Теоретический материал: Уравнение Слуцкого Для описания

Теоретический материал: Уравнение Слуцкого
Для описания декомпозиции изменения маршаллианского спроса в аналитической форме
часто используется т.н. уравнение (или тождество) Слуцкого.
Чтобы упростить наши выкладки, будем считать, что:
- потребителю доступны два блага (1 и 2),
- его первоначальный оптимальный набор: ( x10 , x 20 )
- доход потребителя – I, цена первого блага – p1, цена второго блага фиксирована и
равна единице
- функция маршаллианского спроса на благо 1: x1(p1, I)
–> чтобы упростить запись, мы не записываем цену второго блага в числе
аргументов, т.к. она все равно не будет меняться
Тогда уравнение Слуцкого в простейшей форме можно записать так:
x1 ( p1 ' , I )  x1 ( p1 , I )  x1 ( p1 ' , I ' )  x1 ( p1 , I )  x1 ( p1 ' , I )  x1 ( p1 ' , I ' )

  
общее изменение спроса
эффект
замещения
эффект
(1)
дохода
ЗАМЕТИМ, что это действительно тождество: вы можете привести подобные слагаемые в
правой и левой частях уравнения, и убедиться, что оно выполняется для любых
параметров p1, p1’, I и I’!
Если обозначить каждую из разностей в фигурных скобках как соответствующую Δ (как
это делает, например, Хэл Вэриан), уравнение (1) примет вид:

x1


общее изменение спроса

x1

S
эффект
замещения


x1

N
эффект
(2)
дохода
<Нестандартный индекс N, обозначающий доход, вводится здесь лишь временно, ради
некоторого технического приема, который вы увидите ниже>
Уравнение Слуцкого часто представляют в виде отношений изменений. Разделим обе
части уравнения (2) на Δp1:
x1 x1
x

 1
p1
p1
p1
S
N
(3)
Теперь давайте преобразуем последнее слагаемое в правой части уравнения (3). При
декомпозиции по Слуцкому, компенсация должна позволить потребителю при новых
ценах приобрести свой первоначальный набор, то есть:
ΔI = I’ – I = x1Δp1 = x1(p1’ – p1)

p1 
I
x1
Подставив это в знаменатель последнего слагаемого уравнения (3), получим:
x1 x1
x

 1 x1
p1
p1
I
S
N
(4)
Рассматривая бесконечно малые изменения p1 и I, мы могли бы записать это уравнение в
первых производных.
Вначале, рассмотрим левую часть уравнения (4):
x1
x ( p ' , I )  x1 ( p1 , I ) x1 ( p1 , I )
lim
 lim 1 1

p1 0 p
p1 0
p
'

p
p1
1
1
1
(5)
Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части уравнения (4):
x1S
x ( p ' , I ' )  x1 ( p1 , I )
lim
 lim 1 1
p1 0 p
p1 0
p1 ' p1
1
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! В отличие от выражения (5), данный предел уже нельзя
рассматривать как частную производную функции маршаллианского спроса по p1, т.к.
одновременно c p1 меняется I! 1
Выход состоит в следующем: введем функцию x1S ( p1 , x10 , x20 ) , которая будет показывать,
сколько товара 1 потребитель приобретет при цене p1 и компенсированном по Слуцкому
доходе I’ (заметим, что тогда I’ полностью задается уравнением I '  p1 x10  x20 –
поэтому-то мы и не указываем его в числе аргументов x1S !).
Тогда:
x1S
x S ( p ' , x 0 , x 0 )  x1S ( p1 , x10 , x20 ) x1S ( p1 , x10 , x20 )
 lim 1 1 1 2

p1 0 p
p1 0
p1 ' p1
p1
1
(6)
lim
 Будем называть функцию x1S ( p1 , x10 , x20 ) функцией компенсированного (по
Слуцкому) спроса на товар 1.
ЗАМЕЧАНИЕ 1: При декомпозиции по Хиксу, мы используем аналогичный
прием: вводим функцию компенсированного (по Хиксу) спроса на товар 1:
x1h ( p1 ,U ( x10 , x20 )) .
ЗАМЕЧАНИЕ 2: Поскольку в курсах продвинутого уровня практически
всегда используется именно декомпозиция по Хиксу, функцию
компенсированного спроса часто обозначают как “h”, и называют
«хиксианским спросом» (“hicksian demand”) – в противовес обычному
(«маршаллианскому»).
Наконец, рассмотрим второе слагаемое в правой части уравнения (4):
x1N
x ( p ' , I )  x1 ( p1 ' , I ' )
x ( p ' , I ' )
x1  lim 1 1
x1   1 1
x1
I  0 I
I  0
I ' I
I
lim
(7)
Имея уравнения (4), (5), (6) и (7), мы можем записать уравнение Слуцкого в
дифференциальной форме:
1
А это противоречит определению частной производной функции многих переменных.
x1 ( p1 , I ) x1S ( p1 , x10 , x 20 ) x1 ( p1 ' , I ' )


x1
p1
p1
I
(8)
ЗАМЕТИМ: между уравнениями (4) и (8) возникает некоторая натяжка: в то время как в
уравнении (4) знак перед вторым слагаемым в правой части положителен, в уравнении (8)
он отрицателен.
Формально, никакого противоречия здесь нет. ОДНАКО, чтобы СТАНДАРТИЗИРОВАТЬ
запись уравнения Слуцкого, при записи уравнения Слуцкого в дискретной форме
(уравнение (4)) экономисты рассматривают эффект дохода с обратным знаком:
Δx1I = x1 ( p1 ' , I ' )  x1 ( p1 ' , I ) = – Δx1N.
Если в уравнении (4) заменить Δx1N на Δx1I, мы получим канонический вид уравнения
Слуцкого в дискретной форме:
x1 x1
x

 1 x1
p1
p1
I
S
I
(9)
Убедительно прошу вас придерживаться именно его, т.к. это профессиональный стандарт.
Задача 1. (из прошлого семинара)
Функция полезности потребителя задана формулой U ( x1 , x2 )  x1 x2 , а бюджетное
ограничение формулой p1 x1  p2 x2  I .
а) Найдите функцию спроса и функцию компенсированного спроса потребителя.
x
б) Найдите разложение величины 1 на эффекты замещения и дохода.
p1
Задача 2. (из прошлого семинара)
Товары X и Y считаются абсолютно взаимодополняющими, и потребитель
потреблял их в соотношении две единицы Y на одну единицу X . Первоначально они
стоили 1 и 8 рублей соответственно. Доход потребителя равен 560 руб. Цена на X не
изменилась, а на Y повысилась до 14 руб. Найдите изменение спроса на товар Y в силу
эффектов замещения и дохода.
Задача 3.
Студентка, любящая шоколад, может тратить 10 долларов в день. Этот доход она
расходует на шоколад и другие товары. Переменная x обозначает количество унций
шоколада, которое она покупает в день, переменная y обозначает количество
покупаемых единиц композитного товара ценой в 1 доллар. Функция полезности
студентки U ( x, y )  2 x  y . В начале декабря шоколад стоил 0,5 доллара за унцию, но к
Рождеству подешевел и стал стоить всего 0,2 доллара. Найдите изменение потребления
шоколада в силу эффекта замещения и эффекта дохода, вызванное его удешевлением.