1 Маркин Д.Н. О сходящихся центральносимметричных

-1-
Маркин Д.Н.
О сходящихся центральносимметричных сферических волнах
Рассмотрим простейший вид сферических волн, а именно центральносимметричные сферические волны. Волновое уравнение сферических волн,
обладающих центральной симметрией, является одномерным, оно имеет вид
Общее решение уравнения (1) по методу Д’Аламбера ищется в следующей форме
деля левую и правую части на r, имеем
Функции
и
являются произвольными, дважды дифференцируемы-
ми по r и t, они соответствуют характеру начального возмущения среды.
С физической точки зрения данное выражение представляет собой две
бегущие в противоположных направлениях сферические волны:
расходящуюся от источника сферическую волну,
волну, сходящуюся к центру. Множитель
–
– сферическую
можно рассматривать как про-
странственный фактор изменения величины возмущения среды в поле сферических волн, наличие его является существенным отличием сферических
волн от плоских. Благодаря этому множителю величина возмущения уменьшается в расходящейся сферической волне, по мере увеличения расстояния
от центра волны, и увеличивается в волне, сходящейся к центру (при уменьшении расстояния до нуля
).
Деление выражения (2) на r, вносит неопределённость в значение функции
в точке
, поэтому решение (3) волнового уравнения сфери-
-2-
ческих волн с центральной симметрией имеет неопределённость в этой точке. Если числитель
решения (3) в точке
явля-
ется конечной величиной, то общее решение волнового уравнения стремится
к бесконечности при r→0, то есть,
при этом точка
является особой точкой (сингулярностью или точкой
разрыва второго рода) решения волнового уравнения центральносимметричных сферических волн, в этой точке величина возмущения может принять
бесконечное по модулю значение. Если числитель дроби в решении (3) стремится к нулю при r→0, то величина потенциала является конечной в точке
, при этом имеем соотношение неопределённостей вида
. Если воз-
мущение среды носит характер гармонической волны, то соотношение неопределённостей принимает вид
, то есть вид первого замечатель-
ного предела.
Чтобы избежать указанной неопределённости относительно функции
, как правило, второе слагаемое1 в общем решении (3), описывающее
сходящуюся волну, отбрасывается, например в [3, с. 65] говорится: ”…чтобы
не нарушать закона причинности, согласно которому наступление реакции не
может быть раньше действия причины, второй член в общем решении волнового уравнения сферических волн не является решением, имеющим физический смысл, поэтому его можно отбросить.” Процитированное утверждение
может считаться справедливым, только если речь идёт о рассмотрении в качестве модели излучателя точечного источника. Нужно сказать, что сходящиеся к центру сферические волны вообще рассматриваются довольно редко, в основном, в случае свободных колебаний среды в замкнутой полости
Поскольку в первую очередь именно сходящаяся к центру волна охватывает область возле начала координат, и лишь когда речь идёт о точечном источнике, расходящаяся волна также охватывает точку r=0.
1
-3-
сферической формы (например, помещение), где волны, отражаясь от жёсткой стенки, сходятся к центру полости.
Однако, когда в общем решении (3) волнового уравнения (1) отбрасывается второе слагаемое, отражающее сходящуюся к центру волну, из виду теряется важное свойство сферических волн. Можно математически строго показать, что в поле сферических волн в каждую точку пространства должно
прийти как разрежение, так и сжатие2 [1, с. 274]. Иными словами в сферической волне всегда содержатся и сжатые, и разреженные участки, даже в тех
случаях, когда начальное возмущение, например плотности или давления,
имеет один знак, сферические волны сжатия и разрежения не могут существовать по отдельности [5, с. 268; 6, с. 114]. Это свойство трудно объяснить,
если исключить из рассмотрения сходящуюся к центру сферическую волну,
то есть в правой части соотношения (3) отбросить второе слагаемое, поэтому
данный раздел посвящён рассмотрению значения сходящихся к центру сферических волн в общем решении волнового уравнения.
Поле сферических волн обладают ещё одним важным свойством: волновой импульс в сферической волне (как и в плоской) может обладать резким
началом и резким концом, после прохождения волнового импульса среда
приходит в состояние равновесие [2, с. 382;7, с. 343]. В отличие от этого цилиндрические волны могут иметь крутой передний фронт, но не имеют чёткого заднего фронта, при их прохождении в среде остаётся «шлейф» или
«след», среда не приходит в равновесное состояние после прохождения импульса цилиндрической волны, состояние среды лишь стремится к равновесному асимптотически при t→0.
Рассмотрим случай, когда в начало системы координат (
) мысленно
помещён точечный источник сферических волн. В этом случае точка
становится особой точкой в решении волнового уравнения, в ней величина
Например в случае плоских волн в каждую точку пространства может прийти либо только разрежение, либо только сжатие. Волны разрежения и сжатия могут существовать раздельно в поле
плоских волн.
2
-4-
потенциала может принимать бесконечное значение. При этом второе слагаемое в общем решении волнового уравнения центральносимметричных сферических волн, которое отражает сходящуюся волну, не имеет явного физического смысла, поэтому его можно, не совершая ошибки, не учитывать3, и
рассматривать только расходящуюся волну. Нужно сказать, что наличие источника излучения никак не отражено4 в волновом уравнении (1), оно не
охватывает своим описанием непосредственно источника.
Рассмотрим теперь в качестве излучателя сферических волн пульсирующую сферу5, которая представляет из себя материальную оболочку6 сферической формы конечных размеров, радиус которой (следовательно и объём)
изменяется во времени. При этом непосредственно в точке
нет источ-
ника возмущения среды, и данная точка является регулярной точкой решения
волнового уравнения, в ней величина потенциала должна принимать конечное значение. Чтобы при стремлении расстояния к началу координат потенциал был конечным, знаменатель правой части равенства (3) должен стремиться к нулю, получаем предел
откуда
поэтому для потенциала скорости можно написать
Потенциал скорости в сферической волне может быть представлен в виде суперпозиции двух одинаковых бегущих навстречу друг другу волн, или в
Поскольку решение волнового уравнения имеет смысл только вне материи источника, а точка
и некоторая её окрестность заняты источником.
4
Так как волновое уравнение (1) является однородным (его свободный член равен нулю). Для
описания наличия источника в данное уравнение нужно было бы ввести отличный от нуля хотя бы
в ограниченной области пространства свободный член [3, с. 549].
5
Нужно сказать, что пульсирующая сфера, как и точечный источник, является моделью, нежели
реальным физически реализуемым излучателем.
6
Будем считать, что сфера заполнена таким же веществом, как окружающее её пространство.
3
-5-
виде стоячих волн.
Можно прийти к этому результату и другим путём. Если в начале координат нет источника излучения, то поток векторного поля через сферическую
поверхность, стягивающуюся в точку
, должен стремиться к нулю.
Обозначим поток вектора скорости через ψ. Из теории векторного поля известно, что поток вектора скорости определяется формулой
где интеграл понимается как поверхностный,
– вектор скорости, S – пло-
щадь поверхности, через которую определяется поток, в нашем случае рассматривается поток через замкнутую сферическую поверхность бесконечно
малого размера. Считаем, что поток симметричен относительно начала координат, поэтому он является равномерным, и можно вынести вектор скорости
из-под знака интеграла, при этом получим
Учитывая связь между вектором скорости и потенциалом скорости
, поэтому для потока вектора скорости имеем
При стремлении радиуса к нулю для потока вектора скорости получаем
предел
Подставляя в эту формулу решение (3) волнового уравнения, найдём,
что
Опять приходим к соотношению (4), которое должно учитываться при
определении состояния движения в безграничной среде, возникающего при
-6-
произвольных начальных условиях, сферическисимметричных относительно
начала координат.
Используя формулу Пуассона можно показать, что значение потенциала
скорости в поле центральносимметричных сферических волн в начале координат
определяется возмущением на сферической поверхности пере-
менного радиуса [4, с. 161-162].
Рассмотрим пример, когда в некоторый момент времени задано постоянное начальное сжатие в объёме, ограниченном сферой произвольного радиуса R, в следующие после начального моменты времени от центра и к центру возмущённой области начнут распространяться две бегущие волны: расходящаяся волна сжатия, и сходящаяся волна разрежения7. Когда сходящаяся
волна достигает центра симметрии (это произойдёт через время
), она
отражается от него и начинает распространяться расходящаяся волна того же
знака8, что была сходящаяся волна, при этом меняется только знак в аргументе функции, описывающей волновой процесс. Запаздывание между максимумами волны сжатия и волны разрежения составляет
, которое по-
требуется волне сжатия, чтобы преодолеть расстояние от поверхности сферы
до центра и после отражения обратно. Если при рассмотрении данного примера в описании распространения возмущения отбросить сходящуюся к центру сферическую волну, в итоге будут сделаны неверные выводы о картине
процесса.
Очевидно, что начало координат
и сходящиеся волны занимают
особое место в теории сферических волн, на что редко обращается внимание.
Хоть в реальных физических условиях сферические волны практически
никогда не бывают строго симметричными относительно центра, тем не менее, при распространении сферических волн сохраняется рассмотренный ха-
Знак возмущения в волне того или иного направления определяется начальными условиями.
Лишний раз подчеркнём, что имеется в виду знак возмущения среды, а не знак направления распространения волны.
7
8
-7-
рактер происходящих процессов.
-8-
Литература
1. Исакович М.А. Общая акустика. – М.: Наука, 1973. – 496 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Уч. пособие: Для вузов.
В 10 томах. Т. VI Гидродинамика. – 5-е издание, стереотипное. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 736 с.
3. Thomas D. Rossing( ed.) Springer Handbook of Acoustics. – New York, Springer. 2007. – 1182 p.
4. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Л.: Издательство «Судостроение», 1972. – 376 с.
5. Лэмб Г. Динамическая теория звука. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. – 372 с.
6. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей) Теория звука. В 2-х томах. Изд. 2-е. Том 2. –
М.: Гостехиздат, 1955. – 476 с.
7. Морз Ф. Колебания и звук. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. – 496 с.
8. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2. Изд. двадцать первое, стереотипное. – М.: Наука, 1974. – 656 с.
9. Kinsler Lawrence E., et al. Fundamentals of Acoustics. 4-th ed. – John Wiley &
Sons, 2000. – 567 p.