Методические указания к курсовой работе по курсу управление

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Кафедра Кибернетики
Методы сетевого моделирования и управления
проектом
Методические указания по выполнению курсовой работы по
дисциплине
«Управление проектами»
Москва 2013
1
Методические
указания
к
курсовой
работе
являются
составной частью учебно-методического комплекса по
дисциплине «Управление проектами, изучаемой студентами
специальности 230700.62-Прикладная информатика.
Основным
содержанием
курсовой
работы
является
выполнение следующих задач:
1.Самостоятельное
изучение
характеристик
сетевых
моделей планирования и управления комплексами работ по
по реализации проекта.
2.Ознакомление с методами расчета.
3.Изучение графического, табличного, матричного методов
расчета параметров сетевого графика комплекса работ по
реализации проекта.
4.Расчет коэффициентов напряженности работ сетевых
графиков.
5.Построение с использованием инструментальных средств
масштабного сетевого графика и план-карты комплекса
работ.
6.Определение
вероятности
совершения
завершающего
события сети в заданный срок.
2
ВВЕДЕНИЕ
Сетевые методы моделирования широко используется в задачах управления
временем, сроками и стоимостью проекта. Это методы планирования работ
проектного характера, т.е.работ, операции в которых, как правило, не
повторяются.
Методы сетевого анализа позволяют осуществить анализ проекта, который
включает в себя большое число взаимосвязанных операций. Мы можем
определить вероятную продолжительность выполнения работ, их стоимость,
возможные' размеры экономии времени или денежных средств, а также то,
выполнение каких операций нельзя отсрочить, не задержав при этом срок
выполнения проекта в целом.
Немаловажной является и проблема обеспечения ресурсами. Методы сетевого
анализа могут быть использованы при составлении календарного плана
выполнения операций, удовлетворяющего существующим ограничениям на
обеспечение ресурсами.
Анализ любого проекта осуществляется в три этапа:
1. Расчленение проекта на ряд отдельных работ(или операций), из которых
затем составляется логическая схема. Под операцией понимается деятельность
или процесс, выполнение которых требует затрат временных и/или иных
ресурсов;
2. Оценка продолжительности выполнения каждой операции; составление
календарного плана выполнения проекта и выделение работ, которые
определяют завершение выполнения проекта в целом;
3. Оценка потребностей каждой операции в ресурсах, пересмотр плана выполния операций с учетом обеспечения ресурсами, либо перераспределения
денежных или других ресурсов, что позволяет улучшить план.
3
Системой сетевого планирования и управления (СПУ) называется система
организационного управления (СОУ), реализующая функции планирования,
контроля и оперативного управления комплексами работ на основе построения,
анализа, оптимизации и актуализация (обновления) особого класса экономикоматематических моделей, называемых сетевыми моделями. Системный подход
в управлении проектами заключается в том, что деятельность всех участников
проекта, независимо от ведомственной принадлежности и территориального
расположения, рассматривается как единый комплекс взаимосвязанных
мероприятий, направленных на достижение конечной цели. Сетевые модели
используются в управлении проектами в научных исследованиях ,
конструкторских, технологических разработках для которых характерны
временные ограничения и сложные взаимосвязи и взаимозависимости между
работами, периодическое расширение и свертывание фронта работ в
зависимости от полученных результатов. При этом
модели типа "PERT",
являющиеся наиболее общим видом сетевых моделей, являются объектом
исследования в рамках данной работы. Модель комплекса работ может
эффективно использоваться как при планировании, так и в процессе
управления проектами лишь в том случае, если она полностью отражает его
содержание; в частности, модель комплекса работ должна отражать не только
его цели и состав, но и порядок выполнения работ, а также условия, при
которых возможно выполнение работ.
Одним из основных признаков комплекса является наличие отношений
порядка между работами. В большинстве случаев эти отношения состоят в том,
что некоторые работы не могут бить начаты прежде, чем закончатся другие
работы комплекса. Отношение предшествования (следования) задается не для
всех пар работ комплекса, так как есть такие пары работ, из которых ни одна не
предшествует другой, другими словами, работы могут выполняться
одновременно (параллельно). Ориентированный граф, отображающий
отношение предшествования между работами комплекса, называется сетью
комплекса. Граф называется ориентированным, если на нем указаны стрелкой
направления всех его ребер (дуг). Графическое представление комплекса работ
в виде ориентированного графа без контуров с дугами, имеющими одну или
несколько числовых
характеристик, отображающие технологическую
взаимосвязь между работами проекта, называется сетевым графиком. Дуги
графа интерпретируют работы, а вершины - события. Информационная модель
комплекса работ, обязательной составляющей которой является сеть
комплекса, называется сетевой моделью.
Сетевые модели, применяемые в системах СПУ, могут различаться [а]:
1. По характеру отображения: в терминах работ (работы – вершины графа), в
терминах событий (события - вершины), в терминах работ и событий (работы дуги, события - вершины графа).
2. По степени охвата темы (проекта): комплексные (сводные), честные,
4
первичные.
3. По количеству независимых целей: одноцелевые, многоцелевые.
4. По степени детализации: укрупненные, детализированные.
5. По степени неопределенности построения: детерминированные,
вероятностные, смешанные.
6. По степени неопределенности оценок: с детерминированными,
вероятностными и смешанными оценками.
Кроме того, сетевые модели различаются по характеру формирования и
объему сети.
При проведении большинства научно-исследовательских (за исключением
поисковых) и опытно-конструкторских работ выпускникам института
приходится участвовать в реализации комплексов работ, сетевые модели
которых имеют следующую характеристику. Одноцелевые сетевые модели
малого объема в терминах работ и событий на уровне первичных или частных
сетей
с
детерминированной
структурой
и
смешанной
оценкой
продолжительностей работ (либо детерминированной, либо вероятностной),
полученные как прямым построением, так и на основе типовых сетевых
графиков, со степенью детализации, определяемой уровнем сети. К этим
моделям могут быть отнесены простейшие детерминированные временные
сетевые модели и вероятностные временные модели. Комбинированная
сетевая модель, наиболее часто встречающаяся при проведении НИР и задачах
управления сроками проекта, принята к рассмотрению в данном учебном
пособии.
Основные элементы сетевого графика
Элементы сетевого графика - работы и события.
Работа
Работа - это процесс, происходящий во времени, поэтому можно говорить об
объеме работы W(t), выполненном к моменту времени t .
Объем работы может иметь следующий реальный смысл: трудоемкость в
человеко-днях; физические размеры в кубометрах, тоннах, километрах и т.п.,
число чертежных или авторских листов, команд в машинной программе,
продолжительность в единицах времени, стоимостный показатель в руб. и т.д.
С точки зрения модели выполнение работы состоит в изменении W (t) от 0 до
полного объема W. Скорость изменения функции W (t) - есть скорость ведения
данной работы. В наиболее простых и распространенных моделях скорость
ведения работы принимают постоянной; при этом основной характеристикой
работы является ее продолжительность, играющая в таких моделях роль
объема.
Термин "работа" может иметь следующие значения:
1. действительная (реальная) работа или просто работа, т.е.
производственный или творческий процесс, требующий затрат труда, времени
и материальных ресурсов, (например, разработка чертежей, технологических
процессов, алгоритмов, программ, изготовление опытных образцов,
проведение испытаний, функционально-стоимостный анализ конструкции и
др.);
2. ожидание — процесс, требующий только затрат времени (без привлечения
каких-либо ресурсов). К ожиданию в первую очередь могут быть отнесены:
5
технологические перерывы (например, естественная сушка изделий, старение
отливок, твердение бетона и т.п.) и организационные (например, ожидание
поставок материалов, оборудования, ожидание летной погоды, ожидание машинного (ЭВМ) времени и др.);
3. зависимость (фиктивная работа), не требующая затрат труда, времени и
ресурсов. Фиктивная работа может означать как технологическую, так и
ресурсную зависимость между работами. Она также может быть использована
при построении (сшивании) сети для отображения параллельно выполняемых
работ комплекса. Продолжительность ее принимается равной нулю.
Реальную работу и ожидание на сетевом графике принято обозначать
сплошной стрелкой, а зависимость (фиктивную работу) - пунктирной. Стрелки,
изображающие работы, не имеют векторного смысла; их длина (масштаб) и
угол наклона произвольны, конфигурация стрелок - прямая или ломаная линия.
Стрелка указывает направление процесса выполнения работы - от основания к
ее вершине.
Событие
Понятие "событие" означает определенное состояние в процессе выполнения
комплекса работ (например, "Эскизный проект утвержден", "Сборка блока НЧ
закончена"
и
др.).
События
сетевого
графика
являются связующими звеньями между работами и устанавливают момент
начала (начальное событие - j) или окончания (конечное событие - j) некоторой
работы или группы работ. В отлитие от работы событие не является процессом
и не имеет продолжительности во времени.
Событие имеет двойственное значение: с одной стороны оно означает факт
выполнения непосредственно предшествующих и входящих в него работ и для
этих работ является конечным; с другой – свидетельствует о невозможности
приступить к выполнению непосредственно следующих за ним работ и для
этих работ является начальным.
Кроме начальных - i и конечных – J событий в сетевой график входят
особые события: исходное - I и завершающее - С (рис.1).
Рис.1. Элементы сетевого графика (события 1, 2, 3, 4, 5 – промежуточные).
Исходным называется
событие, не имеющее непосредственно
предшествующих ему работ. Означает наличие условий (например, решение
вышестоящей организации о проведении НИР, ОКР и т.п.), необходимых для
начала комплекса работ. Завершающим называется событие, не имеющее
непосредственно следующих за ним работ. Означает факт, свидетельствующий
о том, что конечная цель всего комплекса работ достигнута. Событие сетевого
графика, не являющееся ни исходным, ни завершающим, называется .
6
В теории графов дуга определяется ее граничными вершинами – начальной и
конечной. В сетевых графиках работа кодируется шифрами ее начального и
конечного событий, например (i - j).
Событие на графике обычно изображается кружком, овалом или другой
замкнутой геометрической фигурой.
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
В настоящее время получили распространение два способа построения
первичных сетевых графиков. Первый заключается в том, что сначала
составляется перечень работ и событий, необходимых для реализации темы
(проекта), а затем на его основании отроится сетевой график. При этом
рекомендуется выбрать для каждой работы идентификатор, в качестве
которого могут быть использованы, например, буквы алфавита, цифры и др.
При помощи этих идентификаторов в краткой и удобной для построения
графика
форме
записываются
технологические
взаимосвязи
и
взаимозависимости между работами или группами работ комплекса.
Для иллюстрации рассмотрим несколько работ из условного перечня работ:
Идентификат
Содержание работы
ор
Разработка математического обеспечения
а
Разработка программного обеспечения и
технологической документации
Разработка требований к техническому обеспечению
системы обработки информации и управления
б
в
После установления технологических взаимосвязей между работами, их
можно записывать в виде условий при помощи букв, взятых в качестве
идентификаторов: а – > б, в. Следует читать:
1) После завершения работы «а» могут начинаться работы «б» и «в»;
ИЛИ
2) Для начала работ «б» и «в» необходим результат работы «а».
По второму способу сетевая модель создается сразу, без предварительного составления перечня работ. Построение сетевого графика можно
веста "слева направо” - от исходного события к завершающему или "справа
налево" - от завершающего события к исходному, а также от любого событие в
ту или другую сторону. При этом перечень работ я событий может
составляться одновременно. В результате разработки должна быть обеспечена
логическая строгость сетевого графика, его максимальное соответствие
моделируемому комплексу работ.
При разработке сетевых моделей следует пользоваться следующими
основным правилами, рекомендациями и примерами ситуаций:
1. Работы "а", "б", "в" выполняются последовательно (рис. 2).
Сокращенная запись условия: а→б; б→в. Следует читать: "Работа "б" может
7
начаться только после завершения работы "а" или "Завершение работы "а"
служит началом работы "б" и т.д.
Построение:
2. Для начала выполнения работ "б" и "в" необходим результат работы "а"
– изображение расходящихся работ (рис. 3). Условие: а→б, в. Построение
(строится аналогично, если работам "б" и "в" предшествует несколько работ):
Рис 3
3. Для начала выполнения работы "в" необходим результат работы "а" и
"б" - изображение сходящихся работ (рис. 4). Условие: а, б→в. Построение
(строятся аналогично, если за работами "а" и "б" следует несколько работ):
Рис. 4.
4. При отображении на графике параллельно выполняемое работ следует
учитывать, что любые два события в сетевом графике могут соединяться не
более чем одной стрелкой, или в сети не должно быть работ, имеющих
одинаковый код. Для этой цели в сеть вводятся дополнительные события и
зависимости (фиктивные работы) (рис. 5).
Условие:
Построение:
а || б
2) правильно
1) неправильно
Рис. 5.
5. При изображении дифференцированно зависимых работ используются
зависимости (фиктивные работы) (Рис. 6).
Пример 1.
Работа "г" может быть начата только после завершения работ "а" и "б", а
работа "в" может начаться сразу же после работы "а".
Условие а→в;
а, б→г
8
Построение:
2) правильно
I)
неправильно
Пример 2.
Работу "г" можно начинать после окончания работ "а" и "б"; начало работ
"д" зависит только от окончания работы "а" и начало работы "а" – от окончания
работы "б".
Условие: а→д; б→в; а, б→г.
6. Начало работ "б" и "в" зависит от различных степеней завершения
работы "а". Работа "г" может начаться после полного завершения работы "а".
Работа "а" в этом случае называется составной.
Построение:
Работа "а" должна быть расчленена на составляющие её работы
(например: а1, а2, а3)
1) неправильно
2) правильно
7. В сетевом графике не должно быть замкнутых контуров (циклов), ни
один путь не должен дважды проходить через одно и то же событие
Примеры непрерывных построений (оба цикла отмечены утолщениями
стрелок) (рис. 9)
1)
2)
9
Рис. 9.
Наличие цикла свидетельствует об искажении отношений порядка между
работами, входящими в цикл, поскольку каждая их этих работ оказывается
предшествующей самой себе и любой другой из работ цикла, что не может
быть в комплексе.
8. В сетевом графике нельзя допускать тупиковых событий (первого (рис
.10) и второго (рис. 11)) рода.
Рис. 10 (Событие 3 – тупик первого рода)
– тупик второго рода)
Рис. 11 (Событие 3
Тупиком первого (второго) рода называется событие, не имеющее
входящих (выходящих) работ и не являющееся исходным (завершавшим)
событием комплекса. Наличие тупика свидетельствует об ошибке, допущенной
при составлении сети комплекса.
9. Укрупнение, сетевых моделей. Проводится с целью устранения
излишней детализации и повышения наглядности сетевого графика.
Участок сети (группа взаимосвязанных работ) может быть замен одной
укрупненной (агрегатной) работой, если он имеет четко фиксированное одно
входное и одно выходное события. При этом следует укрупнять только такие
группы работ, которые закреплены за одним ответственным исполнителем.
Пример укрупнения сетевой модели с сохранением промежуточных
событий, связанных с другими работами. сетевого графика (рис. 12).
Работы 9-14, 14-17 выполняется ответственным исполнителем А;
8-11, 11-16 выполняется ответственным исполнителем В;
8-10 группа работ на участке 10-16 ж работы 16-17 выполняется
ответственным исполнителем В.
I) до укрупнения
2) после укрепления
Таким образом, группы работ, выполняемые на графике ответственными
исполнителями А, Б и В, заменены в результат укрупнения агрегатными
10
работами соответственно 9-17, 8-16 и 8-17. Продолжительность этих
агрегатных работ определится величиной существовавших до укрупнения
максимальных путей между крайними событиями групп.
10. При построении сетевых графиков, в целях их большой наглядности,
облегчения визуального контроля и самого процесса расчета, надо стремиться
к минимальному числу взавмнопересекающихся работ и к исключению
неоправданных пересечений.
Пример.
1) неправильно
2) правильно
Рис 13
12. В сетевом графике не должно быть событий, имеющих одинаковый
шифр, так как это повлечет за собой ошибки в руном расчете и сделает
невозможным машинный расчет. События сетевого графика следует
нумеровать так, чтобы шифр (номер) начального события работы был по
значению меньше шифра (номера) ее конечного события, т.е. чтобы
выполнялось условие
Причем,
исходному
событию
присваивается шифр "О". Нумерация событий сети может производиться
несколькими способами: вертикальным, по рантам методом вычеркивания
работ и др. [5].
При предварительной нумерации событий, когда известно, что шифры
будут в дальнейшем изменены, можно использовать как наиболее простой и
наглядный вертикальный метод нумерации, при котором события нумеруют
сверху вниз или снизу вверх по мере того, как их фиксируют на воображаемой
вертикальной линии, передвигающейся от исходного события к
завершающему, т.е. слева направо.
После того, как в сетевой график внесены все дополнения и изменения,
возникающие в процессе сшивания сетей, проводится окончательное
кодирование (нумерация) событий. Наиболее удобный для того - метод
вычеркивания работ и распределения событий по рангам [7]. При проведении
практических занятий рекомендуется по указанным выше причинам
использовать вертикальный метод нумерации событий сетевого графика.
11
Пример:
Ниже приводится пример на применение правил построения сетевых
графиков.
Технологические взаимосвязи между работами комплекса:
I → а, б – событие I является исходным событиям комплекса работ и
начальным событием работ "а" и "б";
а, б → в – иллюстрируется правило 4;
в → г, д, е – –“– –“– 2;
е → д; д → ж; е, д → к –
–“– 5.1;
г, ж → з, з → м; к → о –
–“–
1;
и → н; и, о → р – –“–
–“– 5.1;
м, н → п – –“–
–“–
3;
п, р, л → C Событие С является конечным событием работ п, р, л и
завершающим событием всего комплекса работ.
Сетевой график (рис. 15) иллюстрирует основные правила построения
сетевых моделей.
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ РАБОТ В СЕТЕВЫХ МОДЕЛЯХ
В проектах, посвященных разработке новых технических средствах
технологических процессов, имеется много типовых работ, для которых
неопределенность в расчете времени их выполнения может не приниматься во
внимание, ввиду того, что существуют нормативы на эти работы или имеется
большой опыт осуществления (реализации) сходных работ, и их
продолжительность
может
быть
определена.
Для
определения
продолжительности работы как по достигнутой производительности труда, так
и по действующим нормам может быть рекомендована формула:
( календарные дни),
где
q -трудоемкость работы (нормо-часы );
Kg - коэффициент, учитывающий долю дополнительных работ,
12
выполняемых данной группой
работников,
попутно
о
рассматриваемой работой сетевого графкка;
Y - количество исполнителей данной работы;
p - коэффициент, учитывающий выполнение норм (I,I+1,3);
Fдн - дневной фонд рабочего времени (час);
f - коэффициент перевода рабочих дней в календарные (0,7).
Продолжительность работы может быть также определена методом
экспертных оценок. Оценку производят наиболее компетентные работники,
специалисты-эксперты, ответственные исполнители. Установленную оценку
следует рассматривать не как обязательство ответственного исполнителя, а как
предложение, основанное на нормативно-справочной базе, опыте, интуиции и
на учете факторов, влияющих на продолжительность работы.
Наряду с этим, при проведении научно-исследовательских, экспериментальных и опытно-конструкторских работ (особенно на первых
стадиях проектных разработок и на всех стадиях испытания образцов) имеется
довольно большое число работ, где неопределенность играет существенную
роль. При проведения этих работ продолжительность работ как случайная
величина зависит от большого числа случайных факторов, оказывающих
незначительное влияние, и одновременно от нескольких факторов,
существенно меняющих окончательную опенку, т.е. распределение
вероятностей времени выполнения работ в результате этою воздействия
становится ассиметричными. Для систем СПУ принимается, что плотность
распределения временных оценок продолжительности работ обладает
свойствами непрерывности, унимодальности (одноврешинности), и в качестве
гипотезы принято свойство продолжительной ассимметрии. Исходя из этого,
наиболее подходящими для характеристики продолжительности работ среди
многих видов распределений, используемых для описания реальных процессов
и явлений, выбраны законы бета-распределения, гамма-распределения и
логарифмически-нормальный закон. Однако наибольшее распространение для
определения характера распределения продолжительности работ в сферах
применения СПУ получил закон бета-распределения, являющийся основным
распределением математической статистики для случайных величин,
ограниченных с двух сторон (рис. 16). На основе изучения большого
количества статистического материала, математического анализа и принятия
ряда предположений о соотношениях между параметрами уравнения
(1)
которым выражается кривая распределения случайных измененный Х в
соответствии с законом бета-распределения, разработчиками (PERT) были
предложены
упрощенные
формулы
для
определения
ожидаемой
продолжительности работ (tож) b среднего квадратичного отклонения
случайной величины от ее математического ожидания (σtож) или его квадрата
(σ2tож) - дисперсии. Для случая 3-х временных оценок
13
(2)
где tож – ожидаемая продолжительность работы, ее математическое ожидание
или медиана распределения, соответствует точка на кривой распределения
вероятностей, делящей площадь под кривой на две равные части; другими
словами, соответствует той точке на кривой, где существуют равные шансы (50
% на 50 %), что действительный срок завершения процесса будет короче
или длиннее tож;
tмин – минимальная (оптимистическая) оценка продолжительности
работы; устанавливается из предположения, что работа будет выполняться в
исключительно благоприятных условиях при принятом
составе ресурсов;
ври этом исходят из условия, что вероятность выполнения работы за время
меньшее
tмин меньше 0,01;
tMB – наиболее вероятная или реалистическая [5] опенка продолжительности работы; устанавливается
исходя из того, что условия
выполнения работы и производительность используемых ресурсов будут
носить
обычный характер, и возникающие в процессе ее выполнения
непредвиденные обстоятельства
не потребуют дополнительных затрат
времени; эта оценка соответствует единственному максимуму на кривой
распределения и является модой распределения;
tмакс – максимальная (пессимистическая) оценка продолжительности
работы; устанавливается из предположения, что работа будет выполняться в
самых неблагоприятных условиях, исключая, конечно,
аварийные
и
катастрофические обстоятельства. При этом исходят из условия, что
вероятность
выполнения работы за время, большее tмакс, меньше 0,01 [4].
Рис
16.
Предполагаемая
кривая
распределения продолжительностей
выполнения работы
Математическое ожидание, однако, не может дать полной характеристики временя выполнения работы, так как одно и то же значение может
14
получиться
при
самых
различных
вариантах
распределения
продолжительности работы. Рассеяние случайной величины (продолжительности работ) характеризуется дисперсией σ2. Дисперсия - мера
неопределенности, связанная с данным распределением (в данном случае
распределением продолжительности работ) - квадрат отклонения случайной
величины от ее математического ожидания. Чем меньше величина дисперсии,
тем имеется большая уверенность относительно момента завершения данной
работы. Отсюда ясно, что от значений дисперсий отдельных работ зависят
неопределенность срока завершения всего комплекса работ, и сведения о
дисперсиях поэтому играют важную роль при анализе сетевых моделей.
В случае 3-х временных оценок момента завершения работы дисперсии
может быть определена по формуле:
(3)
В последнее время модификация системы PERT, в которой распределение характеризуется лишь двумя параметрами tмин
и tMAKC (при
фиксированных значениях параметров α=I и γ=2 уравнения (I), согласно
исследованиям, проведенным Голенко Д.И., получает более широкое
распространение.
Параметры распределения приняли следующий вид:
Сопоставление эмпирического распределения, характеризуемого двумя
параметрами (tмин и tмакс), с распределением продолжительности выполнения
работ с оценкой по трем временным параметрам (tмин, tив и tмакс) показало
хорошее соответствие между ними. Использование при определении
ожидаемой продолжительности работ и их дисперсии бета-распределения о 3х оценочной методикой по сравнению с модифицированным бетараспределением Голенко Д.И, дает незначительное уточнение, но требует
увеличения объема информации, получаемой от ответственных исполнителей,
а именно, оценка tив которая, как показала практика, вызывает у ответственных
исполнителей наибольшие по сравнению с tмин и tмакс затруднения.
ПАРАМЕТРЫ СЕТЕВЫХ ГРАФИКОВ
В системах СПУ в сетевых моделях используется как временные
параметры, так и параметры, характеризующие вид и количество того или
иного ресурса, а также объем выполняемых работ. Исходным для определения
всех временных параметров сетевых моделей служит продолжительность
работы. Продолжительности работ дают возможность определить следующие
параметры сетевого графика: ранние и поздние сроки свершения событий,
сроки (раньше и поздние) начала окончания работ, резервы событий и работ,
15
продолжительность критического пути. Рассмотрим временные параметры
сети.
Пути сетевою графика.
Любая последовательность работ в сети, в которой конечное событие
каждой работы совпадает с началом событием следующей за вей работы,
называется путем. В сетевом графике различают несколько видов путей,
каждый из которых имеет свои особенности и значение. Основной из нас:
L – путь сетевого графика, имеющий начало в исходном событии, а
конец – в завершающем, называемый полным путем. Продолжительность
любого пути определяется суммой продолжительностей составляющих его
работ и обозначается t(L). Продолжительность полного пути, проходящего
через какое-либо событие, обозначается t[L(i)], через работу – t[L(i-j)].
Путь обладающий максимальной продолжительностью из полных путей
сетевого графика, называется критическим - Lкр. Его продолжительность
принято обозначать t(Lкр), и он показывает минимальное время, необходимое
для реализации комплекса работ. Кроме того, в сетевом графике различается
также путь L1, предшествующий событию, и путь L2; последующий за
событием. Их продолжительность обозначается соответственно t[L1(i)] и
t[L2(i)].
Параметры событий.
Tpi - самый ранний из возможных сроков совершения события
(сокращенно - ранний срок свершения события); равен продолжительности
максимального из предшествующих этому событию путей:
Tpi=t[L1(i)]max
Tпi- самый поздний из допустимых сроков свершения события
(сокращенно - поздний срок совершения события), равен разности между
длиной критического пути и продолжительностью максимального пути,
следующего за этим событием:
Tпi=t(Lкр)-t[L2(i)]max
Ri - резерв времени события; равен разности между длиной критического
пути и продолжительностью максимального пути, проходящего через это
событие:
Ri=t(Lкр)-t[L(i)]max
Параметры работ
tрн(i-j) – самый ранний из возможных сроков начала работы (раннее начало
работа); всегда соответствует раннему сроку свершения ее начального
события:
tрн(i-j)=Tpi
tрo(i-j) – самый ранний срок окончания работы (раннее окончание работы);
определяется как сумма раннего срока свершения начального события данной
работы и ее принятой продолжительности:
tрo(i-j)=Tpi+t(i-j)
16
tпн(i-j) – самый поздний из допустимых сроков начала работы (позднее
начало работы); равен разности между поздним сроком свершения конечного
события данной работы и величиной ее продолжительности:
tпн(i-j)=Tpi-t(i-j)
tпo(i-j) – самый поздний из допустимых сроков окончания работы (позднее
окончание работы); соответствует позднему сроку свершения конечного
события этой работы:
tпo(i-j)=Tпi
Rn(i-j) – полный резерв времени работы; резерв разнести между длиной
критического пути и продолжительностью максимального пути, проходящего
через эту работу:
Rn(i-j)=t(Lкр)-t[L(i-j)]max
Полный резерв работы показывает предельное время, на которое можно
увеличить продолжительность данной работы, не изменяя при этом
продолжительности критического пути.
R’n(i-j) – частный резерв времен; первого вида; образуется у работ (двух и
более) с общим начальным событием за счет разности максимального пути
данного события и наибольшего пути, проходящего через рассматриваемую
работу, причем работа, принадлежащая максимальному пути ее начальною
события, частного резерва времени первого рода не имеет:
R’n(i-j)= t(L(i))-t[L(i-j)]max
Частный резерв работы первого вида является частью полного резерва
времени данной работы. Позволяет видеть, какая часть полного резерва этой
работы может быть использована для увеличения продолжительности данной
работы или последующих за ней работ, чтобы в результате указанного
увеличения максимальные пути, проходящие через эти работ, не превысили
продолжительности критического пути сетевой модели.
R’’n(i-j) – частный резерв времени второго вида или свободный резерв
времени [6] образуется у работ (двух и более) о общим конечным событием за
счет разности максимального пути, проходящего через это событие, и
наибольшего пути, проходящего через рассматриваемую работу, причем
работа, принадлежащая максимальному пути ее конечного события, частного
резерва второго вида не имеет:
R’’n(i-j)= t(L(j))-t[L(i-j)]max
Частный резерв работы второго вида является частью полного резерва
времени данной работы. Позволяет выявить ту часть полного резерва работы,
которая может быть использована доя увеличения продолжительности данной
работы или других предшествующих ей работ, не нарушая при этом раннего
срока свершения конечного события работы и не вызывая, таким образом,
сокращения резервов времени у последующих за этим событием работ.
Rн(i-j) – независимый резерв времени работы. Образуется только у работы,
которая не лежит на максимальных путях, проходящих соответственно через ее
начальное и конечное события и при условии, что отрезок времени между
ранним сроком свершения ее конечного события и поздним сроком ее же
17
начального события больше продолжительности работы.
Независимый резерв времени работы (i-j) имеет положительную
величину при условии Tpi – Tni > t(i-j)
В некоторых случаях разность Tpi–Tni может быть равной или меньшей t(icответственно нулевой иди отрицательный независимые
j). Образуются
резервы. Rн(i-j)<0 показывает время, которого не хватит у данной работы для
выполнения ее r самому раннему сроку сверивши ее конечного события при
условии, что эта работа будет начата в самый поздний срок ее начального
события [5].
Независимый резерв времени работы принадлежит только данной работе,
может быть использован только для нее, и его нельзя передавать ни
предшествующим, ни последующим работам. Он позволяет выполнить ее с
меньшими ресурсами в более длительный срок без изменения ранних и
поздних сроков ее начального и конечного событий, без уменьшения резервов
времени всех остальных работ сети.
МЕТОД РACЧETA ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВЫХ ГРАФИКОВ
В системах СПУ с ручной обработкой информации при расчете параметров сетевых графиков, построенных в терминах работ и событий, нашли
широкое применение следующие методы расчета:
1. Графический метод.
2. Табличный метод.
3. Матричный метод.
Для иллюстрации излагаемого материала (здесь и далее) будет
рассматриваться сетевой график типа ВВ(Д), построенный для условного
комплекса работ по следующим исходным данным:
Технологические взаимосвязи между отдельными работами комплекса,
представленные через идентификаторы
I→а, б
а→в, г
б→и
г, б→д, е
в, д→ж
е→з
ж, з→к, л; л, е, и→м
к, м→С
Временные оценки работ (в рабочих днях)
На рис. 17 представлен построенный по приведенным выше технологическим взаимосвязям сетевой график условного комплекса работ.
18
Рис. 17.
Используя формулы (2) и (3; для случая 3-х временных оценок момента
завершения работ сети получены следующие значения ожидаемых
продолжительностей работ - tож и их дисперсий σ2ож
Графический метод расчета
Этот метод характерен тем, что расчет ориентированного на события в
вычисления всех параметров сети, производится непосредственно на графике.
Наеденные параметры сети заносятся на график следующим образом (рис. 18).
Рис 18.
Взятый для иллюстрации методов расчета сетевой график рис 17 (в
дальнейшем рассматриваемый график) представим в соответствия с рис 18 в
следующем виде:
Порядок расчета
1. Определение ранних сроков свершения событий – Tpi
Определение начинается с исходного события и идёт по направлению к
завершающему событию (от I к С).
19
а) Тр исходного (I) события принимается равным 0:
TpI=0;
(6)
б) Тр следующего за исходным события
Трi= TpI+TI-j;
(7)
в) самый ранний из возможных сроков свершения любого события равен
продолжительности максимального из предшествующих этому событию путей
– t[L1(j)]max
Для того, чтобы определить Трi любого события, надо рассмотреть
работы, входящие в это cсобытие b выбрать максимальную из сумм раннего
совершения начального события этих работ и их продолжительности
Трi=( Тр+t(i-j))max
(8)
Пример
На участке сети (рис. 20) определить ранний срок
свершения 6-го события:
Tp6=?
Решение: По формуле (8) находим максимальную
сумму:
6 + 7 = 13
4 + 15 = 19 ← max
2 + 9 = 11
Таким образом, Tp6= Tp3+ T(3-6) = 19.
На основании формул (6), (7), (8) заполняем левые секторы
рассматриваемого сетевого графика (рис. 22).
2. Определение поздних сроков свершения событий - Tпi
Определение начинается с завершающего события и ведется в обратном
порядке, приближаясь к исходному (от С к I).
а) поздний срок свершения завершающего события принимается равным
его раннему сроку, т.е.
Tпс=Трс
(9)
б) Tп начального события любой работы - Tпi, предшествующей
завершающему событию - С, определяется как разность между поздним сроком
свершения завершающего события и продолжительностью
этой работы – t(i-с)
Tпi=Tпс-t(i-j)
(10)
в) самый поздний из допустимых сроков свершения любого события сети
равен разности между длиной критического пути и продолжительностью
следующего за этим событием максимального пути:
t(Lкр)-t[L2(i)]max Чтобы определить Tпi любого события, надо рассмотреть
работы, выходящие из этого события, и выбрать минимальную из разностей
между поздним сроком свершения конечного события этих работ и их
20
продолжительностей:
Tпi=( Tпj- t(i-j))min
3–2=1
(11)
На участке сети (рис. 21) определить поздний срок
свершения 4 события
Tп4=?
Решение: По формуле (II) находим минимальною
разность:
i.
8–6=2
9–4=5
← min
рис. 21.
Таким образом, Tп4 = Тп5 – t(4-5) = 1
3. Определение резервов времени событий – Ri.
Резерв времени любого события определяется как разность между
поздним Тп и ранним Тр сроками совершения этого события
Ri= Тпi- Трi
(12)
а основании формуя (9), (10), (11), (12) заполняем первые и верхние
секторы рассматриваемого сетевого графика (рис. 22).
Если сетевой график рассчитан правильно, то поздний срок свершения
исходного события будет равен его раннему сроку, т.е.
TпI=TpI=0
4. Определение резервов времени работ
Резервы временя определяются только у работ, не лежащих на
критическом пути – Lкр (так как работы критического пути не имеют никаких
резервов). Ниже приводятся формулы для расчета резервов работ через
параметры событий, полученные после несложных преобразований, исходя из
определений резервов работ и сроков свершения событий, данные в разделе
"Параметры сетевых графиков":
а)
полный резерв времени
Rn(i-j) = Tni – Tpi – t(i-j),
(13)
б)
частный резерв времени первого вида
21
в)
работы
R’n(i-j) = Tni – Tpi – t(i-j),
(14)
частный резерв времени второго вида или свободный резерв
R’’n(i-j) = Tni – Tpi – t(i-j),
(15)
г)
независимый резерв
RН(i-j) = Tni – Tpi – t(i-j),
(16)
Независимый резерв времени работы может быть также определён по
формулам
RН(i-j) = R’n(i-j) – R’’n(i-j) – Rn(i-j)
(17)
RН(i-j) = R’n(i-j) – Rj (18)
RН(i-j) = R’’n(i-j) – Ri (19)
По формулам (13), (14), (15), (16) вычисляем резервы времени работ
рассматриваемой сети и наносим их на график.
Сетевая модель, рассчитанная графическим методом, в окончательном
виде представлена на рис. 23.
Для проверки правильности вычисления резервов временя работ можно
воспользоваться преобразованной формулой (17), предполагающей равенство
алгебраических сумм пар резервов:
Rn(i-j) + RН(i-j) = R’n(i-j) + R’’n(i-j)
(20)
5. Определение критического пути
Необходимым условием того, что работа находится на критическом пути,
является нулевой резерв времени начального и конечного события этой
работы: Ri=Rj=0.
В нашем случав при анализе сети (рис. 22) на первый взгляд получилось
два критических пути, проходящих через события:
1) 0 – 1 – 3 – 4 – 6 – 8
2) 0 – 1 – 4 – 6 – 8
Пути разветвляются между событиями 1 и 6. Для того чтобы убедиться,
какие из работ, лежащих между событиями 1 и 6, принадлежат критическому
пути (хотя и имеют вид Ri=Rj=0), необходимо проверить выполняется ли
условие:
Rn(i-j) = Tnj – Tpi – t(i-j)=0
(21)
Если такое условие выполняется, значит эта работа принадлежит
критическому пути.
В данном случае после проверка убеждаемся, что критический путь идет
через события 0 – 1 – 3 – 4 – 6 – 8.
22
Продолжительность критического пути – t(Lкр), определяется как сумма
составляющих его работ (0-1, 1-3, 3-4, 4-6, 6-8) и равна в свою очередь раннему
и позднему срокам, свершения завершающего события сети
t(Lкр)=Tpc=Tnc
(22)
В нашем примере t(Lкр)=33 дн.
Критический путь на графике показывается утолщенной или двойной
линией.
Табличный метод расчета.
Табличный метод позволяет рассчитать параметры сетевой модели по
определенным правилам непосредственно в таблице (табл. 2), в которую
предварительно из сетевого графика заносятся коды всех работ и их
продолжительность. Табличный метод расчета в отличие от графического
ориентирован на работы. Сначала вычисляются ранние и поздние сроки начала
и скончания работ tрН(i-j) ; tрo(i-j) ; tnН(i-j) ; tno(i-j) , затем используя полученные
значения, определяются резервы времени работ Rn(i-j) ; R’n(i-j) ; R’’n(i-j) ; RH(i-j). Все
определённые параметры заносятся в табл. 2. Далее определяется критический
путь в его продолжительность.
Порядок расчета
1.Заполнение таблиц начинается о внесения в нее исходных данных
сетевого графика (для расчета рассматривается сетевой график рис. 17). В
графу I записываются коды работ, в графу 2 – их продолжительность. Работы в
таблицу заносятся в возрастающем порядке их кодов, т.е. сначала
записываются все работы, выходящие из исходного события, затем - из
последующие событий (I; 2; 3 и т.д.).
Перед ознакомлением с методикой расчета параметров сети введем
следующие обозначения:
r - работа сетевого графика;
Vi+ - множество работ, выходящих из i-го события сети;
V i- - множество работ, входящих в i-е событие сети.
2. Определение ранних сроков начала ж окончания работ сетевого
графика.
Расчёт ранних сроков времен, проводится сверху вниз, причем графы 3
рН
(t (i-j)) и (tро(i-j)) таблицы заполняются параллельно.
а) Раннее начало любой работы сети tрН(i-j) равно максимальному из
значений раннего окончания работ, принадлежащих множеству работ,
входящих в начальное i-е событие рассматриваемое работы
tрН(i-j) = max tро
(23)
r Vi
отсюда раннее начало работ, выходящих из исходного 1-го события сети tрН(i-j) =
0 (tрНмах выбирается аз значений графы 4, значение заносится в
соответствующую строку графы 3).
б) Раннее окончание любой работы сети определяются
tро(i-j) = max tро
r
(24)
i
23
(результат заносится в графу 4).
3. Определение поздних, сроков начала и окончания работ сетевого
графика.
Расчет поздних времен проводится снизу вверх, при этом графы 6 (tnо(i-j))
и 5 (tnH(i-j)) таблицы заполняются параллельно.
а) Для определения самих поздних сроков, когда работы сетевого
графика могут быть окончены, с тем, чтобы срок выполнения всего комплекса
работ не вышел за расчетное значение
max tро
r Viв строках графы 6, соответствующие работам, входящим в завершающее
событие - С сети заносится значение tnо равно
max tро
r Viб) Позднее начало работы, входящей в завершающее событие,
определится как
tnH(i-C) = tno(i-C) – t(i-C)
(25)
в) Позднее окончание любой работа сетевого графика tno(i-j) равно
минимальному из значений позднего начала работ, принадлежащих множеству
работ выходящих из конечного j -го события рассматриваемой работы
tno(i-j) = min tnH
(26)
+
r Vi
nH
(t min выбирается из значения графы 5 я заносится в графу 6 в строку,
соответствующую рассматриваемой работе).
г) Позднее начало любой работы определится по формуле:
tnH(i-j) = tno(i-j) – t(i-j)
(27)
(результат заносится в графу 5).
4. Определение полных резервов времени рассматриваемых работ - Rn(i-j)
Rn(i-j) можно определить двумя равноценными способами:
а)
Rn(i-j) = tno(i-j) – tnH(i-j)
(28)
рo
рH
б)
Rn(i-j) = t (i-j) – t (i-j)
(29)
(в графу 7 заносится один из результатов: "графа 6 - графа 4" или "графа 7 графа 3").
5. Определение частных резервов первого вида работ – R’n(i-j)
Последовательно, начиная с исходного события, рассматриваются все
множества работ сетевого графика с общим начальным событием.
R’n(i-j) этих работ определяется по формуле:
R’n(i-j) = tnH(i-j) - max tnH
(30)
r Vi
результаты находятся по значениям графы 5 и заносятся в соответствующие
24
строки графи 8.
6. Определение частных резервов второго вида (свободных резервов)
работ – R’’n(i-j)
Начиная с исходного события, последовательно рассматривается все
множества работ сетевого графика с общим конечным событием. R’’n(i-j) этих
работ определяются по формуле:
R’’n(i-j) = max tро - tро(i-j)
(31)
r Vi
(результаты находятся по значениям графы 4 я заносятся в соответствующие
строки графа 9).
7. Определение независимого резерва времени работы - RН(i-j)
Независимый резерв работы может быть найден из формулы
RН(i-j) = R’n(i-j) + R’’n(i-j) – Rn(i-j)
(32)
(результат "графа 8 + графа 9 - графа 7" заносится в соответствующую работе
отроку графа 10).
8. Определение критического пути.
Критический путь пройдет по работам, у которых Rn=0;
t(Lкр) = max tpo
(33)
r Vi
9. Определение резерва времени любого события сета – Rj
Параметры работ сетевого графика, рассчитанные табличным методом,
позволяют вычислять резервы времени любого события сети по формуле:
Rj = tno(i-j) – tpn(j-k)
(34)
где (i-j) - код работы, предшествующей событию j;
(j-k) - код работы, следующий за событием j.
Ниже приводится расчет сетевого графика (рис. 17) табличным методом
Расчет параметров сетевого графика табличным методом
25
Матричный метод расчёта
Матричный метод позволяет получить значения ранних и поздних сроков
свершения событий, если предоставить все рабств сетевого графика в виде
матрицы, в клетках j-j которой записаны продолжительности соответствующих
работ. Затем по формулам (12) я (13+16) можно вычислить резервы событий и
работ сетевого графика.
К матрице (рис. 24) присоединяются столбец λ (для вычисления ранних
сроков свершения событий – Tpi) и строка μ (для вычисления поздних сроков
свершения событий – Tnj). Параметры λ и μ связаны с Tpj и Tni
сетевою графика следующим соотношением:
Tpj = λi
(35)
Tnj = t(Lкр) – μ
(36), где (j=0,1,2…n).
Продолжительность критического пути t(Lкр) равна максимальному
значению либо параметра λ, либо μ.
t(Lкр) = λmax = μmax
(37)
Для того, чтобы классическая матрица была более информативной,
добавим к ней две отроки для определения tnj и Rj. Дополненная таким образом
матрица позволит найти события, через которые проходит критический путь
сетевой модели; методику расчета сетевых графиков матричным методом
рассмотрим на примере сетевого графила (рис. 17), взятого для иллюстрации
ручных методов расчета.
Таким образом, расчет сетевого графика матричным методом сводится к
нахождению параметров λ и μ, исходных для вычисления остальных
параметров сети.
26
Расчет параметра λ
Определение λ j-го события сводится я нахождению максимального пути,
идущего от исходного события сетевой модели к j-му событию. В общем виде
при нахождении λ любого события сети можно руководствоваться формулой
λi = max (t(i-j) + λi)
(38)
r Vi
Ввиду того, что Tp нулевого (исходного) события равен нулю, полагаем
λо = 0.
Рис. 24.
Для вычисления λ, (т.е. Tр1) в столбце 1 находим все работы, входящие в
рассматриваемое (1-е) событие. Продолжительность найденной работы t(0-1) = 7
прибавляем к λо (т.е. к раннему сроку свершения начального события этой
работы - Tр0) и результат (7) заносим в столбец λ в строку 1, соответствующую
раннему сроку свершения события 1. При вычислении λ2 (т.е. Tр2) поступаем
аналогичным образом. Полученный результат (5) заносим в соответствующую
строку 2 столбца λ. При вычислении λ3 (т.е. Tр3) найденные в третьем столбце
значения
продолжительностей
работ,
предшествующих
третьему
(рассматриваемому) событию t1-3 = 3 и t2-3 = 0 складываем соответственно c
ранними сроками свершения их начальных событий λ1=7 и λ2=5;
В отроку 3 столбца λ заносим большую из полученных сумм. Это значение и
будет соответствовать λ3=Tp3.
По изложенной выше методике вычисляем значения λ для остальных
событий сетевой модели. Таким образом, ранние сроки свершения событий
сети (рис. 17) определены.
Расчёт параметра μ
Расчет ведется по аналогами с параметром λ. Определение μ j-го события
сводится к нахождению максимального пути, идущего от завершающего
события к рассматриваемому j-му событию. В общем виде для нахождения μ
любого события сети можно руководствоваться формулой:
27
μj = max (t(i-j) + μj)
(39)
r Vi
В нашем случае в матрице рассматриваются строки столбца μ, начиная c
8 по 0. Полагаем μ8=0. В строке столбца 8, соответствующего номеру
рассматриваемого (завершающего) события сети записываем 0. Для
определения μ7 находим работу строки 7. Из рассматриваемого 7-го события
выходит работа t7-8=4. Складываем продолжительность работы t7-8 с
имеющимся в этом столбце значением, μ8=0 (заметим, что номер, μ
соответствует номеру конечного события данной работы t7-8). t7-8 + μ8 = 3 + 0 =
3. Полученный результат записываем в столбец 7 строки μ. Определение
параметра μ8 для события 6 сети происходит следующим образом. Найденные в
строке 6 столбца μ значения продолжительностей работ, выходящих из
рассматриваемого события t6-7 = 2 и t6-8 = 9, складываем со значениями в
соответствующих столбцах (7 и 8) строки μ:
μ7 = 3 и μ3 = 0;
t6-7 + μ7 = 2 + 3 = 5;
t6-8 + μ8 = 9 + 0 = 9
Выбранное значение максимальной из сумм заносится в столбец 6 строки
μ.
По изложениям выше правилам определяем значения μ для остальных
событий сетевого графика.
Для определения поздних сроков свершения событий Tni сетевой модели
необходимо из значения продолжительности критического пути t(Lкр) = λmax =
μmax = 33 (временных единиц) вычесть значение μ. соответствуют каждому
рассматриваемому событию. По полученным значения Tnj и Tnj могут быть
получены остальные параметры сетевой мидели. После нахождения резервов
событий через параметры матрицы (Rj = Tnj – Tpj) становится известным, что
критический путь данного сетевого графика проходит через события 0-1-3-4-68.
АНАЛИЗ СЕТЕВЫХ ГРАФИКОВ
Оптимизации сетевых моделей предшествуют работы, связанные с
анализом сетевого графика, проводимого на разных этапах построения и
расчета сетевых графиков.
Одним из первых шагов анализа построенного сетевого графика является
пересмотр топологии сети, который состоит в проверке сетевого графика на
соответствие его правилам построения сетевых моделей и целесообразности
выделения работ комплекса для включения их в сеть, исходя из особенностей планируемого процесса и
имеющегося количества трудовых и материальных ресурсов.
Вторым этапом анализа может быть классификация и группирование работ по величине их полных
резервов и коэффициентов напряженности. Следующий этап анализа сетевого графика состоит в учете
потребности в основных типах ресурсов. Основное содержание этой работы заключается в разработке планкарты проекта-графиков, показывающих распределение потребностей по разным типам ресурсов во времени.
Последним этапом анализа сетевого графика является определение вероятности свершения
завершающего события сети в запланированный (директивный) срок.
Ниже будут рассмотрены три основных этапа анализа сетевых графиков: 1) определение
коэффициентов напряженности работ; 2) построение масштабного сетевого графика и план-карта комплекса
работ отражающей потребность в ресурсах; 3) определение вероятности свершения завершающего события
сети в запланированный (директивный) срок.
28
Коэффициент напряжённости работ сетевого графика
Работы, лежащие на критическом пути, являются самым напряжённым из работ сетевого графика (по
времени и другим ресурсам). Нарушение сроков их выполнения ведёт к нарушению (срыву) директивного
срока всего комплекса работ.
Работы, не лежащие на критическом пути, составляющие так зазываемую некритическую зону
сетевого графика, обладают как временными резервами, так и резервами трудовых и материальных ресурсов.
Степень трудности выполнения работы некритической зоны в срок, степень их напряженности
относительно работ критического пути можно оценить с помощью коэффициентов напряженности – KH(i-j).
Величина коэффициентов напряженности у разных работ в сети лежит в пределах I ≥ KH(i-j) ≥ 0. Для работ
критического пути KH(i-j) = 1. Коэффициент напряженности помогает установить очередность использования
трудовых и материальных ресурсов работ сетевого графика, имеющих резервы времени, при
перепланировании комплекса работ. Использование трудовых или материальных ресурсов работ
некритической гоны в процессе перепланирования сети приводит к изменению сроков выполнения и величины
полного резерва этих работ. Изменение продолжительности работ на величину, не большую ее полного резерва
времени, не приведет к нарушению директивного срока сетевого графика, но степень трудности выполнения
этой работы в срок возрастет, и она может попасть в разряд подкритических работ.
В первую очередь используются резервы работ, имеющих меньший KH(i-j)
Коэффициент напряженности определяется из отношения отрезков путей, заключенных между двумя
событиями сети, одним из которых является максимальный по продолжительности путь, проходящий через
данную работу, другим - критический путь.
В первом, из этих событий максимальный путь, проходящий через данную работу, и критический путь
расходятся, во втором событии – сходятся.
где
t[L(i-j)]max - продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу;
t(Lкр) - продолжительность критического пути;
t’(Lкр) - суммарная величина отрезков критического пути, совпадающих с максимальным путем,
проходящим через рассматриваемую работу.
Несколько преобразуем формулу (40), прибавив и отняв в числителе t(Lкр). Учитывая, что t(Lкр) – t[L(ij)]max = Rn(i-j) после несложных преобразовавши получим еще одну формулу для в дычищений коэффициента
напряженности:
Проиллюстрируем нахождение коэффициента напряженности работ сетевой модели (рис. 23).
принятое нами в качестве примера.
Ввиду того, что работы максимального пути, проходящего через рассматриваемую работу, на
участках, не совпадающих о критическим путем, имеют одинаковый полный резерв, коэффициенты
напряженности этих работ и формулы (41) будут также равны между собой. В рассматриваемом примере для
уменьшения объема вычислений можно выделить группы работ с одинаковыми KH(i-j).
KH(3-5) = KH(5-6), KH(6-7) = KH(7-j8, и отдельные работы, коэффициент напряженности которых надо определять KH(0-2); KH(6-7); KH(2-7). Коэффициенты напряженности фиктивных работ не определяются, т.к. это не реальные
работы, а зависимости. Рассмотрим нахождение KH(3-5). Максимальный путь, проходящий через работу (3-5),
расходится с критическим путем в событии "3" и сходится с ним в событии "6". Используя правило для
определения величины коэффициента напряженности работ (формула 40), получим:
Следовательно. KH(3-5) = KH(5-6) = 0,85
Аналогично рассуждая, определим коэффициенты напряженности остальных работ:
Такие же результаты будут получены при использовании формулы (41).
По найденным значениям коэффициентов напряженности работ можно сделать вывод, что при
перепланировании сети трудовые и материальные ресурсы работ, имеющих полные резервы времени Rn(i-j)>0,
могут быть использованы в следующей очередности:
1) ресурсы работы (О-2); 2) ресурсы (2-7); 3) ресурсы-(6-7), (7-8); 4) ресурсы (1-4); 5) ресурсы работ (3-5);
(5-6).
29
Масштабный сетевой график комплекса работ.
Построение сетевого графика в масштабе продолжительности работ производится на основе
предварительно составленного безмасштабного сетевого графика и установленных сроков свершения событий
и параметров работ.
Для построения масштабного сетевого графика с привязкой его к календарной шкале времени
необходимо знать директивный срок в календарных и рабочие днях, календарные даты начала и завершения
комплекса работ. Построение масштабного сетевого графика рекомендуется проводить в следующей
последовательности:
1) Ориентируясь на топологию безмасштабного сетевого графика, на координатной плоскости, по оси
абсцисс которой отложены сроки выполнения в рабочих днях, располагают события по ранним срокам их
свершения.
2) События сети в соответствии - работами безмасштабного сетевого графика соединяются тонкими
линиями.
3) На этих тонких линиях откладываются в масштабе продолжительности соответствующих работ,
которые затем прорисовываются более толстыми линиями и заканчиваются стрелками. Над работами
записываются необходимые параметры работ. (В частности, для построения план-карты проекта "Потребность
в трудовых ресурсах" записываются продолжительность работ t(i-j) и к трудоемкость Q(i-j) и величина
свободного резерва работы R’’n(i-j).
4) На построенном масштабном сетевом графике отмечается критический путь утолщенной или
двойной линией.
5) Под осью абсцисс располагается вторая шкала (календарных дней), на которой отмечены даты
начала и окончания комплекса работ и календарные даты, соответствующие рабочим дням, необходимым для
выполнения работ и свершения событий.
На рис. 25 представлен масштабный сетевой график, построенный на основе безмасштабного сетевого
графика (рис. 23), рассматриваемого нами в качестве примера в настоящем пособии.
План-карта комплекса работ
Гистограмма, отражающая потребность в ресурсах (трудовых и материальных) на различии временных
интервалах масштабного сетевого графика в процессе выполнения комплекса работ может быть названа планкартой комплекса работ.
План-карта комплекса работ может отражать некоторую обобщенную, приведенную к ИТР,
потребность в людских ресурсах независимо от требуемой квалификации исполнителей работ. Для реализации
комплекса работ могут составляться отдельные план-карты по каждой специальности, например, на
потребность в инженерах-конструкторах, -системотехниках, -математиках, программистах, лаборантах и т.д.
Кроме того, могут составляться план-карты комплексов работ, учитывающие потребность во времени в иных
видах ресурсов (в оборудовании, материалах и др.)
30
Рис. 25. Масштабный сетевой графа план-карты - "Потребность в трудовых ресурсах".
Построение план-карты комплекса работ на примере построения гистограммы удельной трудоемкости
темы - Дт, численно равной обобщенной, приведенной к ИТР, потребности в людских ресурсах, приведено на
рис. 25. Перед построением введем понятие удельной трудоемкости работы, определяемой по формуле:
где
Q(i-j) - трудоемкость работы (i-j);
t(i-j) - ожидаемая продолжительность работы (i-j);
D(i-j) -удельная трудоемкость – доля общей трудоемкости работы, приходящаяся на один день ее
проведения; в нашем случав численно равна требуемому количеству исполнителей.
Для построения план-карты Дт=f(t) комплекса работ, план реализации которого представлен
масштабным сетевым графиком на рис.25, необходима следующая информация: продолжительность t(i-j) и
трудоемкость работ – Q(i-j) (чел-дн), ранние сроки свершения событий сети, ранние сроки окончания работ.
Рекомендуемая последовательность построения гистограммы Дт=f(t):
1) Гистограмму удельной трудоёмкости следует строить под масштабным сетевым графиком, причём
начальная точка гистограммы должна сводить по времени с началом комплекса работ.
2) На сетевом графике, выбрав в качестве граничных точек ранние сроки свершения событий и
моменты завершения событий и моменты завершения работ, отложенных в масштабе, находим
интервалы, на которых имеет место одинаковая производственная ситуация.
На примере рассматриваемого сетевого графика – это интервалы времени между события 0 и 2,
события 2 и 1, 1 и 3, 3 и ранним сроком окончания работы (1-4) – tрo(1-4), между tрo(1-4) и tрo(2-7), tрo(2-7) и событием 5
и т.д.
На этих временных интервалах выполняется только им присущее количество и состав работ, каждая из
которых обладает своей удельной трудоёмкости – D(i-j), определяемой по формуле (42). Суммируя удельные
трудоёмкости этих работ, получим для каждого интервала своё значение удельной трудоёмкости темы - Дт,
число равное требуемому количеству людских ресурсов.
В качестве примера рассмотрим определение трудоёмкости условного комплекса работ (рис. 25) на
31
участке (событие 3 - tрo(1-3)).
На этом временном интервале выполняются работы (1-4), (3-4), (3-5) и (2-7). Удельная трудоемкость
комплекса работ на этом интервале будет равна сумме удельных трудоемкостей отдельных работ
Вероятность свершения завершающего события сети в запланированный срок
В том случае, когда установленный руководством (плана) для выполнения комплекса работ
директивный срок - Тд, отличается от раннего срока свершения завершающего события – Трс сетевого графика,
разработанного для реализации этого комплекса, возникает необходимость в пересмотре сроков окончания
лимитирующих работ, принадлежащих критическому пути сети. Предпосылкой для этого является
определение вероятности Рс свершения завершающего события сети в запланированный срок.
На основании теоремы теории вероятностей - "Дисперсия суммы независимых случайных величин
равна сумме дисперсий слагаемых" - дисперсия срока выполнения завершающего события рассчитывается как
сумма дисперсий работ критического пути.
Если число работ критического пути достаточно велико, работы критического пути можно считать
σ
статистически независимыми, к отдельные слагаемые в формуле (43) малы по сравнению с 2тс, то случайную
величину, равную продолжительности Lкр на основании следствия из центральной предельной теоремы
Ляпунова [4] можно приближенно считать распределенной по нормальному закону о математическим
σ
ожиданием Тс дисперсией 2тс.
Вероятность свершения завершающего события сети Рс в установленный (директивой) срок
определяется по формуле:
где
z - аргумент нормальной функции распределения вероятностей;
Тд - заданный (директивный) срок завершения комплекса работ;
Tс - ожидаемый (вычисленный) ранний срок свершения завершающего события комплекса
работ;
σ
- среднеквадратичное отклонение общей ожидаемой продолжительности
тс
критического пути - максимального пути, предшествующего заверяющему событию - (С).
Для определения
работ
σтс формулу (43) можно преобразовать и проектировать в следующем виде:
Определение Рс проводится в два этапа:
а) сначала вычисляется аргумент нормальной функции распределения вероятностей по
формуле
б) затем по таблице значений нормальной функции распределения вероятностей (приложение I)
находится Ф(z)=Рс
Найденное значение вероятности свершения завершающего события в запланированный срок
позволяет сделать вывод о качестве разработанного сетевого графика для установленных временных и
ресурсных ограничений.
Из опыта сетевого планирования и управления для характеристики качества составленного
плана реализации проекта рекомендован интервал значения вероятностей 0,35≤Рс≤0,65 (по другим
источникам 0,25≤Рс≤0,5). Если:
I) Рс < 0,35 - опасность срыва запланированного срока выполнения комплекса работ велика. Это
значение Рс указывает на недостаток заложенных в план ресурсов, необходимых для реализации темы в
срок и требует перепланирования сети с перераспределением имеющихся ресурсов. Если оптимизация
сети не дает желаемого результата, необходимо ставить вопрос о переносе директивного срока или о
дополнительном выделении ресурсов.
2) Рс > 0,65 - комплекс работ, естественно, будет выполнятся в запланированный срок, но при
32
этом в план заложено большее количество ресурсов, чем необходимо для реализации теми. В этом случае, с целью уменьшения стоимости выполнения комплекса работ, необходим пересмотр временных
оценок и распределения ресурсов в первую очередь на работах критического пути.
3) 0,35≤Рс≤0,65 - указывает на то, что при составления сетевой модели комплекса работ в
достаточной степени учтены факторы, влияющие на правильную оценку временных параметров сети в
распределение ресурсов; сетевой график может бать прият для работы без изменения, и комплекс работ
должен уложиться в установленный срок.
Пользуясь рассчитанными и приведенными в табл. значениями дисперсий работ сетевой
модели, определим для рассматриваемого нами графика (рис. 23) вероятность свершения
завершающего (8-го) события Ре сети в запланированный (директивный) срок Тд 32 дн.
1) Из графика Тр8=t(Lкр). Критический путь сетевого графика составляет работы (0-1), (1-3). (34), (4-6), (6-8).
2) Среднеквадратичное отклонение ожидаемой продолжительности критического пути по
формуле (44)
3) Аргумент нормальной функции распределения вероятностей, найденный по формуле (45)
4. Вероятность свершения завершающего 8-го. события сети в запланированный срок (из
приложения I)
Вывод: Ввиду того, что расчетная вероятность Рв=0,2743<0,35, необходимо провести
оптимизацию сети для вхождения вероятности свершения завершающего события в рекомендуемый
диапазон (0,35+0,65). Только после этого сетевая модель может быть принята в качестве плана для
реализации комплекса работ.
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ, РАСЧЕТ И АНАЛИ3 СЕТЕВЫХ
ГРАФИКОВ
В настоящее методической разработке для самостоятельной работы
предусмотрено решение одной, так называемой "сквозной" задачи,
охватывающей весь круг вопросов, связанных с построением, расчетом
элементами анализа сетевых моделей.
Задача
По предлагаемым технологическим взаимосвязям и временным
оценкам продолжительностей работ построения, рассчитать и
проанализировать сетевую модель условного комплекса работ. В процессе
решения задач должны быть рассмотрены следующие вопросы:
1) построение сетевой модели комплекса работ;
2)
определения
вероятности
методом
ожидаемой
продолжительности работ и их дисперсий;
3) расчёт параметров сетевой модели графическим методом;
4) расчёт параметров сетевой модели табличным методом;
5) расчёт параметров сетевой модели матричным методом;
6) анализ сетевой модели:
а) нахождение коэффициента напряжённости работ сетевого
графика;
б) построение масштабного сетевого графика (привязка
сетевого графика к календарной шкале времени);
в) построение план-карты комплекса работ (гистограммы
удельной трудоемкости темы);
г) определение вероятности свершения завершающего события сети в запланированный срок - Рс.
33
Примечания.
1. Значения Тд задаются преподавателем.
2. За студентом закрепляется индивидуальный вариант задачи.
Например, вариант 15/9 : "15" - номер сетевой модели (задачи № 1+25),
"9" - номер варианта исходных данных для расчета сетевой модели (из
таблицы 3).
Варианты задач на построение сетевых графиков
По
предлагаемым
технологическим
взаимосвязям между
отдельными работами построить сетевую модель комплекса работ
ными работами построить сетевую модель комплекса работ:
34
35
36
37
38
39
40
41
42