Изучение групп самосовмещений правильных многогранников

Изучение групп самосовмещений правильных
многогранников
БЕСЕДИН Игорь Юрьевич, Малая академия наук, г. Ставрополь,
igor@codeclimber.com
МАКОХА Анатолий Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент,
Ставропольский государственный университет, г. Ставрополь
1. Описание всех групп самосовмещений.
Введение.
Теория групп находит широкое применение в современной математике и физике,
кристаллографии, физике твердого тела и физике элементарных частиц. Наиболее интересны
для рассмотрения группы самосовмещений правильных многогранников. Прежде всего,
потому, что имеют максимальное количество элементов в группе при минимальном
количестве вершин в многограннике.
Постановка задачи.
Задачи научного исследования:
 изучить классы, группы и подгруппы самосовмещений правильных
многогранников и их свойства;
 создать систему визуального моделирования свойств и поворотов групп
самосовмещений правильных многогранников.
Кристаллографические классы.
В пространстве имеется конечное число федоровских групп движений. Для того
чтобы суметь определить эти группы, необходимо охарактеризовать геометрически
отдельные движения. Если сначала рассмотреть движения, оставляющие неподвижной
некоторую точку, то можно доказать, что в этом случае должны остаться неподвижными все
точки некоторой прямой, проходящей через данную точку, и что движение может быть
заменено поворотом на определенный угол вокруг этой прямой, как вокруг оси.
Для того чтобы найти все кристаллографические классы пространственных групп
движений, нам нужно только исследовать дискретные группы движений поверхности шара.
Точно так же, как и на плоскости, можно и для пространства прийти к заключению, что в
федоровской группе движений не могут существовать иные углы поворота, кроме углов,
2  
кратных  ,
, , .
3 2 3
Таким образом, подобно тому, как на плоскости группы содержат только двух-, трех-,
четырех- и шестикратные центры поворотов, пространственные федоровские группы
движений могут содержать только двух-, трех-, четырех- и шестикратные оси. Но то же
самое должно иметь место и для групп кристаллографических классов. После этого
ограничения остаются только одиннадцать классов кристаллов.
Прежде всего возьмем случаи, когда существует только одна единственная n-кратная
ось в группе Оn. Такие классы обозначаются в кристаллографии через Сn. Мы имеем здесь
пять классов:
1. С1 (тождество, класс групп переносов)
2. С2
3. С3
4. С4
5. С5
Теперь допустим, что существует несколько осей, среди которых не более одной
кратности выше 2. Относящиеся сюда группы и классы обозначаются символом Dn (диэдр).
Таких классов имеется четыре:
6. D2 (три равнозначные оси)
7. D3
8. D4
9. D6
Остается еще возможность существования нескольких осей более высокой кратности,
чем двукратные. Более подробное рассмотрение таких случаев показывает, что
эквивалентные точки на шаре должны располагаться либо в вершинах правильного
тетраэдра, либо правильного октаэдра. Свойства симметрии этих многогранников позволяют
непосредственно вывести распределение осей; все оси получаются, если соединить с
центром шара все вершины, все центры граней и все середины ребер многогранников. Таким
образом тетраэдр образует класс:
10. T. Если соединить центр шара с одной из вершин тетраэдра, то прямая эта пройдет
также через центр противолежащей грани. Так как эта грань представляет равносторонний
треугольник, а с другой стороны, в каждой вершине сходятся три грани, то мы получаем
четыре трехкратные оси. Если, далее, соединить шесть середин ребер тетраэдра с центром
шара, то мы получим три прямых, так как середины ребер попарно диаметрально
противоположны. Эти оси могут быть только двукратными, если тетраэдр должен
переходить сам в себя. Таким образом, класс Т содержит три двукратные оси, которые,
кроме того, попарно перпендикулярны друг другу.
Исследование последнего класса: 11. O производится аналогично. Шесть вершин
октаэдра расположены попарно противоположно друг к другу и в каждой вершине сходятся
четыре грани. Таким образом, мы получаем три четырехкратные оси. Точно так же восемь
граней октаэдра расположены попарно противоположно. Так как они всегда представляют
равносторонние треугольники, то они дают четыре трехкратные оси. Наконец, так как
октаэдр имеет двенадцать ребер, причем ребра попарно противоположны, то класс О
содержит шесть двукратных осей.
Одиннадцать классов, установленных нами, приводят всего к 65 пространственным
федоровским группам движений. Таким образом, разделение на классы чрезвычайно
облегчает обозрение такого большого количества групп.
Правильные многогранники.
Определение кристаллографических классов привело нас к правильным тетраэдру и
октаэдру.
Мы предъявляем следующие требования к правильному многограннику: все его
вершины, все его ребра и все его грани должны быть равноправны. Кроме того, все грани
правильных многогранников должны представлять правильные многоугольники.
Правильный многогранник, прежде всего не должен иметь входящих углов и ребер. В
самом деле, так как все углы и все ребра не могут быть входящими, то существование
входящих углов или ребер приводило бы к неравноправности вершин и ребер. Отсюда
следует, что сумма углов многоугольников, сходящихся в вершине многогранника, должна
быть меньше 2, так как в противном случае все многоугольники расположились бы в одной
плоскости или должны были бы образовать входящие ребра, исходящие из такой вершины.
Далее, так как в каждой вершине должны сходиться по меньшей мере три многоугольника и
так как из правильности многоугольников следует равенство всех их углов, то все эти углы
должны быть меньше, чем 2.
2
Но в правильном шестиугольнике каждый угол равен как раз
с возрастанием n
3
угол правильного n-угольника возрастает. Таким образом, в качестве граней правильных
многогранников нам следует рассматривать только треугольники, четырехугольники и
пятиугольники. Так как правильный четырехугольник, т. е. квадрат, содержит только прямые
углы, то в вершине правильного многогранника могут сходиться только три квадрата, в
противном случае сумма углов достигла бы 2; точно так же в вершине правильного
многогранника не могут сходиться более чем три пятиугольника. В соответствии с этим
можно заключить, что возможен только один многогранник, ограниченный квадратами, и
один, ограниченный правильными пятиугольниками. Однако в вершине правильного
многогранника могут сходиться три, четыре или пять равносторонних треугольников, так как
лишь шесть треугольников дают сумму углов, равную 2. Следовательно, равносторонние
треугольники могут служить гранями трех различных многогранников. Таким образом, мы
приходим всего к пяти возможностям для правильных многогранников. Все эти пять
возможностей действительно осуществляются.
Все они могут быть вписаны в шар и каждый из этих многогранников приводит к
дискретной группе движений шара, так что вершины многогранника образуют систему
эквивалентных точек. Если провести через все вершины многогранника касательные к шару
плоскости, то эти плоскости должны образовать новый многогранник, который должен
переходить в самого себя при движениях, содержащихся в группе.
Таблица 1
Многогранник Вершин
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр
4
8
6
12
20
Ребер
Граней
Сколько граней
сходится в вершине
6
12
12
30
30
4
6
8
20
12
3
3
4
5
3
Грань
Равносторонний треугольник
Квадрат
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник
Равносторонний пятиугольник
Новый многогранник также представляет правильный многогранник и при таком
построении все пять многогранников должны попарно соответствовать друг другу. Если на
самом деле осуществить такое построение для октаэдра, то действительно получается
правильный многогранник, именно куб. Таким образом мы могли бы определить группу О
шара при помощи куба так же, как мы определили эту группу при помощи октаэдра.
Взаимную связь обоих тел можно усмотреть в Таблице 1: число вершин одного тела равно
числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребер; в вершине одного тела
сходится столько граней, сколько вершин имеется у грани другого тела. Поэтому можно
также описать октаэдр вокруг куба. Как показывает таблица, аналогичные соотношения
имеют место между додекаэдром и икосаэдром. Поэтому оба тела приводят к одной и той же
группе шара, которую обычно называют группой икосаэдра. Исходя из
кристаллографических соображений, мы не могли бы прийти к этой группе, так как в ней
играет роль число 5, между тем как в кристаллографических классах нет пятикратных осей.
Для тетраэдра при таком построении мы получаем снова тетраэдр.
Определение группы.
Пусть задано некоторое (конечное или бесконечное) множество G, на котором
определена операция умножения, т.е. определен закон, сопоставляющий любой паре a, b
элементов из G некий элемент из G называемый произведением. Предположим, что эта
операция умножения удовлетворяет следующим условиям:
1. Условие ассоциативности. Для любых трех элементов a, b, c множества G
справедливо соотношение: (a  b)  c = a  (b  c).
2. Условие существования нейтрального элемента. Среди элементов множества G
имеется некоторый определенный элемент, называемый нейтральным элементом, и
обозначаемый символом 1 такой, что a  1 = 1  a = a при любом выборе a.
3. Условие существования обратного элемента к каждому данному элементу. К каждому
данному элементу a множества G можно подобрать такой элемент b того же
множества G, что a  b = b  a = 1. Элемент b называется обратным.
Множество G с определенной в нем операцией умножения, удовлетворяющей только
что перечисленным трем условиям, называется группой.
Группы самосовмещений.
Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое
перемещение, которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.
Группа поворотов тетраэдра.
Для определения всех самосовмещений тетраэдра ABCD (рис. 1) рассмотрим
сначала те из них, которые одну определенную вершину, пусть, например A, оставляют
неподвижной.
Такие самосовмещения совмещают и треугольник BCD с самим собою, поворачивая его
2 4
вокруг центра на один из углов 0,
,
. Отсюда следует, что самосовмещений тетраэдра
3
3
ABCD имеется ровно три: тождественное самосовмещение a0, оставляющее на месте все
элементы тетраэдра, и два поворота a1 и a2 вокруг оси, соединяющей середину треугольника
2 4
BCD и точку A соответственно на углы
,
. Обозначим теперь через xi какое-нибудь
3
3
определенное самосовмещение тетраэдра, переводящее вершину A в вершины B, C, D (i = 1,
2, 3, соответственно); через x0 обозначим снова тождественное самосовмещение.
Каждое самосовмещение тетраэдра означает некоторую подстановку его вершин. Но
всех подстановок из четырех элементов имеется 24; из них только 12 осуществляются
перемещением в пространстве. Посмотрим какие это перемещения и какие подстановки.
Назовем для краткости граневой медианой тетраэдра прямую, проходящую через
какую-нибудь вершину и центр грани, противоположной этой вершине. Реберной медианой
назовем прямую, проходящую через середины двух каких-нибудь взаимно
противоположных ребер тетраэдра.
Каждой граневой медиане соответствуют два нетождественных самосовмещения
2 4
тетраэдра, именно: повороты вокруг этой медианы на углы
,
. Всего, таким образом,
3
3
получаем восемь поворотов. Вокруг каждой реберной медианы имеем один
нетождественный поворот на угол , что дает еще три поворота.
Эти 11 поворотов вместе с тождественным самосовмещением дают все 12
самосовмещений тетраэдра. Каждое из них является поворотом вокруг одной из семи осей
симметрии тетраэдра; поэтому группу самосовмещений называют группой поворотов
тетраэдра.
Подгруппы поворотов тетраэдра.
Посмотрим теперь, каковы подгруппы группы поворотов тетраэдра.
В ней, как и во всякой группе, имеются, прежде всего, две так называемые
несобственные подгруппы: это, во-первых, вся рассматриваемая группа и, во-вторых,
подгруппа, состоящая из одного нейтрального элемента.
Остальных же подгрупп имеется восемь. Прежде всего, заметим, что произведение
поворотов на угол  вокруг двух различных реберных медиан дает нам поворот на тот же
угол вокруг третьей реберной медианы. Отсюда следует, что повороты на угол  вокруг всех
трех реберных медиан образуют вместе с тождественным поворотом группу; она изоморфна
клейновской группе (т.е. группе всех поворотов ромба). Эту группу обозначим через H.
Среди всех подгрупп группы поворотов тетраэдра она имеет наибольший порядок. В ней
содержится три подгруппы второго порядка, состоящие из поворотов на углы 0 и  вокруг
каждой данной реберной медианы. Кроме указанных, имеются еще четыре подгруппы
2
4
третьего порядка, состоящие каждая из трех поворотов на углы 0,
,
вокруг
3
3
соответствующей граневой медианы.
Группы поворотов куба.
Для того чтобы установить все самосовмещения куба, поступим так же, как и в случае
тетраэдра: рассмотрим сначала лишь те самосовмещения куба которые одну из вершин, –
пусть A, – совмещают с самой собой. При каждом самосовмещении куба вершина переходит
в вершину, ребро в ребро, грань в грань; также и диагонали куба переходят в самих себя.
Если данное самосовмещение оставляет вершину А неподвижной, то оно оставляет
неподвижной и диагональ AC’ (так как существует лишь одна диагональ куба, выходящая из
вершины А). Итак, наше самосовмещение есть поворот куба вокруг диагонали AC’. Таких
2 4
поворотов, кроме тождественного, имеется два: на
,
.
3
3
Итак, имеется всего три самосовмещения куба, переводящих вершину А в саму себя.
Но вершину А надлежаще подобранным поворотом можно перевести в каждую из восьми
вершин куба; отсюда, повторяя те же рассуждения, что и в случае тетраэдра, легко выводим,
что всех самосовмещений куба имеется 3  8 = 24.
Определим каждое из этих самосовмещений. Заметим, прежде всего, что у куба
имеются следующие 13 осей симметрии: четыре диагонали, три прямые, соединяющие
попарно середины граней куба, шесть прямых, соединяющих попарно середины
противоположных ребер куба. Вокруг каждой из четырех диагоналей имеется два
нетождественных поворота куба, совмещающих куб с самим собой, всего имеем восемь
поворотов вокруг диагоналей.
Вокруг каждой из прямых, соединяющих центры противоположных граней куба,
имеется три нетождественных поворота. Следовательно, всего таких поворотов 9.
Наконец, имеем один нетождественный поворот (на угол ) вокруг прямой,
соединяющей середины двух противоположных ребер; общее число этих поворотов равно,
следовательно, шести.
Итак, имеем 8+9+6=23 нетождественных поворота, совмещающих куб с самим собой.
Если присоединить к ним еще тождественный поворот, получим 24 самосовмещения, т. е.
все самосовмещения куба, какие только имеются.
Итак, поворотами куба вокруг его осей симметрии исчерпываются все его
самосовмещения. Поэтому, так же как и в случае тетраэдра, группа самосовмещений куба
обычно называется группой поворотов куба.
Подгруппы поворотов куба.
Среди подгрупп поворотов куба отметим прежде всего циклические подгруппы
второго, третьего и четвертого порядков, состоящие соответственно из поворотов вокруг
каждой из 13 осей симметрии куба.
Циклических подгрупп второго порядка шесть (по числу осей, соединяющих
середины двух противоположных ребер), циклических подгрупп третьего порядка четыре
(по числу диагоналей), циклических подгрупп четвертого порядка имеется три (по числу
соединяющих центры противоположных граней).
Значительно больший интерес представляют следующие перечисленные ниже
подгруппы.
а) Подгруппа двенадцатого порядка, состоящая из поворотов переводящих в себя
(одновременно) каждый из двух тетраэдров, вписанных в куб. Эта подгруппа состоит из
24=8 нетождественных поворотов вокруг диагоналей куба, из трех поворотов, каждый на
угол , вокруг осей, соединяющих центры противоположных граней, и из тождественного
поворота.
б) Три подгруппы восьмого порядка, изоморфные группе четырехугольной двойной
пирамиды (диэдра). Каждая из этих подгрупп состоит из тех поворотов куба, которые
переводят в самое себя одну из прямых, соединяющих центры двух противоположных
граней (октаэдр, вписанный в куб, является частным случаем четырехугольного диэдра;
группа его поворотов, оставляющих неподвижными или меняющих местами две его
вершины, и будет, очевидно, группой четырехугольного диэдра). Эта подгруппа восьмого
порядка получается из следующих восьми поворотов: четырех поворотов вокруг оси,
соединяющей противоположных вершины диэдра
(включая тождественный); двух
поворотов на угол  вокруг осей, соединяющих соответственно середины ребер AA’ и BB’,
CC’ и DD’; двух поворотов на угол  вокруг осей, соединяющих соответственно центры
граней АВВ'А' и СОО'С', АОО’D и ВСС'В'.
в) Подгруппа четвертого порядка, состоящая из тождественного преобразования и
трех поворотов на угол  вокруг каждой из осей, соединяющих центры двух
противоположных граней. Эта группа состоит из тех поворотов, которые входят в каждую из
перечисленных в пункте б) трех подгрупп восьмого порядка. Эта подгруппа четвертого
порядка коммутативна и изоморфна группе поворотов ромба (т. е. клейновской группе
порядка 4).
Кроме упомянутых, имеются еще подгруппы четвертого порядка, также изоморфные
группе самосовмещений ромба.
Группа поворотов октаэдра.
Группа самосовмещений или поворотов правильного октаэдра изоморфна группе
поворотов куба.
Чтобы убедиться в этом, достаточно описать куб вокруг правильного октаэдра или
вписать куб в правильный октаэдр. Каждое самосовмещение октаэдра соответствует
некоторому самосовмещению куба, и наоборот.
Это положение вещей есть одно из проявлений отношения двойственности,
имеющего место между кубом и октаэдром; его мы сейчас определим. Прежде всего мы
назовем два элемента (вершина, ребро, грань) какого-нибудь многогранника инцидентными,
если один из этих двух элементов принадлежит другому (как его элемент). Таким образом,
вершина и грань, имеющая эту вершину среди своих вершин, а также грань и ребро этой
грани, наконец, вершина и ребро, одним из концов которого является эта вершина–суть пары
инцидентных элементов.
Два многогранника называются двойственными, если элементы одного могут быть
таким образом поставлены во взаимно однозначное соответствие с элементами другого, что
при этом пары инцидентных элементов одного многогранника соответствуют парам
инцидентных элементов другого, и при этом вершины первого многогранника соответствуют
граням второго, ребра первого многогранника соответствуют ребрам второго, грани первого
многогранника соответствуют вершинам второго.
Нетрудно видеть, что куб и октаэдр в этом смысле двойственны друг другу, а тетраэдр
двойствен самому себе.
Группа поворотов икосаэдра и додекаэдра.
Среди всех пяти правильных многогранников нам осталось рассмотреть два: икосаэдр
и додекаэдр. Эти многогранники двойственны между собой и группы их самосовмещений
изоморфны.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно вписать икосаэдр в додекаэдр или
додекаэдр в икосаэдр. Поэтому нам достаточно ознакомиться с группой самосовмещений
икосаэдра.
Чтобы определить число ее элементов, мы поступим так же, как и в случае тетраэдра
и куба.
Сначала рассмотрим те самосовмещения икосаэдра, которые оставляют неподвижной
одну какую-нибудь из его вершин. Таких самосовмещений имеется пять, а именно: пять
поворотов вокруг оси, соединяющей данную вершину с противоположной ей. Так как всех
вершин 12, то число самосовмещений икосаэдра есть 5  12 = 60.
Все эти самосовмещения оказываются поворотами икосаэдра вокруг его осей
симметрии. В самом деле, имеются следующие оси симметрии икосаэдра:
Шесть осей, соединяющих противоположные вершины: вокруг каждой из них имеем
2 4 6 8
четыре нетождественных поворота (на углы
,
,
,
) совмещающих икосаэдр с
5
5
5
5
самим собой; всего, значит, получаем 4  6 = 24 поворота;
10 осей, соединяющих центры противоположных граней; вокруг каждой из этих осей
2
4
имеем два нетождественных поворота (на угол
и
), а всего 20 поворотов;
3
3
15 осей, соединяющих середины противоположных ребер и дающих каждая по
одному нетождественному повороту (на 180°);
итак, имеем 24+20+15 нетождественных поворота и один тождественный поворот –
всего 60 поворотов.
Подгруппа поворотов икосаэдра и додекаэдра.
Подгруппы данных многогранников также изоморфны, как и группы.
Всего циклических групп имеется 31 – повороты вокруг каждой из оси симметрии.
Циклических подгрупп пятого порядка – шесть (повороты вокруг осей соединяющих
противоположные вершины), третьего порядка – десять (повороты вокруг осей,
соединяющих центры противоположных граней), второго порядка – пятнадцать (повороты
вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер).
В додекаэдр (фигура изоморфная икосаэдру) можно вписать пять кубов,
следовательно, существует пять подгрупп, изоморфных группе куба.
2. Система визуального моделирования свойств групп самосовмещений
правильных многогранников
Система визуального моделирования свойств групп самосовмещений правильных
многогранников реализована на языке программирования Delphi 6 с использованием
библиотек OpenGL.
Минимальные системные требования
Операционная система: Windows 9x, NT, XP и выше.
Процессор: Pentium II 300 MHz и выше.
Видеокарта с поддержкой 256 цветов и больше. (Рекомендуется видеокарта с 3Dакселератором).
Оперативная память: 16 Мб и выше.
Место на жестком диске: ~700 КБ.
Необходимые файлы: opengl32.dll и glu.dll версии 4.0 и выше.
Назначение программы.
Программа позволяет:
 динамически показывать повороты групп самосовмещений для каждого из
многогранников;
 изучить «таблицу умножения» поворотов групп - композиции поворотов для каждого
из многогранников: программа самостоятельно составляет таблицу и при двойном
щелчке на ячейке таблицы показывает на модели композицию поворотов;
 показывать изоморфность групп: соответственные группам фигуры вписываются одна
в другую;
Концепция программы.
В программе используются статические массивы для хранения координат фигур,
параметров поворота, состав группы и др. и динамические массивы для подготовки OpenGLсписков.
Отображение фигуры связано с переменной CType. От ее значения зависит, каким
образом будет выглядеть фигура: будет ли в нее вписана другая фигура и т.п. Для рисования
фигуры используется вызов OpenGL-списка, который готовится для каждого из
многогранников при старте программы. Это повышает быстродействие в несколько раз: нет
необходимости считывать координаты фигуры каждый раз, когда нужно отобразить фигуру.
Для
динамического
изображения поворота
многогранника
используется
мультимедийный таймер. По сравнению с объектом Timer он дает лучшие результаты. Дело
в том, что мультимедийный таймер не создает очереди событий, что дает возможность
поворота модели с любой скоростью от 1/мс. Также к достоинствам таймера можно отнести
высокую точность. Таким образом, на большинстве компьютеров модель будет двигаться с
одинаковой скоростью, только на очень медленных компьютерах поворот будет происходить
рывками.
Модули.
Composit.pas – модуль с данными и процедурами, позволяющими визуализировать
композиции поворотов, а также построение «таблицы умножения» поворотов.
Coordinates.pas – модуль с координатами точек правильных многогранников и точек
векторов поворота.
MainForm.pas – главная форма, которая инициализирует все данные, которые могут
понадобиться программе.
FrmSettings.pas – форма установки.
FrmShow.pas – форма Модели. Осуществляет вывод многогранника на экран.
FrmXYZ.pas – форма поворота осей координат.
Rotates.pas – модуль с поворотами и другими данными для всех групп поворотов
правильных многогранников.
SubGroups.pas - модуль с данными для изучения подгрупп.
FrmResearch.pas – главная форма, форма исследования.
Интерфейс.
Главное окно представляет собой три панели:
 Панель выбора объекта исследования. Расположена слева, имеет древовидную
форму. Нужна для выбора объекта исследования, например, группа куба, или класс
тетраэдра и т.п.
 Панель информации. Расположена рядом с Панелью выбора объекта
исследования. Дает краткую информацию об изучаемом объекте.
 Панель выбора для отображения поворотов на модели. Расположена под Панелью
информации. Имеет две формы:
 Без панели выбора. Используется при отображении поворотов групп, классов,
изоморфности и др.
 С панелью выбора. Используется для отображения поворотов подгрупп.
Окно снабжено Таблицей умножения поворотов, двойной щелчок по которой вызовет
визуализацию композицию поворотов.
Также окно снабжено статусной строкой, которая помогает быстрее освоить работу с
данной программой.
Окно настроек дает пользователю изменять пользователи такие свойства, как
 цвет оси, цвет фигуры описанной и вписанной;
 уровень прозрачности описанной фигуры. Используется только для отображения
двух (вписанных одна в другую) фигур.
 скорость поворота фигуры.
Все изменения сохраняются в файле init.dat. Если при загрузки файл не был
обнаружен, то загружаются настройки по умолчанию.
Окно модели служит для визуализации поворотов. Окно имеет Панель инструментов,
элементы которой, позволяют:
 приостановить, продолжить, завершить поворот;
 отображать каркасную или залитую одним цветом модель, причем если в
многогранник вписана фигура, то многогранник отображается полупрозрачным;
 вызвать окно настройки фигуры;
 включить/выключить подпись вершин;
 вызвать окно поворота фигуры по осям.
С помощью контекстного меню можно скрыть Окно модели, а также изменить его
позицию (поверх всех окон).
Окно поворота фигуры по осям дает пользователю возможность вращать фигуру в
пространстве по трем осям: X, Y, Z.
Горячие клавиши.
Главное окно:
F1 – помощь.
Ctrl+A – отображает окно «О программе».
Ctrl+M – делает активным Окно модели.
Ctrl+R – делает активным Окно поворота фигуры по осям.
Ctrl+B – делает активным Главное окно.
Ctrl+S – открывает окно настроек.
Ctrl+E – разворачивает содержимое Панели выбора объекта исследования.
Ctrl+C – сворачивает содержимое Панели выбора объекта исследования.
Окно модели:
Ctrl+T – расположить окно поверх всех/вернуться в нормальное состояние.
Ctrl+H – скрыть окно.
, – поворот на 5 градусов по оси X.
, – поворот на 5 градусов по оси Y.
Алгоритмы программы.
Алгоритм составления «таблицы умножения» поворотов групп самосовмещений.
Входные данные: номера двух поворотов (два множителя).
Данные о поворотах для каждого из многогранников состоят из строк. Каждая строка
представляет собой перечисление вершин, с учетом того, что для тождественного поворота
все эта строка представляет последовательно следующие друг за другом буквы латинского
алфавита. Теперь для каждой строки, характеризующей нетождественный поворот, заносим
последовательно латинские буквы, названия вершин, которые становятся на места тех точек,
которые были при тождественном повороте, и перечисляются в таком же порядке.
Затем совершается поворот. Суть его: все буквы строки первого поворота
переставляются согласно порядковым номерам букв второго поворота.
Последним этапом является поиск строки с получившейся последовательностью букв
– ее номер и есть номер поворота группы самосовмещений для данного многогранника.
Особенностью алгоритма является тот факт, что в нем используется свойство
изоморфности некоторых групп, а именно тетраэдр – тетраэдр, куб – октаэдр, икосаэдр –
додекаэдр, вследствие этого нет необходимости менять данные поворотов для таких групп.
Итоги работы.


описаны все группы и подгруппы самосовмещений всех правильных многогранников;
разработана программа визуализации свойств и поворотов групп и подгрупп
самосовмещений всех правильных многогранников.
Развитие работы.
Дальнейшее развитие работы будет идти по двум направлениям:
 Приложение групп самосовмещений;
 Изучение свойств групп самосовмещений правильных многогранников в
многомерных пространствах.
3. Литература.
1. Введение в теорию групп. – М.: Наука. 1980, 144 с.
2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука,
1981 г. – 344 с.
3. Краснов М.В. OpenGL. Графика в проектах Delphi. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. –
352 с.: ил.