Теоретические вопросы. Укажите, в чем состоят условия, характеризующие наряду с формой,

реклама
Теоретические вопросы.
2. Укажите, в чем состоят условия, характеризующие наряду с формой,
размерами и физическими параметрами однозначность стационарного
теплообмена твердого тела.
Условия однозначности стационарного теплообмена твердого тела:
1. Геометрические условия определяют форму и размеры области, а также направление
главных осей анизотропии.
2. Физические условия задают существенные для описания процесса физические параметры
среды: ρСp, λ и их зависимость от температуры, а также распределение источника
тепловыделения qv и время релаксации*.
3. Граничные условия – определяют особенности протекания процесса на границах
области.
*Время релаксации τр – из уточнения закона Био-Фурье для быстропротекающих процессов:
𝑞⃗ = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇 − τр
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑞
dτ
14. Изобразите графически распределение температур в трехслойной
плоской стенке для случая λ 1> λ 2> λ 3 . Объясните различия в полях
температур каждого слоя.
Согласно закону Био-Фурье, тепловой поток на единицу поверхности, равен:
𝑞𝐹 = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇
Для случая плоской геометрии (пластина, стенка) градиент можно заменить на производную:
𝑞𝐹 = −𝜆
𝑑𝑡
𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2
𝛿
=𝜆
=
,𝑅 =
𝑑𝑥
𝛿
𝑅
𝜆
T1, T2-температуры стенок, 𝛿 - толщина пластины. R – термическое сопротивление пластины.
Зависимость температуры от координаты –линейная:
𝑞𝐹 = −𝜆
𝑑𝑡 = −
𝑡=−
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑞𝐹
𝑑𝑥
𝜆
𝑞𝐹
𝑥 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜆
Для трехслойной стенки:
Тепловой поток 𝑞𝐹 сохраняется. 𝑞𝐹 =
𝑇1−𝑇2
𝑅1
=
𝑇2−𝑇3
𝑅2
=
𝑇3−𝑇4
. 𝑅1
𝑅3
𝛿1
𝛿2
𝛿3
= 𝜆1, 𝑅2 = 𝜆2, 𝑅3 = 𝜆3.
В случае равной толщины каждого слоя (𝛿1 = 𝛿2 = 𝛿3), имеем:
𝜆 1 > 𝜆2 > 𝜆3 → 𝑅1 < 𝑅2 < 𝑅3 → ∆𝑇1 < ∆𝑇2 < ∆𝑇3
∆𝑇1 = 𝑇1 − 𝑇2,
∆𝑇2 = 𝑇2 − 𝑇3,
∆𝑇3 = 𝑇3 − 𝑇4
Т.е. для слоя c большей теплопроводность 𝜆, имеет место меньший перепад температур ∆𝑇.
T
T1
T2
T3
λ1
T4
λ2
λ3
x
δ
δ
δ
38. Какие известны способы задания граничных условия для
дифференциального уравнения теплопроводности?
Типы граничных условий:
1. 1-го рода. Задают распределение температуры на поверхности тела.
𝑡(𝑟⃗ = 𝑟⃗𝐹 ) = 𝑡𝐹 (𝑟⃗𝐹 )
Индексом F обозначены значения на границе тела.
2. 2-го рода. Задают распределение тепловой нагрузки поверхности (определяют количество
тепла, которое выходит из тела).
𝑑𝑡
𝑞𝐹 = −𝜆
𝑑𝑛
3. 3-го рода. Основаны на законе Ньютона:
𝑞𝐹 = 𝛼(𝑡𝐹 − 𝑡ж )
𝑡ж − температура жидкости(газа), омывающей стенку.
𝛼 − коэффициент теплоотдачи.
4. 4-го рода. Условия сопряжения температурных полей(сколько тепла выходит из одного
тела, столько же попадает в другое тело).
−𝜆1
𝑑𝑡1
𝑑𝑡2
= 𝜆2
𝑑𝑛
𝑑𝑛
В случае идеального теплового контакта между тела, справедливо(такой контакт имеет место,
если 2-ая среда - жидкость или газ):
𝑡1𝐹 = 𝑡2𝐹
5. Нелинейные граничные условия. Основаны на соотношении вида:
𝑞𝐹 = 𝐴(𝑡𝐹 − 𝑡ж )𝑛 ,
𝑛≠1
Такое возможно, когда на поверхности тела имеется естественная конвекция (n=1.25 .. 1.33), при
конденсации или кипении( n=3.33). Также, реализуется при охлаждении за счет лучеиспускания:
𝑞𝐹 = 𝜀С0 (𝑡1𝐹 4 − 𝑡2𝐹 4 )
ε – приведенная степень черноты пары тел.
Задачи.
2. Определить суточную потерю тепла на участке в 30 пог.м
паропровода. Паропровод, наружный диаметр которого 30 мм, покрыт
слоем теплоизоляции толщиной 50 мм с коэффициентом
теплопроводности 0.07
Вт
мК
. Температура стенки паропровода 180 °С,
наружного слоя изоляции 32 °С.
Согласно закону Био-Фурье, тепловой поток на единицу поверхности, равен:
𝑞𝐹 = −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇
Связь теплового потока на единицу поверхности и единицу длины:
𝑞𝐹 =
𝑞𝑙
Вт
, [𝑞𝑙 ] =
2𝜋𝑟
м
𝑞𝑙
𝑑𝑇
= −𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇 = −𝜆
2𝜋𝑟
𝑑𝑟
𝑇2
𝑟2
∫ 𝑑𝑇 = ∫
𝑇1
𝑟1
𝑞𝑙
𝑑𝑟
2𝜆𝜋𝑟
𝑇1 − 𝑇2 = 𝑞𝑙
𝑟2
𝑙𝑛 𝑟1
2𝜋𝜆
Температура стенки паропровода 𝑇1 = 180 °С, температура наружного слоя изоляции 𝑇2 = 32 °С.
Вт
Диаметр паропровода 𝑑1 = 30мм = 0.03м, изоляции – 𝑑2 = 50мм = 0.05м. 𝜆 = 0.07 м К. Длина
паропровода 𝑙 = 30 м. Время 𝑡 = 1сут = 24ч = 1440мин = 86400с
𝑞𝑙 =
2𝜋𝜆(𝑇1 − 𝑇2) 2 ∙ 𝜋 ∙ 0.07 ∙ (180 − 32)
Вт
=
= 127.429
𝑑2
0.05
м
𝑙𝑛
𝑙𝑛
0.03
𝑑1
Тепловой поток:
𝑄 = 𝑞𝑙 ∙ 𝑙 = 127.429 ∙ 30 = 3822.87 Вт
Выделившаяся энергия за сутки:
𝑊 = 𝑄 ∙ 𝑡 = 3822.87 ∙ 86400 = 330295968Дж ≈ 330.3 кДж
14. Температура наружной поверхности изоляции паропровода равна 42°С,
температура окружающей среды 20°С. После покрытия изоляции
алюминиевой краской с малой излучательной способностью коэффициент
теплоотдачи в окружающую среду уменьшился вдвое, а температура
поверхности изоляции стала равной 53°С. Как изменились теплопотери
через изоляцию в окружающую среду?
𝑇ст1 = 42 °С, 𝑇ст2 = 53 °С, 𝑇ж = 20 °С,
𝛼1
𝑞𝑙1
= 2,
=?
𝛼2
𝑞𝑙2
По закону Ньютона для теплоотдачи:
𝑞𝐹 = 𝛼(𝑡ст − 𝑡ж )
𝑞𝑙
= 𝛼(𝑡ст − 𝑡ж )
2𝜋𝑟
𝑞𝑙 = 2𝜋𝑟𝛼(𝑡ст − 𝑡ж )
𝑞𝑙1 2 ∙ 𝜋𝑟 ∙ 𝛼1 ∙ (𝑡ст1 − 𝑡ж ) 𝛼1 ∙ (𝑡ст1 − 𝑡ж )
=
=
𝑞𝑙2 2 ∙ 𝜋𝑟 ∙ 𝛼2 ∙ (𝑡ст2 − 𝑡ж ) 𝛼2 ∙ (𝑡ст2 − 𝑡ж )
𝑞𝑙1 2 ∙ (42 − 20) 4
=
=
𝑞𝑙2
53 − 20
3
Теплоотдача ухудшилась в 1.333 раза.
38. Регенеративный теплообменник заполнен шарами диаметром 30 мм
из двуокиси циркония. Определить разность температур между
поверхностью и центром шара через 3 минуты после начала нагревания
шара в потоке газа, имеющего температуру 2000°С.. Начальная
температура шара 1300°С, коэффициент теплоотдачи от потока к
поверхности шара 80
циркония 2
Вт
мК
Вт
м2 К
. Коэффициент теплопроводности двуокиси
, удельная теплоемкость 0.59
𝑟 = 15мм = 0.015м, 𝑡 = 3мин = 180с, 𝛼 = 80
кДж
кг К
, плотность 5600
кг
м3
Вт
Вт
кДж
кг
,𝜆 = 2
, 𝐶𝑝 = 0.59
, 𝜌 = 5600 3 ,
2
м К
мК
кг К
м
𝑇0 = 1300°С, 𝑇г = 2000°С
По определению, числа Био и Фурье для шара:
𝐵𝑖 =
𝛼∙𝑟
𝜆∙𝑡
, 𝐹𝑜 =
𝜆
𝜌 ∙ 𝐶𝑝 ∙ 𝑟 2
Для исходных данных:
𝐵𝑖 =
80 ∙ 0.015
2 ∙ 180
= 0.6, 𝐹𝑜 =
= 0.48
2
5600 ∙ 590 ∙ 0.015 ∙ 0.015
Избыточная температура:
𝜃(𝑟, 𝑡) =
.
𝑇(𝑟, 𝑡) − 𝑇0
𝑇г − 𝑇0
Находим избыточные температуры в центре и на поверхности шара при фиксированных
значениях чисел Био и Фурье по таблицам из справочника (Лыков А.В. «Теория
теплопроводности», изд. «Высшая школа»,1967г, стр. 229-230):
𝜃центр ≈ 0.45, 𝜃пов ≈ 0.55
𝑇пов − Тц = (𝜃пов − 𝜃центр )(𝑇г − 𝑇0) = (0.55 − 0.45)(2000 − 1300) = 70°С
Разность температур поверхности и центра шара через три минуты примерно равна 70°С.
Скачать