Проект. - Информатика

Соревнование молодых исследователей
«Шаг в будущее» в Северо-Кавказском федеральном округе,
г.Ставрополь
2 А - ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Выполнил ученик 7 Б класса
МОУ СОШ № 1 с.Новоселицкого
Ставропольского края
Хаустов Сергей Сергеевич
Руководитель проекта учитель информатики
Мария Викторовна Прокуда
с. Новоселицкое, 2012
1
Тайна Куба Йошимото
Содержание
1. Обоснование проекта………………………………………………….. стр. 3
2. Цели и задачи проект…………………………………………………… стр. 3
3. История головоломок ………………………………………………….. стр. 3
4. Интрига куба Иошимото……………………………………………….. стр.6
5. О трехмерном пространстве…………………………………………… стр.6
6. Технология создания куба……………………………………………… стр.8
7. Экономическое обоснование проекта………………………………… стр.11
8. Вывод……………………………………………………………………. стр.11
9. Итог проекта……………………………………………………………… стр.11
10. Интернет ресурсы………………………………………………………. стр.12
11. Приложение. Словарь ………………………………………………… стр.13
2
Обоснование проекта
Как и всякий современный школьник 21 века я люблю «зависать» в Интернете, особенно мне нравятся
образовательные ресурсы. На одном из таких ресурсов я увидел видео о том как сделать головоломку.
Немного посидев на ней, я сделал себе такую игрушку, мне захотелось найти и сделать еще что-нибудь
подобное. Я поискал, нашел и снова сделал. Этот процесс увлек меня. Так я нашел куб Йошимото.
Цель проекта: собрать, а тем самым разгадать тайну головоломки куба Йошимото.
Задача проекта: развивать логическое и пространственное мышление
История головоломки
Головоломка — непростая задача, для решения которой, как правило, требуется сообразительность, а
не специальные знания высокого уровня. Тем не менее, некоторые головоломки стимулируют
теоретические и практические разработки учёных. Видов
головоломок большое количество:
механические головоломки, кроссворды, ребусы, шарады, кубик Рубика, пятнашки, судоку,
головоломки со спичками, головоломки с монетами, логические парадоксы
Все началось с математики
Уже в древней Месопотамии, почти пять тысяч лет назад, составляли и решали достаточно сложные
алгебраические задачи на определение неизвестной величины. Позже в Древнем Египте появились
первые задачники. Условия были просты с точки зрения сегодняшнего дня, но уже тогда многие из них
имели житейскую наполненность, что приближало бесстрастные вычисления к реальности.
Шотландский египтолог Хинд обнаружил папирус, датируемый XVII веком до нашей эры,
посвященный математике. Он представляет собой свиток длиной около пяти с половиной метров и
шириной около пятнадцати сантиметров. Писец Ахмес утверждает, что скопировал текст с оригинала
двухсотлетней давности. Задача 79 из папируса имеет следующее содержание:
В семи домах содержат по семь кошек. Каждая кошка ловит семь мышей в день, а каждая мышь,
останься она живой, съела бы за тот же день семь колосьев пшеницы. Если каждый колос может
дать семь гекатов зерна, сколько всего здесь перечислено?
Математика формировалась неравномерно, в разное время в ее развитие внесли свой вклад Вавилон,
Древняя Греция, Китай, Индия. Кстати, математика в Вавилоне имела дело не только с арифметикой,
но и с алгеброй, серьезно обгоняя в этом отношении Египет. Интересно, что в Вавилоне
использовалась шестеричная система счисления (а я знаком с десятичной и двоичной системами
счисления, но я в этом тоже разберусь).
Древнегреческий математик Диофант почти через две тысячи лет после появления папируса Хинда
предложил такую задачу: "Найти три числа, которые при попарном сложении дают в сумме
двадцать, тридцать и сорок".
Я решил её, это числа 5, 15, 25
5+15=20
5+25=30
15+25=40
3
Индикатор культуры
В Европе самым первым собранием головоломок и логических задач стала книга "Задачи для развития
молодого ума" ирландского богослова, ученого и просветителя Алкуина. Она появилась во второй
половине IX века. Написанная на латинском языке, книга включала 53 задачи. Именно там впервые
встречается так называемая "задача о переправе", впоследствии ставшая очень популярной.
Крестьянину потребовалось пересечь реку, имея при себе волка, козу и связку кочанов капусты. Лодка,
которую он смог разыскать, разово вмещала только одну, любую пару из перечисленного. Однако
крестьянин имел строгое наказание перевезти на другую сторону все в целости и сохранности, без
повреждений. Как следовало выполнять переправу?
Истинному расцвету головоломок способствовали несколько событий. Во-первых, завершалась эпоха
религиозного обскурантизма, а это привело к прекращению преследования математики, более того,
ученых-математиков перестали воспринимать наравне с чернокнижниками, заключившими союз с
дьяволом. Во-вторых, выросла общая образованность, что значительно увеличило круг людей,
интересующихся головоломками. К тому же в Европу были завезены шахматы, давшие импульс
изобретению новых игр и связанных с ними головоломок.
Итальянцы Фибоначчи (XIII век) и Тарталья (XVI век) включили головоломки в свои научные
изыскания. Первому принадлежала задача о кроликах.
Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов
будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару
кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?
Тарталья, который первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения, придумал
задачу о семнадцати лошадях.
В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве семнадцать лошадей
следовало поделить между наследниками в отношении одна вторая к одной третьей к одной девятой.
Как выполнить завещание? В XVI веке появилась другая известная задача-головоломка: в компании из
двадцати человек на церковные нужды собрали двадцать монет, причем мужчины заплатили по три
монеты, женщины - по две, дети - по половине монеты. Сколько было мужчин, женщин и детей?
Не только цифры
А что же головоломки со словами? Они существовали уже три тысячи лет назад, ведь именно тогда
грек
Пиндар,
велеречивый
поэт,
сочинил
стихотворение-головоломку,
в
которой
спрятал
зашифрованный текст. Другой грек Ликофрон, также склонный к поэтическому творчеству, во время
длительной командировки в Александрию составил льстивые анаграммы имен царственных
правителей Египта. Видимо, умение изобретать головоломки было небесполезным занятием при дворе.
4
Впрочем, это признавали и раньше - даже в праобразе Библии на древнееврейском языке построение
текста скрывает некоторые головоломки. Логикой развития поэтические формы в лингвистических
головоломках заменили приземленные ребусы, появившиеся во Франции в эпоху Возрождения. Они,
безусловно, не столь изящны и рассчитаны на более широкий круг читателей, ибо содержат всего лишь
комбинации слов, символов и картинок, шифрующих текст, однако найти и прочесть его все равно не
просто.
Один из ребусов в виде послания получил как-то Вольтер. Прусский король Фридрих приглашал его
отобедать во дворце Сан Суси. Послание было составлено по последней моде и представляло
изображение двух дробей, между которыми располагалась буква "a". Левая дробь содержала над
чертой букву "P", под чертой - изображение двух рук. Правая - цифры 6 и 100 соответственно. В
переводе с французского, на котором был составлен ребус, он содержал фразу "Завтра обед в Сан
Суси". И что вы думаете? Вольтер, славившийся остроумием, ответил в том же духе. Он сочинил
ребус-ответ: "У меня хороший аппетит", заключавшийся в двух буквах: "G a". Великие умы умели
развлекаться!
Англичанин Джексон, учитель математики, в начале XIX века опубликовал головоломку в стихах,
вольный перевод которой звучит следующим образом: «Девять вычти из шести, десять - из девятки,
после сорок уменьшай аж на пять десятков. Цифрой, равною шести, данный ребус заверши. Но про
минусы у чисел, полагай, никто не слышал. Дальше вовсе не спеши - просто ребус напиши».
Заокеанские «пятнашки»
Колоритнейшей фигурой в истории головоломок стал американец Сэм Лойд, живший на рубеже XIXXX веков. Самым известным его изобретением стала головоломка "игра в пятнадцать", вызвавшая
настоящий ажиотаж в Америке, а затем, словно чума, перекинувшаяся через океан и завоевавшая весь
мир. Популярность игры была столь велика, что владельцы фирм вывешивали специальные
объявления, запрещавшие играть с ней в рабочее время (как сейчас с интернетом и социальными
сетями). В Германии ею баловались на заседаниях Рейхстага, а во Франции ей даже присвоили новое
название - "такен" ("задира"), так как она казалась более серьезным бедствием, чем алкоголь и табак.
"Игра в пятнадцать" состоит из пятнадцати одинаковых плоских фишек в виде квадратов со стороной в
одну линейную единицу. Все фишки пронумерованы цифрами от одного до пятнадцати и уложены в
открытую квадратную коробочку размерами шестнадцать на шестнадцать линейных единиц так, что
остается свободным место еще для одной фишки. Любую из соседних фишек можно пальцем
передвинуть на пустое место. Задача заключается в том, чтобы расставить фишки рядами согласно
последовательности нанесенных на них номеров.
Проблема не очень то серьезная, если бы не одно обстоятельство. При попытке уложить фишки в
коробочку случайным образом оказывается, что лишь половина из всех возможных комбинаций
поддается упорядочению согласно приведенному условию. Другие комбинации сводятся к
5
расположению, при котором фишки от первой до тринадцатой стоят на своих местах, а две фишки с
номерами четырнадцать и пятнадцать поменялись местами.
Подобную комбинацию использовал Лойд для рекламной компании головоломки: за ее решение был
назначен приз в несколько тысяч долларов, очень даже приличная сумма по тем временам. Автор
ничего не терял, так как "игра в пятнадцать" из данной комбинации была не разрешима. Однако
выяснилось это значительно позже, после детального математического описания свойств головоломки.
Гимнастика для ума
И сегодня индустрия головоломок продолжает бурно развиваться. Ежегодно поставляя на рынок все
новые книги и предметы, позволяющие нам не просто убить время, но и в игровой форме дать
нагрузку нашим логическим способностям, научиться нестандартно мыслить и действовать.
Считается, что кубик Рубика — лидер среди игрушек-головоломок по общему количеству продаж: по
всему миру было продано порядка 300 млн кубиков Рубика, как оригинальных, так и различных
аналогов. Механическая головоломка, первоначально известная как «Магический кубик», была
изобретенна в 1974 году венгерским скульптором и преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком.
Однако, тремя годами раньше, в 1971 году, японский художник Наоки Йошимото искал и нашел
способ разделить куб на одинаковые части в трехмерном пространстве. В результате были получены
два своеобразных многогранных тела, состоящих из восьми взаимосвязанных кубиков, которые могут
быть открыты в нескольких направлениях. Свою новинку художник представил на персональной
выставке в 1972 году.
Интрига куба Йошимото
Куб, состоит из восьми взаимосвязанных кубиков можно раскрыть несколькими способами. Кроме
того, куб разделяется на два элемента сконструированных таким образом, что их можно
трансформировать в ромбовидные звезды - робмбододекаэдры.
Ромбододека́эдр (греч. ‘двенадцать граней’) - двенадцатигранник, составленный из одинаковых
ромбов. У ромбододекаэдра 14 вершин, 6 из которых являются вершинами меньших углов 4-х ромбов,
а 8 — вершинами 3-х ромбов при их больших углах. Острый угол каждого ромба приблизительно
равен 70,53 градуса (два арксинуса одного, делёного на корень из трёх), а тупой ~109,47 градуса (180
минус острый).
Одинаковыми ромбододекаэдрами можно заполнить трёхмерное пространство без промежутков и
наложений. Взаимное расположение плоскостей граней ромбододекаэдра называется ромбическим.
О трехмерном пространстве
Трёхмерное пространство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся.
Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три однородных измерения — высоту,
ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными
векторами.
6
Понимание трёхмерного пространства людьми, как считается, развивается ещё в младенчестве, и тесно
связано с координацией движений человека. Визуальная способность воспринимать окружающий мир
органами чувств в трёх измерениях называется глубиной восприятия.
В аналитической геометрии каждая точка трёхмерного пространства описывается как набор из трёх
величин — координат. Задаются три взаимно перпендикулярных координатных оси, пересекающихся в
начале координат. Положение точки задаётся относительно этих трёх осей заданием упорядоченной
тройки чисел. Каждое из этих чисел задаёт расстояние от начала отсчёта до точки, измеренное вдоль
соответствующей оси, что равно расстоянию от точки до плоскости, образованной другими двумя
осями. Многие законы физики, например многие законы обратных квадратов связаны с тем что
размерность нашего пространства три.
7
Технология создания куба
Материалы и инструменты
Для начала необходимо выбрать материал. Я думаю, что это будет плотная бумага двух цветов или
белая, на которой на цветном принтере распечатать заготовки. Картон применять не рекомендую так
как его будет довольно сложно складывать.
Так же нам понадобится прозрачный скотч и ножницы.
Инструкция по изготовлению
1. Нужно начертить заготовку или распечатать на принтере второе лучше и проще.
рис.1
2.Вырезаем, таких нам надо 8 штук одного цвета и 8 другого.
3.Последовательность сборки:
Каждая плоская фигура имеет линии сгиба, обозначенные на рис. 1 пунктирной линией. Каждую
фигуру необходимо согнуть по этим линиям, так что бы цветная сторона картона оказалась на внешней
стороне получаемой объемной фигуры - половинки кубика. Каждую из 16-ти плоских фигур собрать в
объемную фигуру - половинку кубика, защелкивая картонные замки.
Сначала собираем внутренние замки (надпись: "вн."), далее защелкиваем наружные картонные замки
(надпись: "нар."). В итоге получаем 16 половинок кубиков следующего вида (рис.2).
рис.2
1. Получившиеся половинки кубиков склеить друг с другом при помощи клейкой ленты в следующей
последовательности:
8
Составляем две половинки кубиков и склеиваем их с двух сторон в пару.
а) Склеиваем с одной стороны:
рис.3
б) Склеиваем с другой стороны:
рис.4
в) К полученной фигуре приклеиваем последовательно две детали сбоку. Склейку производим так же
с двух сторон (рис5).
рис. 5
г) Далее, повторяем пункты 4.а-4в. и получим вторую фигуру, показанную на рис. 6
д) Полученные две фигуры ставим боком и склеиваем вместе. Склейку опять делаем как с наружной,
так и с внутренней стороны фигуры.
рис. 6
9
Получаем фигуру - трансформер следующего вида (рис.7).
рис.7
е) Повторяем всю процедуру для фигур другого цвета. Получаем (рис.8):
рис.8
10
Экономическое обоснование
Расчет себестоимости творческой части проекта
№
Наименование
1
Цветная плотная
офисная бумага 1 пачка
(10 листов)
2
Скотч
Количество
Цена(за 1 м. шт.,
пачку)
Всего
4 листа
20 руб
8 руб
1 шт
20 руб
0, 2 руб
Итого
8,2 руб
Себестоимость моей головоломки составила 8 руб. 20 коп. Из источников интернет я, с удивлением
узнал, что такую игрушку можно заказать примерно за 4 тысячи рублей.
Следовательно, моя проектная работа экономически выгодна, так как, потратив 8, 2 руб. на
расходные материалы, я самостоятельно изготовил легендарную головоломку Йошимото.
Вывод
Я считаю что достиг цели, которую ставил перед собой в начале проекта: собрал и понял тайну
куба Йошимото. Куб можно разделить на равные части в трехмерном пространстве! Вывернув
разделенный на равные части куб «наизнанку» можно получить новую геометрическую фигуру робмбододекаэдр. Работая с литературой и справочным материалом, я получил много теоретических
знаний в области логики – одного из разделов математики и информатики, а выполняя изделие, я
получил наглядное представление о том как выглядит куб, разделенный на равные части.
Итог проекта
Заканчивая работу над этим проектом, я пришел к удивительному открытию: чем больше я узнавал,
тем больше появилось вопросов. Мне, во что бы то ни стало нужно узнать о свойствах
многогранников. Оказывается, кроме двухмерного и трехмерного пространства, есть еще и другие
виды пространства, и мне захотелось понять их. На чем основан эффект 3D? Все это мне ещё
предстоит выяснить.
Итогом проекта стала интерактивная презентация в программе Microsoft Office Power Point,
основанную на гиперссылках, которая позволит расширить кругозор моих сверстников по этой теме,
развивать логику и пространственное мышление.
11
Интернет ресурсы
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• http://sputnik.mto.ru/zagadki-i-paradoksyi/kub-yoshimoto.html
• http://goodgadget.ru/shop/product/gyroscope_yoshimoto_cube/
• http://www.svetograd.com/suvenir/transformers.htm
•
http://eruditov.net/publ/smekalka/8-1-0-16 Эрудитов.net
http://www.5000puzzles.ru/ 500 Занимательных головоломок
http://www.5000puzzles.ru/ Эрудитов.net
http://900igr.net/ 900 детских презентаций и 300 флеш-игр ребёнку с 1 года
http://mozgun.ru/ Головоломки
http://www.igroflot.ru/logic/ Логические игры
http://www.golovolomok.net Головоломок. Net
http://www.5000puzzles.ru/Pyatnashki-697.html Пятнашки
http://www.smekalka.pp.ru/ Смекалка, сайт с логическими задачами
http://ru.wikipedia.org/ Википедия
http://dic.academic.ru/ Словари и энциклопедии на АКАДЕМИКЕ
http://onpi.net/ Математика… Online PI
http://www.greatmath.net/ Сайт о вкликих матматиках
http://stepanov.lk.net/gardner/hex/hex09.html Гексафлексагоны и Другие Математические
Развлечения
http://www.biografguru.ru/by/matematik/?q=9&psn=76 Великие люди. Биографии и
жизнеописания
http://eternaltown.com.ua/content/view/8818/2/ Народный библиографический справочник
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E1%EE%ED%E0%F7%F7%E8 Википедия
12
Словарь
Обскурантизм — в истории европейской мысли и духовности — враждебное отношение к науке,
просвещению и общественному прогрессу, отстаиваемое реакционными кругами Христианской
Церкви
Логика (греч. logik ), наука о приемлемых способах рассуждения.
Трансформация (в данном случае) – изменение формы
Головоломка — непростая задача, для решения которой, как правило, требуется сообразительность, а
не специальные знания высокого уровня.
Ромбододекаэдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) - двенадцатигранник, составленный
из одинаковых ромбов. У ромбододекаэдра 14 вершин, 6 из которых являются вершинами меньших
углов 4-х ромбов, а 8 — вершинами 3-х ромбов при их больших углах. Острый угол каждого ромба
приблизительно равен 70,53 градуса (два арксинуса одного, делёного на корень из трёх), а тупой
~109,47 градуса (180 минус острый).
Трёхмерное пространство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся.
Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три однородных измерения — высоту,
ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными
векторами.
Пространство – термин пространство имеет в науке два смысла, он употребляется применительно к
реальному пространству и пространству абстрактному, математическому.
Пространственное мышление – это специфический вид мыслительной деятельности, которая имеет
место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как
видимом, так и воображённом). В своих наиболее развитых формах это мышление образцами, в
которых фиксируются пространственные свойства и отношения. Оперируя исходными образами,
созданными на различной наглядной основе, мышление обеспечивает их видоизменение,
трансформацию и создание новых образов, отличных от исходных.
Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства
исследуются средствами алгебры.В основе этого метода лежит так называемый метод координат,
впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в
соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.
Геометрия - раздел математики, изучающий свойства объектов в плоскости и пространстве.
13