Теоретические вопросы. Укажите, в чем состоят условия, характеризующие наряду с формой,
advertisement
Теоретические вопросы. 2. Укажите, в чем состоят условия, характеризующие наряду с формой, размерами и физическими параметрами однозначность стационарного теплообмена твердого тела. Условия однозначности стационарного теплообмена твердого тела: 1. Геометрические условия определяют форму и размеры области, а также направление главных осей анизотропии. 2. Физические условия задают существенные для описания процесса физические параметры среды: ρСp, λ и их зависимость от температуры, а также распределение источника тепловыделения qv и время релаксации*. 3. Граничные условия – определяют особенности протекания процесса на границах области. *Время релаксации τр – из уточнения закона Био-Фурье для быстропротекающих процессов: 𝑞⃗ = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇 − τр ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑞 dτ 14. Изобразите графически распределение температур в трехслойной плоской стенке для случая λ 1> λ 2> λ 3 . Объясните различия в полях температур каждого слоя. Согласно закону Био-Фурье, тепловой поток на единицу поверхности, равен: 𝑞𝐹 = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇 Для случая плоской геометрии (пластина, стенка) градиент можно заменить на производную: 𝑞𝐹 = −𝜆 𝑑𝑡 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝛿 =𝜆 = ,𝑅 = 𝑑𝑥 𝛿 𝑅 𝜆 T1, T2-температуры стенок, 𝛿 - толщина пластины. R – термическое сопротивление пластины. Зависимость температуры от координаты –линейная: 𝑞𝐹 = −𝜆 𝑑𝑡 = − 𝑡=− 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑞𝐹 𝑑𝑥 𝜆 𝑞𝐹 𝑥 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜆 Для трехслойной стенки: Тепловой поток 𝑞𝐹 сохраняется. 𝑞𝐹 = 𝑇1−𝑇2 𝑅1 = 𝑇2−𝑇3 𝑅2 = 𝑇3−𝑇4 . 𝑅1 𝑅3 𝛿1 𝛿2 𝛿3 = 𝜆1, 𝑅2 = 𝜆2, 𝑅3 = 𝜆3. В случае равной толщины каждого слоя (𝛿1 = 𝛿2 = 𝛿3), имеем: 𝜆 1 > 𝜆2 > 𝜆3 → 𝑅1 < 𝑅2 < 𝑅3 → ∆𝑇1 < ∆𝑇2 < ∆𝑇3 ∆𝑇1 = 𝑇1 − 𝑇2, ∆𝑇2 = 𝑇2 − 𝑇3, ∆𝑇3 = 𝑇3 − 𝑇4 Т.е. для слоя c большей теплопроводность 𝜆, имеет место меньший перепад температур ∆𝑇. T T1 T2 T3 λ1 T4 λ2 λ3 x δ δ δ 38. Какие известны способы задания граничных условия для дифференциального уравнения теплопроводности? Типы граничных условий: 1. 1-го рода. Задают распределение температуры на поверхности тела. 𝑡(𝑟⃗ = 𝑟⃗𝐹 ) = 𝑡𝐹 (𝑟⃗𝐹 ) Индексом F обозначены значения на границе тела. 2. 2-го рода. Задают распределение тепловой нагрузки поверхности (определяют количество тепла, которое выходит из тела). 𝑑𝑡 𝑞𝐹 = −𝜆 𝑑𝑛 3. 3-го рода. Основаны на законе Ньютона: 𝑞𝐹 = 𝛼(𝑡𝐹 − 𝑡ж ) 𝑡ж − температура жидкости(газа), омывающей стенку. 𝛼 − коэффициент теплоотдачи. 4. 4-го рода. Условия сопряжения температурных полей(сколько тепла выходит из одного тела, столько же попадает в другое тело). −𝜆1 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 = 𝜆2 𝑑𝑛 𝑑𝑛 В случае идеального теплового контакта между тела, справедливо(такой контакт имеет место, если 2-ая среда - жидкость или газ): 𝑡1𝐹 = 𝑡2𝐹 5. Нелинейные граничные условия. Основаны на соотношении вида: 𝑞𝐹 = 𝐴(𝑡𝐹 − 𝑡ж )𝑛 , 𝑛≠1 Такое возможно, когда на поверхности тела имеется естественная конвекция (n=1.25 .. 1.33), при конденсации или кипении( n=3.33). Также, реализуется при охлаждении за счет лучеиспускания: 𝑞𝐹 = 𝜀С0 (𝑡1𝐹 4 − 𝑡2𝐹 4 ) ε – приведенная степень черноты пары тел. Задачи. 2. Определить суточную потерю тепла на участке в 30 пог.м паропровода. Паропровод, наружный диаметр которого 30 мм, покрыт слоем теплоизоляции толщиной 50 мм с коэффициентом теплопроводности 0.07 Вт мК . Температура стенки паропровода 180 °С, наружного слоя изоляции 32 °С. Согласно закону Био-Фурье, тепловой поток на единицу поверхности, равен: 𝑞𝐹 = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇 Связь теплового потока на единицу поверхности и единицу длины: 𝑞𝐹 = 𝑞𝑙 Вт , [𝑞𝑙 ] = 2𝜋𝑟 м 𝑞𝑙 𝑑𝑇 = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇 = −𝜆 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑇2 𝑟2 ∫ 𝑑𝑇 = ∫ 𝑇1 𝑟1 𝑞𝑙 𝑑𝑟 2𝜆𝜋𝑟 𝑇1 − 𝑇2 = 𝑞𝑙 𝑟2 𝑙𝑛 𝑟1 2𝜋𝜆 Температура стенки паропровода 𝑇1 = 180 °С, температура наружного слоя изоляции 𝑇2 = 32 °С. Вт Диаметр паропровода 𝑑1 = 30мм = 0.03м, изоляции – 𝑑2 = 50мм = 0.05м. 𝜆 = 0.07 м К. Длина паропровода 𝑙 = 30 м. Время 𝑡 = 1сут = 24ч = 1440мин = 86400с 𝑞𝑙 = 2𝜋𝜆(𝑇1 − 𝑇2) 2 ∙ 𝜋 ∙ 0.07 ∙ (180 − 32) Вт = = 127.429 𝑑2 0.05 м 𝑙𝑛 𝑙𝑛 0.03 𝑑1 Тепловой поток: 𝑄 = 𝑞𝑙 ∙ 𝑙 = 127.429 ∙ 30 = 3822.87 Вт Выделившаяся энергия за сутки: 𝑊 = 𝑄 ∙ 𝑡 = 3822.87 ∙ 86400 = 330295968Дж ≈ 330.3 кДж 14. Температура наружной поверхности изоляции паропровода равна 42°С, температура окружающей среды 20°С. После покрытия изоляции алюминиевой краской с малой излучательной способностью коэффициент теплоотдачи в окружающую среду уменьшился вдвое, а температура поверхности изоляции стала равной 53°С. Как изменились теплопотери через изоляцию в окружающую среду? 𝑇ст1 = 42 °С, 𝑇ст2 = 53 °С, 𝑇ж = 20 °С, 𝛼1 𝑞𝑙1 = 2, =? 𝛼2 𝑞𝑙2 По закону Ньютона для теплоотдачи: 𝑞𝐹 = 𝛼(𝑡ст − 𝑡ж ) 𝑞𝑙 = 𝛼(𝑡ст − 𝑡ж ) 2𝜋𝑟 𝑞𝑙 = 2𝜋𝑟𝛼(𝑡ст − 𝑡ж ) 𝑞𝑙1 2 ∙ 𝜋𝑟 ∙ 𝛼1 ∙ (𝑡ст1 − 𝑡ж ) 𝛼1 ∙ (𝑡ст1 − 𝑡ж ) = = 𝑞𝑙2 2 ∙ 𝜋𝑟 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑡ст2 − 𝑡ж ) 𝛼2 ∙ (𝑡ст2 − 𝑡ж ) 𝑞𝑙1 2 ∙ (42 − 20) 4 = = 𝑞𝑙2 53 − 20 3 Теплоотдача ухудшилась в 1.333 раза. 38. Регенеративный теплообменник заполнен шарами диаметром 30 мм из двуокиси циркония. Определить разность температур между поверхностью и центром шара через 3 минуты после начала нагревания шара в потоке газа, имеющего температуру 2000°С.. Начальная температура шара 1300°С, коэффициент теплоотдачи от потока к поверхности шара 80 циркония 2 Вт мК Вт м2 К . Коэффициент теплопроводности двуокиси , удельная теплоемкость 0.59 𝑟 = 15мм = 0.015м, 𝑡 = 3мин = 180с, 𝛼 = 80 кДж кг К , плотность 5600 кг м3 Вт Вт кДж кг ,𝜆 = 2 , 𝐶𝑝 = 0.59 , 𝜌 = 5600 3 , 2 м К мК кг К м 𝑇0 = 1300°С, 𝑇г = 2000°С По определению, числа Био и Фурье для шара: 𝐵𝑖 = 𝛼∙𝑟 𝜆∙𝑡 , 𝐹𝑜 = 𝜆 𝜌 ∙ 𝐶𝑝 ∙ 𝑟 2 Для исходных данных: 𝐵𝑖 = 80 ∙ 0.015 2 ∙ 180 = 0.6, 𝐹𝑜 = = 0.48 2 5600 ∙ 590 ∙ 0.015 ∙ 0.015 Избыточная температура: 𝜃(𝑟, 𝑡) = . 𝑇(𝑟, 𝑡) − 𝑇0 𝑇г − 𝑇0 Находим избыточные температуры в центре и на поверхности шара при фиксированных значениях чисел Био и Фурье по таблицам из справочника (Лыков А.В. «Теория теплопроводности», изд. «Высшая школа»,1967г, стр. 229-230): 𝜃центр ≈ 0.45, 𝜃пов ≈ 0.55 𝑇пов − Тц = (𝜃пов − 𝜃центр )(𝑇г − 𝑇0) = (0.55 − 0.45)(2000 − 1300) = 70°С Разность температур поверхности и центра шара через три минуты примерно равна 70°С.
