Тип урока: Учебник: изд. – М.: Просвещение, 2007 год. – 256 с.

Конспект урока по теме: «Виды неправильных пирамид».
Тип урока: урок-лекция.
Учебник: Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый
и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 16-е
изд. – М.: Просвещение, 2007 год. – 256 с.
Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися выявить
основные виды неправильных пирамид и соответствующие им равносильные
условия.
Диагностируемые цели: в результате урока ученик:
знает виды неправильных пирамид и их построение, свойства площади
боковой поверхности неправильных пирамид;
понимает какие свойства и почему присуще каждому виду пирамид.
умеет определять вид неправильных пирамид, находить проекцию вершины
пирамиды на плоскость основания.
Методы обучения: метод эвристической беседы, частично-поисковый.
Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва-таблица,
презентация, модели.
Форма работы: фронтальная.
Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (10 мин);
II. Операционально-познавательный этап (30 мин);
III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).
Ход урока.
I. Мотивационно – ориентировочный этап.
Учитель: На пошлом уроке вы решали задачи на правильную пирамиду.
Сформулируйте определение правильной пирамиды.
Ученики: Правильной называется пирамида, в основание которой лежит правильный
многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания,
является ее высотой.
Учитель: Изобразим правильную треугольную пирамиду. Сформулируйте шаги
плана её построения для треугольной пирамиды.
Ученики: 1. Построить основание пирамиды.
1. Найти точку пересечения медиан.
2. Построить перпендикуляр к основанию через эту точку.
3. Взять на этой прямой произвольную точку – вершина пирамиды.
4. Соединить эту точку с вершинами основания.
Учитель: Назовите основание пирамиды, боковые грани, боковые ребра.
Ученики: Основанием является АВС, боковые грани- АДС, ВДС, АДВ, боковые
ребра- АД, ВД , СД.
Учитель: что называется высотой пирамиды.
Ученики: перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости
основания, называется высотой призмы - ОД.
Учитель: Что называется апофемой? Изобразите ее на рисунке.
Ученики: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины,
называется апофемой. ДМ – апофема.
Учитель: Вспомним свойства правильной пирамиды.
Ученики: Все боковые ребра правильной пирамиды равны: АД=ВД=СД. Боковые
грани являются равными равнобедренными треугольниками: ⊿АДС=⊿ВДС=⊿АДВ.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения
периметра основания на апофему, ребра образуют равные углы с основанием и
высотой.
Учитель: Докажите по данному рисунку равенство боковых ребер?
Ученики: Рассмотрим ⊿АОД, ⊿СОД и ⊿ВОД – прямоугольные:
1. ДО – общая сторона
2. АО=ВО=ОС
–
как
радиусы
описанной
окружности
основания.
⊿АОД=⊿ВОД=⊿СОД (по двум катетам). Следовательно, АД=ВД=СД.
Учитель: Что ещё следует из равенства этих же треугольников?
Ученики: ДАО=∠ДВО=∠ДСО.
Учитель: Докажите равнонаклонность боковых граней к основанию.
Ученики: ∠ДАО=∠ДВО=∠ДСО, то боковые грани равнонаклоненны к основанию.
Учитель: Что мы знаем про апофемы?
Ученики: Апофемы опираются на радиус вписанной окружности и равны между
собой. Так же равны углы между апофемой и плоскостью основания, и равны углы
между апофемой и высотой.
Учитель: Какой можно сделать вывод из этого про боковые грани правильной
пирамиды и ее высотой ?
Ученики: Боковые грани правильной пирамиды образуют равные углы с высотой.
Учитель: Мы имеем правильную пирамиду, и она обладает некоторыми свойствами:
боковые грани равнонаклоненны к основанию, боковые грани образуют равные углы
с высотой правильной пирамиды.
Обратим внимание на задачи в учебнике. Какие пирамиды рассматриваются в
большинстве задач?
Ученики: В большинстве задач рассматриваются пирамиды, в основание которых
лежат неправильные многоугольники.
Учитель: Значит, нужно выявить свойства неправильных пирамид, чтобы выяснить
взаимное расположение их элементов, которые будут необходимы при решение
задач.Цель урока является выявление видов неправильных пирамид и их свойств.
II.
Содержательный этап.
Решим задачу: Дан треугольник АВС и точка Д вне плоскости этого треугольника.
Точка Д равноудалена от вершин А и В. Выяснить, в какую точку плоскости АВС
проектируется точка Д.
Дано: ∆АВС; т.Д∉ (АВС). т.Д равноудалена от А и В.
Выяснить: в какую точку плоскости (АВС) проектируется т.Д.
Решение:
Допустим т.Н – проекция т.Д на (АВС). Следовательно ДН⊥(АВС)
Рассмотрим ∆ДАН и ∆ДВН: они прямоугольные; АД=ВД; НД – общая.
Следовательно ∆ДАН=∆ДВН.
Так как ∆ДАН=∆ДВН, то АН=ВН. Следовательно ∆АНВ – равнобедренный и т.Н –
вершина, из которой выходит медиана и гипотенуза, то есть т.Н лежит на серединном
перпендикуляре к стороне АВ.
Ответ: проекция точки Д на плоскость треугольника АВС принадлежит серединному
перпендикуляру отрезка АВ.
Из равенства треугольников ДАН и ДВН можно выделить еще два равенства:
∠ДАН=∠ДВН. Это углы между наклонными АД и ВД и плоскостью (АВС).
∠АДН=∠ВДН. Это углы между наклонными АД и ВД и перпендикуляром ДН.
Мы получили несколько условий:
Точка Д равноудалена от вершин А и В;
Точка Д проектируется на серединный перпендикуляр к отрезку АВ;
Наклонными АД и ВД равнонаклонены к плоскости АВС;
Наклонными АД и ВД равнонаклонены к перпендикуляру ДН.
В нашей задаче выполнялось первое условие, а мы доказали, что выполняются
следующие три.
Допустим, что выполняется, например, третье условие. Другие условия будут
выполняться, исходя из равенства треугольников ДАН и ДВН. Получаем, что, если
выполняется одно из данных четырех условий, то выполняются и остальные условия.
Такие условия называются равносильными.
Если мы соединим точки Д и С, то получим тетраэдр ДАВС. Допустим, что все
боковые ребра тетраэдра равны. Из этого выведем равносильные условия, опираясь
на равносильные условия предыдущей задачи.
Все три треугольника АДН, ВДН и СДН равны, а значит точка Н лежит на
пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС.
То есть точка Д проектируется в центр описанной окружности основания.
Все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания и к высоте пирамиды.
Таким образом, получаем один из видов неправильных пирамид – пирамида, вершина
которой проектируется в центр описанной окружности основания.
Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности основания тогда и
только тогда, когда:
Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания;
Боковые ребра пирамиды равны;
Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания;
Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.
Учитель: Решим задачу. Дан ⊿ АВС и точка Д вне плоскости этого треугольника.
Точка Д равноудалена от прямых АВ и АС. Выясните, в какую точку плоскости АВС
проектируется точка Д.
Дано: ⊿ АВС,
Д∉ (АВС),
d(Д, АВ) = d(Д, АС)
Выяснить, в какую точку плоскости АВС проектируется точка Д.
Решение.
Учитель: Что означает точка Д равноудалена от прямых АВ и АС?
Ученики: Проводится перпендикуляр из т. Д к АВ и АС - ДК и ДМ, тогда ДК = ДМ.
Учитель: Рассмотрим т. Н – проекция т Д на плоскость АВС. Что можно сказать про
⊿ ДНК и ⊿ ДНМ?
Ученики: ⊿ ДНК = ⊿ ДНМ (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников
следует, что НК = НМ.
Учитель: К какому множеству точек принадлежит точка Н?
Ученики: Биссектриса.
Учитель: Что еще можем сказать про НК и НМ?
Ученики: ДН – проекция, ДК – наклонная, ДН ⊥ КН, ДК ⊥ АВ, то по теореме,
обратной теореме о трех перпендикулярах, КН ⊥ АВ.
ДН – проекция, ДК – наклонная, ДН ⊥ КМ, ДМ ⊥ АВ, то по теореме, обратной
теореме о трех перпендикулярах, КМ ⊥ АС.
Учитель: Что можем сказать про ⊿ ДКА и ⊿ ДМА ?
Ученики: ⊿ ДКА и ⊿ ДМА - прямоугольные:
ДК = ДМ
ДА – общая.
⊿ ДКА = ⊿ ДМА (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует:
∠ДАК = ∠ДАМ.
Учитель: Исходя из этого, можно сделать вывод, что проекция точки Д на плоскость
АВС принадлежит биссектрисе ∠ САВ. Но это не полный вывод, который можно
сделать по задаче. Из условия задачи так же следует, что т. Д может проектироваться
на продолжение биссектрисы ∠ САВ , если ∠ДАВ = ∠ДАС >90° ,или биссектрису
одного из внешних углов ⊿ АВС при вершине А, ⊿ДКН=⊿ДМК, следовательно
плоскости (ДАВ) и (ДАС) равно наклонены к плоскости (АВС). ∠КДН=∠МДН, тогда
получим, что плоскости (ДАВ) и (ДАС) равно наклонены к перпендикуляру ДН. Но в
дальнейшем нас будет больше интересовать именно первый случай, поэтому
остановимся подробнее на нем.
Получаем следующие равносильные условия для пирамиды , вершина которой
проектируется в центр вписанной окружности основания:
т. Д равноудалена от прямых АВ и АС (∠ДАВ = ∠ДАС<90°);
т. Д проектируется на биссектрису ∠ САВ;
∠ДАВС = ∠ДАСВ<90°;
(ДАВ) и (ДАС) равнонаклонены к перпендикуляру ДН;
Наклонная ДА образует равные острые углы со сторонами АВ и АС.
Вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности основания тогда и
только тогда, когда :
Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания;
Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания;
Каждое боковое ребро пирамиды образует равные углы со смежными сторонами
основания;
Боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию;
Боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.
Такая пирамида обладает следующими свойствами:
1.
Sбок.пов.=
Росн *h, где h – высота боковой грани, проведенная из вершины
пирамиды;
2.
Sбок.пов = , где - двугранный угол при основании пирамиды.
III. Рефлексивно-оценочный этап.
Учитель: Какие пирамиды мы изучили?
Ученики: Пирамида, вершина которой проектируется в центр описанной и
вписанной окружности основания.
Учитель: Какими свойствами обладает пирамида, вершина которой проектируется в
центр описанной окружности основания?
Ученики: Вершина пирамиды проектируется в центр описанной окружности
основания тогда и только тогда, когда:
Высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания;
Боковые ребра пирамиды равны;
Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания;
Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.
Учитель: Какими свойствами обладает пирамида, вершина которой проектируется в
центр вписанной окружности основания?
Ученики: Вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности
основания тогда и только тогда, когда :
Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания;
Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания;
Каждое боковое ребро пирамиды образует равные углы со смежными сторонами
основания;
Боковые грани пирамиды равнонаклонены к основанию;
Боковые грани пирамиды равнонаклонены к высоте пирамиды.
Учитель: Как найти площадь боковой поверхности пирамиды, вершина которой
проектируется в центр вписанной окружности основания?
Ученики: Sбок.пов.= 1/2 Росн *h, где h – высота боковой грани, проведенная из
вершины пирамиды;
Sбок.пов = S_осн/cos⁡α , где α - двугранный угол при основании
пирамиды.
Учитель: Домашнее задание.
Доказать свойства пирамиды, вершина которой проектируется в центр вписанной
окружности.
№250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120 о.
боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45о. Найти площадь
основания пирамиды.
о
Дано: ДАВС – пирамида, АВС равнобедренный треугольник (
), ДО –
о
высота, ДО=16 см, ∠АДО=∠ВДО=∠СДО=45 (*)
Найти: Sосн.
Решение:
1. Из условия (*) следует, что вершина Д проектируется в центр описанной
окружности основания АВС.
2. Пусть R – радиус описанной окружности, тогда R=0,5АС/sin ∠В
R=0,5АСsin120o=
3. Из ДОВ: ВО=ДО tg45o=ДО=16 (см)
Но ВО=R=AC (√3)/3=16 (см), следовательно, АС=16
4. Sосн.=
(см).
АВ*ВС*sin∠В
5. АМ= , АВ=
=
6. Sосн.=
Ответ: 64√3см2.
АС
(см)
(см2).
Канва – таблица.
Виды неправильных пирамид и их свойства
Вершина пирамиды
проектируется в центр
вписанной окружности
основания
Вершина пирамиды
проектируется в центр
описанной окружности
основания
тогда и только тогда, когда:
Виды
неправильных
призм
Высота пирамиды
проходит через центр
вписанной окружности
основания;
Вершина пирамиды
равноудалена от сторон
основания;
Каждое боковое ребро
пирамиды образует
равные углы со
смежными сторонами
основания;
Боковые грани
пирамиды
равнонаклонены к
основанию;
Боковые грани
пирамиды
равнонаклонены к
высоте пирамиды.
Высота пирамиды проходит
через центр описанной
окружности основания;
Боковые ребра пирамиды
равны;
Боковые ребра пирамиды
равнонаклонены к
плоскости основания;
Боковые ребра пирамиды
равнонаклонены к высоте
пирамиды.
Свойства:
Sбок.пов.= 1/2 Росн *h,
где h – высота боковой
грани, проведенная из
вершины пирамиды;
Sбок.пов = S_осн/cos⁡α
, где α - двугранный
угол при основании
пирамиды.