностью 0.3 в среднем в течение 10 тысяч часов.
Задача 5: Определить вероятность того, что к моменту t0 (час) с начала работы
информационной системы (ИС) с кратность резервирования 1:N она останется
работоспособной, если поток отказов ИС подчинен закону Пуассона с параметром
=0.0002 час-1.
Решение. Пусть задано: t0= 1 год = 8760 час, N=3. Кратность резервирования
1:N при N=3 означает, что на одну основную ИС приходится 3 резервных. Т.е. такая
резервированная ИС останется работоспособной, если к моменту t0 число её отказов
равно 0, 1, 2, 3. {далее внимательно ознакомьтесь с решением задачи 2 и воспользуйтесь
формулой (П2). В соответствии с ней : }
Искомая вероятность Рк<4(t0) = Р0(t0) + Р1(t0) + Р2(t0) + Р3(t0) =
3
3
(t ) к
(t ) к
(t ) к
exp( t )  exp(– λt) 
 exp(–0.0002*8760) 

к!
к!
к!
к 0
к 0
к 0
3
(t ) к
= exp(–1.752) 
 exp(–1.752) (1/0! + 1.752/1! +1.7522/2! +1.7523/3! ) =
к
!
к 0
3

= 0.17343*(1 + 1.752 +1.53475 + 0.89630) = 0.17343*5.18305 = 0,89888.
Вывод: Вероятность того, что в ИС, резервированной с кратность 1:3 с
параметром потока отказов 0.0002 час-1, к моменту t0 = 1 год составляет около 0,9.
Это означает, что за 1 год из 10 подобных ИС в среднем откажет одна, а 9 будут
работоспособны.
Задача 6: ИС состоит из 6 частей, отказ любой из них приводит к отказу всей
ИС. Определить в течение какого времени ИС проработает безотказно с заданной
вероятностью Рзад=0.9, если распределение наработок всех частей
до отказа
подчинено экспоненциальному закону, а средние наработки частей до отказа равны
350, 480, 520, 670, 770, 1100 час.
Решение. Поскольку отказ любой из частей ИС приводит к отказу всей ИС, то
функция надёжности ИС выражается формулой рс(t) =
6

р i (t).
i 1
Так как распределение наработок Тi (i=1, ..., 6) всех частей ИС до отказа
подчинено экспоненциальному закону, то интенсивности отказов всех частей ИС
постоянны (ИС теоретически находится в периоде нормальной эксплуатации, когда её
отказы имеют характер внезапных). В этом случае i(t) = const = 1/Тi, а функции
надёжности частей ИС выражаются формулой р i(t) = exp(– it).
Тогда рс(t) =
6

i 1
exp(–it) = exp(–1t – ...–6t) = exp(–Λt), где суммарная
6
интенсивность отказов всех частей ИС равна Λ =
6

i=
i 1
6

1/Ti = ...
i 1
{ вычислить её самостоятельно }.
По условию задачи Рзад = 0.9 = рс(t) = exp(–Λt). В этой формуле неизвестно
только время t, которое необходимо определить.
Прологарифмируем её обе части, тогда получим выражение ln0.9 = –Λt. Искомое
время t = –ln0.9/Λ = ....
{ вычислить его самостоятельно. Например, с помощью встроенной функции Excel }.
Вывод: ИС проработает безотказно с заданной вероятностью Рзад = 0.9 в течение
времени { указать искомое время t }. Это означает, что в течение этого времени в
среднем из 10 ИС одна ИС откажет, а 9 ИС останутся в работоспособном состоянии.
Задача 7: Поток отказов ИС простейший. ИС состоит из 6 частей, отказ любой
из них приводит к отказу всей ИС. Определить кратность постоянного общего
резервирования ИС, которая обеспечивает ее безотказную работу в течение времени t
часов (пусть t = 1 год = 8760 часов) с заданной вероятностью Рзад (пусть Рзад = 0.9) ,
если средние наработки частей на отказ равны 5000, 3700, 4500, 8600, 9700, 12000
час.
Решение. { тут уж без ТП Excel никак не обойтись !!!}. Поскольку поток отказов
ИС простейший (один из атрибутов простейшего потока отказов – это стационарность)
{ вспомните учебную дисциплину «Основы теории массового обслуживания» }, то потоки
отказов всех частей ИС тоже простейшие и их интенсивности i = const. То есть
теоретически ИС находится в периоде нормальной эксплуатации, когда её отказы
имеют характер внезапных. В этом случае i(t) = i = 1/Тi, а функции надёжности
частей ИС выражаются формулой рi(t) = exp(–it).
Поскольку по условию задачи отказ любой из частей ИС приводит к отказу всей
ИС (структурная схема надежности системы имеет вид последовательного соединения
всех её частей), то функция надёжности ИС в целом (основной системы – ОС)
рос(t) =
6

i 1
6
рi(t) =  exp(–it) = exp(–1t – ...–6t) = exp(–Λt),
i 1
где суммарная интенсивность отказов всех частей ИС равна
Λ=
6

i 1
i=
6

1/Ti = ....
i 1
{ вычислить её самостоятельно }.
Вероятность безотказной работы основной ИС (ОС) за заданное время tо =
8760 часов выражается формулой
Рос(tо) = exp(–Λ tо) = ...
(1)
{ вычислить её самостоятельно }.
Структурная схема надежности системы (ССН) при постоянном общем
резервировании ИС имеет следующий вид:
7
0 ИС
Основная система
1 ИС
Резервные системы
N ИС
Необходимо определить число N резервных ИС. При параллельном соединении
элементов в ССН функция надёжности резервированной системы ррc(t) = 1 – qрc(t) =
=1–
N

i 0
qi(t) = 1 –
N
 [1 – pi(t)], где pi(t) – функция надёжности одной системы. А так
i 0
как все ИС (основная и резервные) идентичны (все pi(t) = рос(t)), то
ррc(t) = 1 – [1 – pос(t)]N+1.
(2)
Вероятностью безотказной работы резервированной ИС за заданное время t0 в
соответствии с формулами (2) и (1) и условием задачи равна
Ррс(t0)= 1 – [1 – Рос(t0)]N+1 = Рзад = 0,9.
Или 1 – [1 – Рос(t0)]N+1 = 0,9. Или [1 – Рос(t0)]N+1 = 0,1.
Прологарифмируем обе части последнего уравнения, тогда получим выражение
(N+1)*ln [1 – Рос(t0)] = ln 0,1 = – 2,303.
Откуда следует, что N ≥ – 2,303 / ln [1 – Рос(t0)] – 1 = ...
{ вычислить самостоятельно. Самостоятельно принять решение по определению числа
резервных систем, имея в виду, что N должно быть целым числом }.
Вывод: Для обеспечения вероятности безотказной работы ИС Рзад=0.9 в течение
заданного времени tо = 8760 часов достаточно использовать кратность постоянного
общего резервирования ИС 1:N { указать вычисленное число N }.