реферат полностью

5. Теория массового обслуживания
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой
своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО).
Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские,
билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п. Каждая СМО
состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»), которые мы будем
называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки,
кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др. СМО могут быть одноканальными и
многоканальными.
Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или
«требований»), поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание
заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время Тоб, после чего канал
освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и
времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО
скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо
покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с
недогрузкой или вообще простаивать.
В СМО происходит какой-то СП с дискретными состояниями и непрерывным
временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или
прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой
надоело ждать, покидает очередь). Чтобы дать рекомендации по рациональной
организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо
изучить СП, описать его математически. Этим и занимается теория МО.
Предмет теории массового обслуживания — построение математических моделей,
связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность,
правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками —
показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее
способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в зависимости
от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например:
среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых
каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания;
вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, и т. д. Область
применения математических методов теории МО непрерывно расширяется и все больше
выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» в буквальном
смысле слова. Как своеобразные СМО могут рассматриваться: ЭВМ, системы сбора и
обработки информации, автоматизированные производственные цеха, поточные линии,
транспортные системы, системы ПВО и т.п.
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы
— марковский. Для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из
состояния в состояние (потоки заявок, потоки «обслуживаний»), были простейшими. Если
это свойство нарушается, то математическое описание процесса становится гораздо
сложнее и довести его до явных, аналитических формул удается лишь в редких случаях.
Однако все же аппарат простейшей, марковской теории массового обслуживания может
пригодиться для приближенного описания работы СМО даже в тех случаях, когда потоки
событий — не простейшие. Во многих случаях для принятия разумного решения по
организации работы СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик —
зачастую достаточно и приближенного, ориентировочного. Причем, чем сложнее СМО,
чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются эти приближенные
формулы.
5.1. Классификация СМО и их основные характеристики
Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду
признаков. Первое деление: СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами
заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и
в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами
встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы
связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка,
пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и
ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют
большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет
второе название: «теория очередей».
СМО с очередью подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как
организована очередь—ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться
как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми
заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания»
— заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше
обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречается так называемое
обслуживание с приоритетом — некоторые заявки обслуживаются вне очереди.
Приоритет может быть как абсолютным — когда заявка с более высоким приоритетом
«вытесняет» из-под обслуживания заявку с низшим (например, пришедший в
парикмахерскую клиент высокого ранга прогоняет с кресла обыкновенного клиента), так
и относительным — когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более
высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.
Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из
нескольких последовательных этапов или «фаз» (например, покупатель, пришедший в
магазин, должен сначала выбрать товар, затем оплатить его в кассе, затем получить на
контроле).
Кроме этих признаков, СМО делятся на два класса: «открытые» и «замкнутые». В
открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама
СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО — зависят. Например, если один
рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то
интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже
неисправно и ждет наладки. Это — пример замкнутой СMO.
В зависимости от типа СМО при оценке её эффективности могут применяться те
или иные величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной
из важнейших характеристик её продуктивности является так называемая абсолютная
пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система за
единицу времени. Наряду с абсолютной, часто рассматривается относительная пропускная
способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение
среднего числа обслуживаемых
в единицу времени заявок к среднему числу
поступающих заявок за это время). Помимо этого при анализе СМО с отказами могут
интересовать ещё среднее число занятых каналов, среднее относительное время простоя
системы в целом и отдельного канала и т.д.
Характеристики СМО с ожиданиями. Для СМО с неограниченным ожиданием
абсолютные и относительные пропускные способности теряют смысл. Зато важными
являются: среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе (в очереди и
под обслуживанием), среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время
пребывания заявки в системе и другие. Для СМО с ограниченным ожиданием интерес
представляют обе группы характеристик.
Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные
параметры системы: число каналов n, интенсивность потока заявок , производительность
каждого канала (среднее число заявок  , обслуживаемых непрерывно занятым каналом в
единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).
Условимся все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние,
считать пуассоновскими.
5.2. Одноканальная СМО с отказами
Простейшая задача. Пусть СМО состоит только из одного канала (n=1) и на нее
поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , зависящей в общем случае от
времени =(t) (5.1). Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает
систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени Тоб,
распределенного по показательному закону с параметром  f(t)= e-t (t0) (5.2).
Из этого следует, что «поток обслуживаний» - простейший, с интенсивностью .
Требуется найти: абсолютную (А) и относительную (q) пропускные способности.
Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая
может находиться в одном из двух состояний: S0 – свободен, S1 – занят. Обозначим
вероятности состояний p0(t) и p1(t). Очевидно:
t p0(t)+p1(t)=1 (5.3).
Граф состояний системы

S0
По графу
Колмогорова:
состояний

системы
S1
составим
дифференциальные
уравнения
 dp0
 dt  p0  p1
 dp
 1   p1  p0
 dt
(5.4)
В соответствии с (5.3) одно уравнение в (5.4) лишнее. Отбросим второе уравнение,
а первое перепишем с учетом (5.3):
dp0
dp0
 p0   (1  p0 )
 (    ) p 0  
dt
или dt
(5.5).
Это уравнение естественно решать при начальных условиях p0(0)=1; p1(0)=0.
Уравнение (5.5) легко может быть решено не только для простейшего потока заявок
(=const), но и для случая =(t). Приведем решение (5.5) только для случая =const:
p0 





e (    ) t
.
P

p 0 (t )



p1 (t )
t
0
Для нашего случая вероятность p0 есть не что иное, как q.
Действительно, p0 есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе
вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для
данного момента времени t среднее число обслуженных заявок к числу поступивших
также равно p0: q= p0.
В пределе, при t, когда процесс обслуживания уже установится, предельное
значение q будет равно
Легко найти и
q

 .
А, зная
q. Они связаны очевидным соотношением: A  q . В
A

 .
пределе, при t, А тоже установится и будет равна
Зная q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена) легко
найти вероятность отказа: Pотк =1-q. Pотк есть не что иное, как средняя доля
Pотк  1 
необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при t




 .
5.3. Многоканальная СМО с отказами
Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы
по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с
системой). Состояния будут:
S0 – все каналы свободны;
S1 – занят ровно один канал, остальные свободны;
……
Sk – заняты ровно k каналов, остальные свободны;
…….
Sn – заняты все n каналов.
Граф состояний имеет следующий вид. Слева направо систему переводит один и
тот же поток – поток заявок с интенсивностью .

S0

S1




S2
2

Sk
3
k
Sn
(k+1)
n
Очевидно, если обслуживанием занято 2 канала, а не один, поток обслуживаний,
переводящий систему по стрелке S2S1, будет вдвое интенсивнее (2), если занято kканалов – в k раз интенсивнее (k). Процесс такого вида представляет собой частный
случай процесса гибели и размножения. Составляем уравнения Колмогорова:
dp0

 p0  p1

dt

dp1

 (   ) p1  p0  2 p2
dt

......
 dp
 k  (  k ) pk  pk 1  (k  1) pk 1
 dt
 .......
dpn

 npn  pn1

dt
(5.6).
Уравнения (5.6) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными
условиями являются:
p0(0)=1; p1(0)=p2(0)=…=pn(0)=0
Интегрировать (6) в аналитическом виде довольно сложно, на практике решают численно
с использованием ЭВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний как функции
времени: p0(t), p1(t), …, pn(t).
Больше всего интересны предельные вероятности состояний, характеризующие
установившийся режим работы СМО (при t). Воспользуемся готовым решением,
полученным для схемы гибели и размножения:

k
( /  ) k
p

p

p0
k
0



2


...
k

k
!

1

 p0 
 /  ( /  ) 2
( /  ) n
1

 ... 

1!
2!
n!

(k=1,2,..n) (5.7).
Обозначим  /    и будем называть величину  «приведенной интенсивностью» потока
заявок. Физический смысл её таков: величина  представляет собой среднее число заявок,
приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки. С учетом этого (5.7)
принимает вид:

k
p

p0
k

1
k
!
  2
n 

1
 1  
 ...  
p 
1! 2!
n! 
0
2
n


 

1 
 ... 

1! 2!
n!

(5.8). Формулы Эрланга.
Теперь можно найти характеристики эффективности СМО: q, А, Ротк.
Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность
этого равна:
Pотк  pn 
n
p0
n! .
Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же q) дополняет
Ротк до 1: q = 1-pn. И наконец: А= q=(1- pn).
Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов
(в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе).
Обозначим это среднее число k . Величину k можно вычислить непосредственно по
формуле:
k  0  p0  1 p1  ...  npn
как математическое ожидание дискретной случайной величины, принимающей значение
0,1, …n с вероятностями p0, p1…pn.
Однако значительно проще выразить k через А . А есть не что иное, как среднее
число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в
среднем за единицу времени  заявок; следовательно, среднее число занятых каналов
A  (1  pn )
k 


или k   (1  pn ) .
5.4. Одноканальная СМО с ожиданием
На СМО поступает поток заявок с интенсивностью , интенсивность обслуживания
 (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать  обслуженных заявок в
единицу времени), n=1. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в
очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что количество мест в очереди
ограничено числом m (в дальнейшем, при m можно получить характеристики
одноканальной СМО без ограничений по длине очереди). Будем нумеровать состояния
СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих
обслуживания):
S0 – канал свободен; S1 – канал занят, очереди нет; S2 – канал занят, одна заявка стоит в
очереди; Sk – канал занят, k -1 стоят в очереди; Sm+1 – канал занят, m заявок стоят в
очереди. Граф состояний (размеченный) имеет вид:
Очерединет

S0

S1




S2


Sk


Sm+1


Снова схема гибели и размножения. Пользуясь общим решением, напишем
выражения предельных вероятностей состояния:
 p1  ( /  ) p0
 p  ( /  ) 2 p
p1  p0
0
 2
p 2   2 p0
....

....
 p k  ( /  ) k p 0

p k   k p0
....
....
 p  ( /  ) m1 p
0
 m1
pm1   m1 p0
1
p 
2
m 1 1
 0 1  ( /  )  ( /  ) 2  ...  ( /  ) m1
или p0  1      ...  
(5.9).
В
знаменателе
выражения
для
р0
стоит
геометрическая
прогрессия,
суммируя её находим

p0 
(1  
1
1 

) /(1   ) 1   m 2
m 2
(5.10).

0


1
(5.10) справедливо только при
(иначе неопределенность вида 0 ). Но сумму
геометрической прогрессии со знаменателем   1 найти ещё проще, чем по (5.10); она
равна (m+2) и в этом случае p0=1/(m+2) {то же самое получится, если раскрыть
неопределенность по правилу Лапиталя}.
Определим характеристики СМО: Ротк q, А, среднюю длину очереди r , среднее
число заявок, связанных с системой k .
Очевидно, заявка получает отказ только в том случае, когда канал занят и все m
мест в очереди – тоже:
 m1 (1   )
Pотк  pm1 
1   m 2
(5.11).
q  1  Pотк  1 
 m1 (1   )
1   m 2
(5.12).
А=q. Найдем среднее число r , находящихся в очереди; определим эту величину как
математическое ожидание дискретной случайной величины R – числа заявок ,
находящихся в очереди: r  M R .
r  1 p2  2  p3  ...  (k  1) pk  ...  m  pm 1 
 1  2 p0  2   3 p0  ...  (k  1)  k p0  ...  m   m 1 p0 

  2 p0 1  2   ...  (k  1)  k  2  ...  m m 1

.
Выведем формулу для суммы. Эта сумма не что иное, как производная по  суммы
     2  ...   k 1  ...   m , а для этого выражения мы можем воспользоваться
формулой суммы геометрической прогрессии:
   m1

 1 
Продифференцируем её по  и проведя преобразования, найдем
1   m (m  1  m )
'
 
(1   ) 2
(5.13).
1   m (m  1  m )
(1   ) 2
Тогда
.
Подставляем p0 из (5.10) и получаем
(1   ) 1   m (m  1  m )  2 1   m (m  1  m )
r  2

(1   m2 )(1   ) 2
(1   m2 )(1   )
(5.14).
Выведем теперь формулу для k . Рассмотрим общее число заявок К, связанных с
системой, как сумму двух случайных величин: числа заявок, стоящих в очереди и числа
заявок, находящихся под обслуживанием: K  R   .
По теореме сложения математических ожиданий:
k  M K   M R  M   r   , где r - среднее число заявок в очереди;  - среднее
число заявок под обслуживанием. Найдем  . Т.к. канал у нас один, то случайная
величина  может принимать только два значения: 0 или 1. Значение 0 она принимает,
r   2 p0




1 
1   m 2 . Значение 1 она принимает,
если канал свободен; вероятность этого равна
   m 2
1  p0 
1   m 2 .
если канал занят; вероятность этого равна
Отсюда находим:
   m 2
  0  p0  1 (1  p0 ) 
1   m 2 .
p0 
k r
   m 2
1   m2 , где r находим из (5.14).
Выведем выражение еще для одной существенной характеристики СМО с ожиданием:
среднего времени ожидания заявки в очереди. Обозначим его t ож . Пусть заявка приходит
в систему в какой-то момент времени. С вероятностью p0 канал обслуживания не будет
занят и ей не придется стоять в очереди (tож=0). С вероятностью p1 она придет в систему
во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет
ждать начала своего обслуживания в течение времени 1/ (среднее время обслуживания
одной заявки). С вероятностью p2 в очереди перед ней будет стоять еще одна заявка и
время ожидания в среднем будет 2/ и т.д. Вообще, с вероятностью pk пришедшая заявка
застанет в системе k заявок и будет ждать в среднем k/ единиц времени (1km). При
k=m+1 (в очереди m заявок, вероятность этого pm+1) tож=0 (заявка не обслуживается).
1
2
k
m
t ож  p1  p2  ...  pk  ...  pm



.
Подставим сюда выражения для p1,p2,…pm из (5.9).
1
2
k
m p 
t ож  p0   p0  2  ...  p0  k  ...  p0  m  0 (1  2   ...  k k 1  ...  m m1 )





.
Преобразуем сумму в скобках, используя (5.13)
p  [1   m (m  1  m )]
t ож  0

(1   ) 2
Или, выражая p0 через 
1  (1   ) [1   m (m  1  m )]  1   m (m  1  m )
t ож 

 (1   m 2 )
(1   ) 2
 (1   m 2 )(1   ) .


Сравнивая это выражение с (5.14) , замечаем, что
1
r
t ож 
r

 , (5.15)
т.е. среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на
интенсивность потока заявок.
Выведем ещё одну формулу для среднего времени пребывания заявки в системе.
Обозначим случайную величину – время пребывания заявки в СМО через Тсист.. Она
складывается из двух слагаемых (тоже случайных):
Тсист.=Тож + , где Тож - время ожидания заявки в очереди,  случайная величина, равная
времени обслуживания Тоб, если заявка обслуживается и 0, если она не обслуживается
(получает
отказ).
По
теореме
сложения
математических
ожиданий:
tсист  M Tсист   М Т ож   М  ,
М Т ож   t ож ,
но
в
наших
обозначениях
а
М    q tоб  q /  . Отсюда находим: t сист  t ож  q /  или с учетом (5.15)
t сист 
r

q/
.
Формула Литтла (первая): для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом
распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания
заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.
Формула Литтла (вторая): для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом
распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания
заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.
Теперь можно рассмотреть работу одноканальной СМО с ожиданием при m
(неограниченная очередь). Совершить предельный переход m. Можно рассмотреть
работу многоканальной СМО с ожиданием. Состояние системы будем нумеровать по
числу заявок, связанных с системой:
S0 – все каналы свободны;
S1 – занят один канал, остальные свободны;
… ……
Sk – заняты k каналов, остальные свободны;
………
Sn – заняты все n каналов;
Sn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;
………
Sn+r – заняты все n каналов, r заявок в очереди;
………
Sn+m – заняты все n каналов, m заявок в очереди.
Размеченный граф состояний имеет вид
Очереди  нет

S0


S1


Sk

Sn


Sn+1


Sn+r
Sn+m
(k+1)

2
k
n
n
n
n
n
n
Написать уравнения Колмогорова. Найти вероятности состояний. В их помощью
рассчитать все интересующие величины. Затем опять можно рассмотреть и случай m.
Можно рассмотреть СМО с ограниченным временем ожидания (на каждую
1

t оч
заявку, стоящую в очереди действует как бы «поток уходов» с интенсивностью
( t оч - среднее время пребывания в очереди)).


Sn
n


Sn+1
n+

Sn+r
n+2
n+r
n+(r+1)
Существуют и другие разновидности СМО: замкнутые СМО (интенсивность
потока поступающих заявок зависит от состояния самой СМО), СМО с «взаимопомощью»
между каналами (незанятые каналы «помогают» занятому в обслуживании).