Интерференция

Волновая оптика
В волновой оптике рассматриваются оптические явление, в которых проявляется волновая природа света (явления интерференции, дифракции, поляризации и дисперсии света). Поскольку свет представляет собой электромагнитные волны, то в основе волновой оптики рассматриваются среды, линейные по своим оптическим свойствам (  и  сред не зависят от интенсивности света). Экспериментально установлено, что действие света на фотоэлемент, фото-

пластинку определяется вектором электрической напряженности E , который поэтому иногда
называют световым вектором.
Интерференция света
Интерференцией света называют пространственное перераспределение энергии
светового излучения при наложении двух или нескольких световых волн. Условием интерференции волн одной и той же частоты является их когерентность, т.е. сохранение неизменной разности фаз за время, достаточное для наблюдения. В частности монохроматические
волны когерентны и могут интерферировать.
Пусть две когерентные волны исходят в вакууме из источников S1 и S 2 . Колебания в
них направлены перпендикулярно к плоскости чертежа и наблюдения производятся в точке М.
Для простоты считаем, что обе волны имеют одинаковую амплитуду:
E1  Em cos(t  kr1  1 ) ,
E2  Em cos(t  kr2  2 ) ,
колебаний, k 
2

где r1 и r2 – расстояния от источников волн до рассматриваемой
точки пространства,  – частота
– волновое число.
Суммарное колебание:
k ( r1  r2 ) 1   2 

 k (r2  r1 ) 1   2 
E  E1  E2  2 Em cos t 

cos 


2
2
2
2 



Второй
множитель
не
зависит
от
времени,
поэтому
величину
 k (r  r )   
E  2 E cos  2 1  1 2  можно считать амплитудой результирующей волны в
m
2
2 

2
рассматриваемой точке. Интенсивность  E .
Обозначим разность фаз:   k (r2  r1 )  1  2 .
Если    2 m , m = 0, 1, 2, …, то cos   1 . При этом интенсивность будет максимальной.
Если   (2m  1) , m = 0, 1, 2, …, то интенсивность имеет минимум.
Аналогично для разности
хода лучей, используя, что
k
2
,

1  2  0 ):
получаем
(при
если r2  r1  m –
максимум: разность хода равно целому числу длин волн;
если
r2  r1  (2m  1)

2 – минимум: разность хода равна нечетному числу полуволн.
Для оптической разности хода:
Оптическая разность хода:
  n2 S2  n1S1 L 2 L1
Если:
  mO
(m  0,1,2,...) – наблюдается максимум;

  (2m  1) O (m  0,1,2,...) – наблюдается минимум.
2

  0 ; 0 – длина волны в вакууме.
n
Рассмотрим два когерентных источника S1 и S2, находящихся на расстоянии d друг от
друга:
Х
X
∆x
∆x
s1
x
s2
S1
d/2
d
S2
d/2
J-интенсивность
l
d
d
S12  l 2  ( x  ) 2 ; S 22  l 2  ( x  ) 2 ;
2
2
2
2
S 2  S1  ( S 2  S1 )( S 2  S1 )  2 xd .
Для
получения
четкой
(S 2  S1 )  2l . И, следовательно: ( S 2  S1 ) 
xmax d
;
l
l
 m  ,
d
 m0  n
0  n
xmax
где  
xmin   (2m  1)
l
.
2d
0
n
x, d  l .
xd
  n( S 2  S 1 )  n
;
l
интерференционной
xd
;
l
картины:
Тогда
Расстояние между интерференционными полосами равно ширине интерференционных
полос и равно x 
l
.
d
Временная и пространственная когерентность
Различают временную и пространственную когерентность
Рассмотренный ранее процесс интерференции является идеализацией, поскольку монохроматическая волна
E  Em cos(t  kr   ) ,
Em , ,   const
являются абстракцией. Всякая реальная волна образуется наложением колебаний всевозможных частот или длин волн, заключенных в конечном интервале частот  . Амплитуда E m и
фаза  претерпевают со временем хаотические изменения. Поэтому колебания, возбуждаемые
в некоторой точке пространства двумя накладывающимися друг на друга световыми волнами,
имеют вид
E1m (t ) cos1 (t )t  1 (t ) ,
E2m (t ) cos2 (t )t   2 (t ) .
Считая далее амплитуды E1m и E2 m постоянными, можно изменение частоты и фазы
свести к изменению одной лишь фазы
E (t )  Em cosOt   t   O t   t   Em cosO    t ,
где  ' (t )   (t )  0 t   (t ) .
В полученной функции хаотические изменения претерпевает лишь фаза колебания. Время tког. , за которое случайное изменение фазы волны  (t ) достигает значения порядка  ,
называется временем когерентности. За это время колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится не когерентным.
Расстояние lког.  ctког. , на которое перемещается волна за время tког. называется длиной
когерентности. Длина когерентности есть то расстояние на котором случайное изменение фазы достигает значения ~  . Когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же
точке пространства, но в разные моменты времени называют временной когерентностью.
При наложение света от двух нелазерных источников интерференция не наблюдается.
Это означает, что независимые источники некогерентны, а их излучение немонохроматично.
Причины – в самом механизме излучения света атомами источника света. Возбужденный атом
излучает отдельный импульс – цуг волны – в течение короткого промежутка времени
  10 8 c . Истратив энергию на излучение атом возвращается в невозбужденное состояние.
Через определенный промежуток времени атом может вновь возбудиться, получив энергию
извне, и вновь начать излучать.
Спектр циклических частот реальной волны включает в себя циклические частоты от


2
до


. Такую волну можно приближенно рассматривать за время
2
2
как монохроматическую с циклической частотой  .

14
Например: для видимого солнечного света  ког .  10 с , для лазеров непрерывного дей-
t   ког . 
5
ствия  ког .  10 с .

 n
Поскольку k  
, то разброс  определяет и разброс модуля k (k ) . Следо
c

вательно, временная когерентность связана с разбросом модуля k .
Когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости Q , перпендикулярной направлению распространения волны, называют
пространственной когерентностью. Пространственная когерентность связана с разбросом

направлений вектора k .
Пусть свет от источника падает на две узкие щели, за которыми находится экран. Считаем, что степень временной когерентности достаточна для получения четкой интерференцион
ной картины. Угол  характеризует интервал, в котором заключены направления k .
O’
M’
φ
O
x’
φ/2
O”
M
d
φ/2
O”
O
M”
x”
O’
l
М – нулевой максимум в середине экрана, создаваемой волной, пришедшей от участка
поверхности О.
М’ – нулевой максимум, созданный волной, пришедшей от участка O’.
M” – нулевой максимум, созданный волной, пришедшей от участка O”.
Поскольку   1,
d


 1 , то: x  l  tg  l  . Нулевые максимумы от остальных
l
2
2
участков источника заключены между максимумами M’ и M”. Волны, создаваемые различными участками источника имеют фазы, никак не связанные между собой. Поэтому интерференционная картина, возникающая на экране, будет наложением картин, создаваемых каждым из
участков в отдельности. Если смещение x’ много меньше ширины интерференционной полосы
x  l 

d
, максимумы от разных участков источника накладываются друг на друга и картина
будет такой, как от точечного источника. Таким образом, условие различимости интерференционной картины запишется в виде:

l
l

или   2 .
d
2
d
Эта формула определяет угловые размеры источника, при которых наблюдается интерференция.
Отсюда можно определить наибольшее расстояние между щелями, при котором можно
наблюдать интерференцию от источника, с угловым размером  :
d 2

.

Методы наблюдения интерференции света
Основная трудность в осуществлении явления интерференции света состоит в получении
когерентных световых волн. Одна из возможностей их создания – разделить свет, излучаемых
каждым атомом источника на несколько групп волн, которые будут когерентными и при наложении будут интерферировать.
1. МЕТОД ЗЕРКАЛ ФРЕНЕЛЯ
S1
S2
α
Зеркало
А2
О
А1
r1
r2
S
D
Э
В М
С
Используются два плоских зеркала А1О и А2О, для которых угол  очень мал.
S – точечный источник.
D – непрозрачный экран.
Э – экран для получения интерференционной картины.
Свет от источника S, после отражения от обоих зеркал распространяется в виде двух
пучков с центрами в S1 и S2 – мнимыми изображениями источника S в зеркалах. Начальные фазы источников S1 и S2 одинаковы и отличаются от начальной фазы S на  вследствие отражения света от зеркал.
S1M  r1 , S2 M  r2 . Ширина интерференционной полосы
Максимум: r2  r1  m
m  0,1, 2,... .
Минимум: r2  r1  2m  1

2
m  0,1, 2,... .
2. МЕТОД БИПРИЗМЫ ФРЕНЕЛЯ
S1
S
S2
l
.
d
Бипризма
Экран
Бипризма состоит из двух одинаковых стеклянных призм, сложенных основаниями.
Вследствие преломления в призме света, испускаемого источником S, за призмой распространяются две системы волн соответствующие когерентным мнимым источникам S1 и S2.
Расчет интерференционной картины аналогичен предыдущему случаю.
3. МЕТОД ЮНГА
S
Непрозрачный экран
S1
S2
Экран
Источниками когерентных световых волн являются две узкие щели S1 и S2 в непрозрачном экране. Первичным источником S является ярко освещенная щель, которая параллельна S1
и S2, и находится от них на одинаковых расстояниях.
Расчет интерференционной картины аналогичен предыдущим случаям.
Двухлучевые интерференционные схемы
Явления интерференции наблюдаются не только в лабораторных условиях, но и в повседневной жизни. Например, интерференция в тонких пленках. Это явление возникает за счет
наложения когерентных волн, отраженных от двух границ раздела сред. Поэтому называют
двухлучевой интерференцией.
1. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ТОНКИХ ПЛЕНКАХ (ПЛАСТИНКАХ)
Рассмотрим плоскую монохроматическая волна, которая падает на границы раздела двух
сред с показателями преломления n1 и n2. Считаем для определенности, что n2 > n1. Обозначим
d толщину пленки (пластинки),  – угол падения плоской монохроматической волны,  – ее
угол преломления. Когда волна достигает границы раздела первой и второй среды фронт волны
лежит в плоскости АВ. Интерференция наблюдается вследствие наложения волн 1” и 2’ (интерференция в отраженном свете).
1
2
В
1’
2’
1”
α
α
n1
А
n2
C
γ
d
γ
γ
n1
D
Оптическая разность хода:   n2l2  n1l1 , где l2  AD  DC , l1  BC 
1
2
, величина
1
( 1 – длина световой волны в среде с показателем преломления n1) в оптической разности
2
хода возникает за счет отражения от оптически более плотной среды луча 2. Из построений на
рисунке следует:
2dn2 2dn1 sin  sin  n11
d


, BC  AC sin   2d  tg  sin  ,  
, но
cos 
cos 
cos 
2
2dn2
n
n
(1  sin 2  )  1 1 ,   2dn2 cos   1 1 . Поn1 sin   n2 sin  . Следовательно:  
2
cos 
2
AD 
скольку 1 

n1
2
2
2
(где  – длина световой волны в вакууме), то:   2d n2  n1 sin  

2
Из полученных соотношений в случае отраженного света следует:
2dn2 cos   (2m  1)

2dn2 cos   m – условие минимума.
2 – условие максимума;
Аналогично можно получить условия максимума и минимума для наблюдения явления
интерференции в проходящем свете (при этом в оптическую разность хода, вследствие отсутствия в рассматриваемом случае лучей, отраженных от оптически более плотной среды, не будет входить слагаемое  / 2 :
2dn2 cos   (2m  1)

2dn2 cos   m – условие максиму2 – условие минимума;
ма.
Возможность ослабления отраженного света вследствие интерференции в тонких пленках широко используется в современных оптических приборах. Для этого на передние поверхности линз и призм наносятся тонкие прозрачные пленки, у которых n0  nСТЕКЛА линз и призм.
Такая оптика получила название просветленной оптики. Наиболее полное взаимное гашение
волн при выполнении n0  nСТЕКЛА .
2. КОЛЬЦА НЬЮТОНА
Кольца Ньютона относятся к частному случаю наблюдения интерференции – полосам
равной толщины. Интерференция в отраженном свете наблюдается при наложении световых
волн при отражении от верхней и нижней границ воздушного промежутка между линзой и пластиной. При наблюдении интерференции в отраженном свете в центре наблюдается минимум, поскольку в этом случае геометрическая разность хода равна нулю, а оптическая разность
хода равна  / 2 (один из лучей отражается от границы раздела оптически менее плотной среды
с более плотной).
Наоборот, для интерференции световых лучей в проходящем свете в центре наблюдается максимум, поскольку в этом случае оптическая и геометрическая разности хода равны нулю.
M
O1
R
В
С
E
F
O
D
Для интерференции в отраженном свете оптическая разность хода определяется соотношением   2 EF 
му:

2
Из рисунка видно, что треугольники EOD и EDM подобны. Поэто-
 
OD
DE

. Но DO=EF, DE=r. Т.к. EF    2 R , то DM  2 R  EF  2 R . От2 4
DE DM
сюда EF 
DE 2 r 2
r2 

, оптическая разность хода    .
DM 2 R
R 2
Следовательно, в отраженном свете:
rm2 

при m 
наблюдается максимум;
R 2
откуда rm  (2m  1) R

2
m  0,1, 2, ...
– радиусы светлых колец;

rm2 

при 2m  1 
наблюдается минимум;
2 R 2
откуда rm  mR m  0,1, 2, ... – радиусы темных колец.
Для интерференции в проходящем свете можно получить:
rm  (2m  1) R

2
m  0,1, 2, ...
– радиусы тёмных колец;
rm  mR m  0,1, 2, ... – радиусы светлых колец.