Таблица 8 Ускорение работ (форсирование)

СГУПС
Цевелев В.В., Аксенов В.Н.
МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ, АНАЛИЗА И
УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания и задания к курсу
«Математические методы и модели
в управлении»
Новосибирск
2011
1
УДК 658.012.2(084.21)(075.8)
Задания и методические указания предназначены для инженерных,
экономических и других специальностей всех форм обучения с целью
подготовки к практическим занятиям, выполнения контрольных работ и для
использования в дипломном проектировании. Состав методических указаний
полностью
соответствует
программе
курса
«Экономико-математические
методы и модели в управлении», «Математика», «Информационные технологии
в экономике».
Методические указания и задания рассмотрены и утверждены на
заседании кафедры “Менеджмент на транспорте” 13 октября 2010 г..
Составители: доц., канд. экон. наук Цевелев В.В., доц. Аксенов В.Н.
Ответственный редактор: доцент кафедры “Менеджмент на транспорте”
С.Ф. Самсонов
Рецензент: докт. техн. наук, проф. кафедры “Высшая математика”
СГУПС А.В. Пожидаев
© Сибирский государственный университет
путей сообщения, 2011
2
1 Сетевая модель и ее основные элементы
Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого
комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в специфической
форме сети, графическое изображение которой называется сетевым
графом (сетевым графиком). Существуют различные типы сетевых графов
(СГ), но наиболее широкое применение получили так называемые вершинные и
стрелочные графы.
Основными
элементами
стрелочного
графа
являются
"работа"
("операция") и "событие". Различают несколько видов понятия "работа":
а) действительная работа — процесс, требующий затрат времени и
ресурсов;
б) ожидание — процесс, который требует только затрат времени и не
нуждается в использовании ресурсов (например, процесс сушки после
покраски, твердение бетона и т.д.);
в) фиктивная работа (зависимость) — логическая связь между двумя
или несколькими работами (событиями), не требующая затрат времени и
ресурсов. Она указывает, что возможность одной работы непосредственно
зависит от результатов другой. Действительная работа и ожидание в
стрелочном сетевом графике отрабатываются сложной стрелкой, а фиктивная
работа — пунктирной.
Событие — это момент времени, определяющий возможность
осуществления начала или окончания данной работы или нескольких
работ. Событие разграничивает работы плана. Оно является результатом
выполнения предшествующей работы плана, а также необходимым условием
начала последующей работы. Отсюда двойственный характер события: для всех
непосредственно предшествующих ему работ оно является конечным, а для
всех
непосредственно
следующих
за
ним
—
начальным.
При
этом
3
предполагается, что событие не имеет продолжительности и свершается как бы
мгновенно. На сетевом графике события изображаются кружками
(вершинами графа). Среди событий сетевой модели выделяют два особых
события:
исходное
и
завершающее.
Исходное
событие
не
имеет
предшествующих работ и является отдельным моментом начала работ.
Завершающее событие не имеет последующих работ.
В вершинных сетевых графиках основным элементом является
операция, представленная вершинами графа в виде прямоугольников. В
качестве следующего элемента этого типа сетевых графов используются
стрелки, показывающие зависимости между операциями, определяющие
порядок
их
выполнения.
Пример
вершинного
и
стрелочного
графов
выполнения некоторого комплекса операций приведен на рис.1.
В
А
Е
Б
Д
Г
а) стрелочный граф
В
А
Б
Е
Г
Д
б) вершинный граф
Рисунок 1. Пример вершинного и стрелочного графов выполнения
некоторого комплекса операций
4
Сетевой график "работы–связи" в отличие от графика "события–
работы" обладает известными преимуществами: не содержит фиктивных работ,
имеет более простую технику построения и перестройки, включает только
хорошо знакомое понятие "работа" без менее привычного понятия "событие".
Вместе с тем сети без событий оказываются значительно более
громоздкими, т.к. событий обычно значительно меньше, чем работа (показатель
сложности сети, равный отношению числа работ к числу событий, как правило,
существенно больше единицы).
Поэтому эти сети менее эффективны с точки зрения управления
комплексом. Этим и объясняется тот факт, что (при отсутствии в целом
принципиальных различий между двумя формами представления сети) в
настоящее время наибольшее распространение получили сетевые графики
"событие–работа".
2 Порядок и правила построения сетевых графов
Первым шагом при составлении СГ является разбиение выполнения
проекта на отдельные работы (операции), установление их логической
взаимосвязи и взаимообусловленности.
При построении СГ необходимо соблюдать ряд правил:
1. Общее направление стрелок, отражающих работы (операции), должно
быть слева направо, снизу вверх, сверху вниз.
2. СГ не должен иметь лишних пересечений стрелок.
3. В СГ не должно быть "тупиковых" событий (кроме завершающего,
конечного), т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа.
не верно
верно
5
4. В СГ не должно быть "хвостовых" событий (кроме исходного,
начального), которым не предшествует хотя бы одна работа.
не верно
верно
5. В СГ не должно быть замкнутых циклов, т.е. цепочек работ, которые
возвращались бы к тому событию, из которого они вышли. Наличие таких
циклов свидетельствует об ошибке в исходных данных или неправильном
структурировании работ.
6.
Если в СГ одно событие служит началом нескольких работ,
заканчивающихся другим событием (т.е. при необходимости отобразить
параллельные работы), то в этом случае вводится дополнительное событие и
"фиктивная" работа.
не верно
верно
7. В сети должно иметься одно исходное и одно завершающее событие.
8. При сложной взаимозависимости работ используются фиктивные
работы.
а) Выполнению работы В предшествует окончание работы А, а
выполнению работы Г — А и Б.
А
Б
В
Г
6
б) выполнению работы Г предшествует окончание работ А и Б, а
выполнению работы Д — А и В.
Б
Г
А
В
Д
Пример 1.
На основе данных табл.1, отражающих последовательность выполнения
операций построим стрелочный сетевой граф.
Таблица 1 - Исходные данные
Операци
я
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
А
А
Б
Б
Г
Д,Е
В,Г
Ж, З
К
Непосре
дственно
предшест
вующие
==
З
операции
Операция А не имеет предшествующих, следовательно, она исходит из
начального события. Операции Б и В зависят от окончания операции А.
Это показывается на графике следующим образом (рис.2).
Б
А
В
Рисунок 2. Зависимость Б и В от А
7
Операции Г и Д имеют предшественником операцию Б, следовательно,
они должны выходить из события, в которое входит операция Б (рис.3).
Д
А
Б
Г
В
Рисунок 3. Зависимость Д и Г от Б
Выполнение операции Е зависит от окончания операции Г. Операция З ,
в свою очередь, кроме операции Г зависит еще и от операции В. При подобной,
сложной, взаимозависимости работ используем понятие "фиктивная работа"
(рис.4). Действуя по аналогии, получим в итоге всех построений сетевой
график.
2
Д
5
Ж
7
И
Б
А
0
Е
1
3
8
В
З
6
К
4
Рисунок 4. Сетевой график задания
8
3 Упорядочение событий сетевого графа.
Под упорядочением событий итогового графа подразумевается
нумерация, при которой для любой операции (работы) предшествующее ей
событие расположено левее и имеет меньший номер по сравнению с
завершающим эту работу событием. В качестве способа нумерации,
обеспечивающего выполнение этого условия, можно использовать способ
нумерации в зависимости от ранга события. При этом все события сетевого
графа разделяются на ранги. К событиям
одного ранга относятся
такие,
которые удалены от начального на одинаковое количество операций (работ),
включая фиктивные. Так на рис. 5 событие нулевого ранга одно — № 0.
Событие первого ранга № 1, второго — № 2, третьего — № 3. Событий
четвертого ранга — два: № 4,5. Внутри одного ранга нумерация событий может
быть произвольная, начиная с первого неиспользованного номера. Событие
пятого ранга — № 6, шестого — № 7, седьмого — № 8. В результате подобной
нумерации событий каждая операция получает код ( i-j ), где i — номер
предшествующего операции события, j — номер последующего события.
4 Время выполнения операций
После того как структура сети точно установлена и изображена
графически,
необходимо
получить
оценки
продолжительности
каждой
операции. Предположение о том, что эта величина может быть точно известна,
в
действительности
выполняется
редко,
поскольку
система
сетевого
планирования и управления (СПУ) обычно применяется для планирования
проектов,
не
имевших
в
прошлом
никаких
аналогов.
Чаще
всего
продолжительность операции по СГ заранее неизвестна и может принимать
лишь одно из ряда возможных значений. Данная неопределенность сроков
9
выполнения
операций
подвергает
неопределенности
общую
продолжительность проекта. Выбор метода, позволяющего учесть эту
неопределенность, зависит от типа проекта и природы неопределенности.
Алгоритм, получивший наиболее широкое применение, называется
методом оценки и пересмотра проектов (Project Evolution and Review
Technique — PERT). При вычислении ожидаемого времени выполнения
проекта этим методом используются показатели ожидаемого времени
выполнения
операций,
которые
являются
случайными
величинами,
характеризующиеся своим законом распределения.
Практически во всех системах СПУ априори принимается, что
распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами:
а) непрерывностью;
б) унимодальностью, т.е. наличием единственного максимума у
кривой
распределения;
в)
двумя
точками
пресечения
кривой
распределения с осью ОХ, имеющими неотрицательные абсциссы.
Простейшим распределением с подобными свойствами является
распределение,
которое
на
основе
анализа
большого
–
количества
статистических данных (хронометраж времени реализации отдельных работ,
нормативные данные и т.д.) можно использовать в качестве априорного для
всех работ. Если это так, то распределение времени выполнения проекта в
целом является нормальным.
Метод PERT может применяться при анализе конкретного проекта
только в случае выполнения данной предпосылки.
Предположение о
–распределении продолжительности работы
( i–j ) позволяет получить следующие оценки ее числовых характеристик:
a) Среднее значение — ожидаемая продолжительность операции
10
t(i j ) 
t 0 ( i  j )  4t нв ( i  j )  t n ( i  j )
6
,
(1)
где
t 0 ( i – j ) – оптимистическая оценка – минимально возможный период, в
течение которого может быть выполнена данная операция (продолжительность
операции при самых благоприятных условиях);
t
HB ( i – j )
– наиболее вероятная оценка – наилучшая оценка периода
времени, в течение которого может быть выполнена данная операция;
t
n ( i – j )
– пессимистическая оценка – максимально возможный период
времени, в течение которого может быть выполнена данная операция (время,
которое потребовалось бы при самых неблагоприятных условиях).
Плотность
вероятности (t)
Срок выполнения
операции t
t0
tHB
tn
Рисунок 5 Время и вероятность события
б) Дисперсия — мера степени неопределенности временных оценок
операции

2
(i  j )
 t n (i  j )  t 0(i  j )


6





2
(2)
Пример 2:
11
На основе установленных временных оценок операций (табл. 2),
определить
ожидаемую
продолжительность
операций
и
степень
неопределенности временных оценок.
Согласно формул (1,2) ожидаемая продолжительность операции
(0-1) составит:
t 
3  4 4  5
 4 недели,
6
а степень неопределенности временных оценок:

2
 5  3


6 

2

4
36 недель.
Результаты расчетов, произведенных аналогичным образом по всем
операциям сетевого графа, приведены в табл.2.
Таблица 2 Результаты расчетов
Срок выполнения операции, недель
Опера
Код
ция
операции
А
0–1
3
Б
1–2
В
t 0 ( i – j ) t HB ( i – j )
2
t n(i–j)
t (i  j )
4
5
4
4/36
2
2,5
6
3
16/36
1–4
6,5
7
13,5
8
49/36
Г
2–3
1
2
3
2
4/36
Д
2–5
2,5
4,5
9,5
5
49/36
Е
3–5
3
3,5
7
4
16/36
Ж
5–7
1
1,5
5
2
16/36
З
4–6
3
4,5
9
5
1
И
7–8
2,5
3
9,5
4
49/36
К
6–8
5
5,5
9
6
16/36
12
На основе полученных результатов можно сказать, что наибольшей
неопределенностью временных оценок характеризуются операции В, Д, и И.
Поэтому, при возможной оптимизации СГ необходим пересмотр временных
оценок, что свидетельствует о высокой точности прогнозирования.
5 Анализ сетевого графа
5.1 Расчет временных параметров СГ
При анализе СГ особое значение занимает расчет временных параметров
СГ (табл.3).
Таблица 3 Расчет временных параметров сетевого графика
Элемент сети,
Наименование
характеризуемый параметром
параметра
1.
Событие
…
2.
Работа
…
3.
Путь
…
Условное
обозначение
параметра
Рассмотрим содержание и расчет указанных параметров.
1.Ранний срок Тр
(
i
)
наступления i-го события определяется
продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:
Тр ( i ) =max t (L n i)
(3)
Ln i
где
13
Ln
– любой путь, предшествующий i-му событию, т.е. путь от
i
исходного до i-го события сети.
Если
событие
j
имеет
несколько
предшествующих
путей,
а,
следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок
наступления события j удобно находить по формуле:
Тр ( j ) = max Тр (i) + t ( i - j )
(4)
i,j
Ранний срок наступления исходного события равен 0.
2 Поздний срок наступления i-го события
Тп
( i )=
t кр - max t (Lc i),
(5)
Lc i
где
Lc
i
– любой путь, следующий за i-м событием, т.е. путь от i-го
события до завершающего события сети.
Если событие i имеет несколько последующих путей, а, следовательно,
несколько последующих событий j, то поздний срок наступления события i
удобно находить по формуле:
Тп ( i ) = min Тп ( j )+t ( i - j )
(6)
i,j
1.
Резерв времени R( i ) i-го события показывает, на какой допустимый
период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая
увеличения срока выполнения всего проекта, и определяется как разность
между поздним и ранним сроками его свершения:
14
R( i ) = Тп (i) - tр ( i )
4. Ранний срок t
рн ( i – j )
(7)
начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком
наступления начального (предшествующего) события i, т.е.:
Tрн ( i – j ) = Тр ( i )
(8)
5. Ранний срок t ро ( i , j ) окончания работы (i-j) определяется по формуле:
t ро ( i , j ) = t рн ( i – j ) + t ( i – j ) = Tр ( i ) + t ( i – j )
6. Поздний срок t
по ( i – j )
(9)
окончания работы (i-j) определяется поздним
сроком наступления конечного (последующего) события j, т.е.:
t по ( i – j ) = Tп ( j )
(10)
7. Поздний срок t пн (i-j) начала работы (i-j) определяется по формуле:
t пн ( i - j ) = t по ( i - j ) – t ( i - j ) = Tп ( j ) – t ( i - j )
8. Полный резерв времени Rп
(i-j)
(11)
работы (i-j) показывает, на сколько
можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок
выполнения проекта не изменится. Полный резерв Rп(
i - j )
определяется по
формуле:
Rп ( i - j ) = Tп ( j ) – Tр ( i ) – t ( i - j )
(12)
15
9. Частный резерв времени первого вида R1 ( i - j ) работы
(i-j)
есть часть
полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность
работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R1(i-j)
находится по формуле:
R1 ( i - j ) = Tп ( j ) – Tп ( i ) - t ( i - j )
(13)
Этот резерв может быть использован на увеличение продолжительности
данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих
работ.
10. Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв
времени Rc
( i - j )
работы (i-j)представляет часть полного резерва времени, на
которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом
раннего срока ее конечного события.
Rc ( i - j ) находится по формуле:
Rc ( i - j ) = Tр ( j ) – Tр ( i ) – t ( i - j )
(14)
Этот резерв может быть использован на увеличение продолжительности
данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих
работ.
11. Независимый резерв времени Rн
( i - j )
работы (i-j)- часть полного
резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы
заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в
ранние сроки. Rн ( i - j ) находится по формуле:
Rн ( i - j ) = Tр ( j ) – Tп ( i ) – t ( i - j )
Этот
резерв
может
быть
использован
(15)
для
увеличения
продолжительности только данной работы.
16
12. Продолжительность полного (от исходного до завершающего
события)
пути
t(L)
определяется
суммой
продолжительностей
работ,
принадлежащих пути.
13.
Продолжительность
критического
пути
tкр
определяется
наибольшим значением продолжительности полного пути. Критический путь
определяет возможность выполнения в желаемые сроки. Задержка в реализации
любой из работ, лежащих на критическом пути, ведет к нарушению сроков
выполнения
данного
проекта.
Т.е.
основным
признаком
определения
критического пути является:
а) отсутствие резерва времени у событий одного из полных путей;
б) отсутствие резерва времени у работ, принадлежащих данному пути.
Признак б) целесообразно использовать, когда сеть содержит несколько
критических путей.
14. Резерв времени пути R
(L)
определяется как разница между длиной
критического и рассматриваемого пути
R (L) = t кр - t (L)
Он
показывает,
насколько
(16)
в
сумме
могут
быть
увеличены
продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути.
Пример 3.
Используя значения ожидаемого времени выполнения операций,
рассчитанные в примере 2, определим временные параметры сетевого графика,
представленного на рис.4.
В первую очередь, необходимо определить временные параметры
событий. При определении ранних сроков наступления событий Тр
( i )
17
двигаемся по СГ слева направо и используем формулы (3) и (4). Для нулевого
события i = 0 Тр(0) =0.
Для i =1
Тр(1) = Тр(0) + t
(0 - 1)
=0+44, т.к. для первого события
существует только один предшествующий путь Ln1: 0-1.
Аналогично, для i =2 и i =3: Тр(2) = Тр(1) + t (1-2) = 4+3 =7, Тр(3) = Тр(2) + t
(2-3)
= 7+2=9.
Для i =4
Тр(4) = maxТр(1) + t
(1-4)
; Тр(3) + t
(3-4)=max4+8;9+0=
max12;9=12, т.к. для события 4 существует два предшествующих пути Ln 4:
0-1-2-3-4- и 0-1-4 и предшествующих события 1 и 3.
Аналогично:
Тр (5) = maxТр(2) + t (2 - 5) ; Тр(3) + t (3 - 5)  max7+5;9+4=13
Тр (6) =Tp(4) + t (4 - 6) =12+5=17
Tp (7) = maxTp(5) + t (5 - 7) ; tp (6) + t (6 - 7) = max13+2;17+0=17
Tp (8) = maxTp(6) + t (6 - 8) ; Tp(7) + t (7 - 8) = max17+6;17+4=23
При определении поздних сроков наступления событий Тп
(i)
двигаемся
по сети в обратном направлении, т.е. справа налево, и используем формулы (5)
и (6). Для i = 8 (завершающего события) поздний срок наступления равен его
раннему сроку, т.е. Тп(8) =23. Для i = 7 Тп(7) = Тп (8) - t ( 7 - 8 ) =23-4=19, т.к. для
события 7 существует только один последующий путь Lc7 : 7-8.
Для i = 6 Тп (6) =min Tп(7) - t ( 6 - 7 ) ; Тп(8) - t ( 6 - 8 ) = min17-0 ; 23-6=17,
т.к. для события 6 существует два последующих пути Lc 6 : 6-7-8 и 6-8.
Аналогично:
Тп (5) = Тп (7) - t ( 5 - 7 ) =19-2=17
Тп (4) = Тп (6) - t ( 4 - 6 ) =17-5=12
Тп (3) = minТп (5) - t ( 3 - 5 ) ; Тп (4) - t ( 3 - 4 ) = min17-4;12-0=12
Тп (2) = minТп (5) - t ( 2 - 5 ) ; Тп (3) - t ( 2 - 3 ) = min17-5;12-2=10
Тп (1) = minТп (4) - t ( 1 - 4 ) ; Тп (2) - t ( 1 - 2 ) = min12-8;10-3=4
Тп (0) = Тп ( 1 ) - t ( 0 - 1 ) = 4 – 4 = 0
18
По формуле (7) определяем резервы времени событий: R(0) = 0, R(1) = 0,
R(2) =10 - 7=3, R(3) =12-9=3, R(4) = 0, R(5) =17-13= 4, R(6) =0, R(7) =19 -17=2, R(8) =
0.
Рассчитанные
временные
параметры
событий
целесообразно
представить на графике в следующем виде:
i
Tp ( i )
tп ( i )
Ri
Рисунок 6 Образец сетевого графика
Вычисление временных параметров работ покажем на примере работы
(2-5):
1. Ранний срок начала работы по формуле (8): tрн (2-5) = Тр(2) = 7
19
2. Ранний срок окончания работы по формуле (9): tро (2-5) = t рн (2-5) + t (2-5)
=7+5=12
3. Поздний срок окончания работы по формуле (10): tпо (2-5) = Тп (5) =17
4. Поздний срок начала работы по формуле(11): tпн (2-5) = tпо
-t
(2-5)
- Тр(2) - t
(2-5)
(2-5)
=17-5=12
5. Полный резерв работы по формуле (12):Rп(2-5) = Тп
(5)
=17-7-5=5, т.е. срок выполнения данной работы можно увеличить на 5 недель,
при этом срок выполнения проекта не изменится.
6. Частный резерв времени работы первого вида по формуле (13):
2-5)
= Tп
(5)
- Тп
(2)
-t
(2 - 5)
R1(
=17-10 -5= 2 нед., т.е. при сохранении общего срока
выполнения проекта выполнение работы (2-5) и любых последующих работ
может быть задержано на 2 недели без нарушения резерва времени
предшествующей ей работы (1-2).
7. Частный резерв времени второго вида (свободный резерв) по формуле
(14):
Rc (2 - 5) = Tр(5) - Тр(2) - t ( 2 - 5 ) =13-7-5=1 нед., т.е. при сохранении общего
срока выполнения
проекта выполнение работы (2-5) и предшествующих ей
работ может быть задержано на 1
неделю без нарушения резервов времени
последующих работ.
8. Независимый резерв времени работы по формуле (15):
Rн(2-5) = Тр (5) - Тн (2) - t (2 - 5) =13-10 - 5 = - 2 нед.
20
Отрицательная величина резерва свидетельствует о том, что увеличение
продолжительности работы (2-5) при условии окончания предыдущей работы
(1-2) в поздний срок и начала последующей работы (5-7) в ранний срок
невозможно.
Результаты расчетов временных параметров всех работ приведены в
табл.4.
Таблица 4 Расчет временных показателей
Прод
Код
олжит
работ
ельно
( i-j )
сть
Сроки начала и
Резервы времени работ
окончания работ
t рн (i - j) t ро (i - j) t пн (i -j)
t по (i - j )
Rп (i - j)
R1 (i - j)
Rс (i - j)
Rн (i - j)
t (i-j)
0-1
4
0
4
0
4
0
0
0
0
1-2
3
4
7
7
10
3
3
0
0
1-4
8
4
12
4
12
0
0
0
0
2-3
2
7
9
10
12
3
0
0
-
2-5
5
7
12
12
17
5
2
1
-
3-5
4
9
13
13
17
4
1
0
-
4-6
5
12
17
12
17
0
0
0
0
5-7
2
13
15
17
19
4
0
2
-
6-8
6
17
23
17
23
0
0
0
0
7-8
4
17
21
19
23
2
0
2
0
Для определения продолжительности всех полных путей целесообразно
построить граф полных путей (рис.7) .
21
Рисунок 7 Образец графа полных путей
Таблица 5 Показатели сетевого графика
Продолжительность
Полные пути
полного пути
t
(L)
,
Резерв времени пути R
(L) ,
нед.
нед.
L 1: 0-1-2-5-7-8
18
5
L 2: 0-1-2-3-5-7-8
19
4
L 3: 0-1-2-3-4-6-7-8
18
5
L 4: 0-1-2-3-4-6-8
20
3
L 5: 0-1-2-4-6-7-8
21
2
L 6: 0-1-4-6-8
23
-
Очевидно, что путь L6 имеет максимальную продолжительность. Он
является критическим. Это подтверждается тем, что работы, лежащие на этом
пути (0,1;1,4;4,6;6,8), а также критические события (0,1,4,6,8) резервов времени
не имеют (табл.5 , рис.7 ). Имея продолжительность критического пути tкр=23
22
нед., используя формулу (16), найдем резервы времени путей: R (L1) = 23 -18 =5
нед., R (L 2) =23 -19 = 4 нед. и т.д.
5.2. Оценка вероятности выполнения проекта
Анализируемый СГ представляет собой сеть не с детерминированными
(фиксированными), а со случайными продолжительностями работ. Они
характеризуются
своими
числовыми
характеристиками
-
средним
значением t (i  j ) и дисперсией  2 (i  j ) .
Поэтому все временные параметры данного СГ являются также
средними
значениями
соответствующих
случайных
величин:
средним
значением данного срока наступления события Т р(i  j ) , средним значением
полного резерва времени работы R n(i  j ) , средней длиной критического пути
t кр .
И, естественно, что в каждом из вариантов выполнения проекта эти
величины могут заметно отклоняться от средних значений. Поэтому, весьма
важным моментом становится оценка вероятности того, что наступление
наиболее важных событий, а также срок выполнения проекта tкр не превзойдет
заданного директивного срока Тд.
Поскольку время выполнения операций и проекта в целом являются
случайными величинами, имеющими нормальный закон распределения, для
оценки вероятности выполнения заданных директивных сроков наступления
событий может быть использована формула:
PR=Ф (z),
(17)
где Ф (z) - значение нормальной функции распределения вероятностей,
23
где
Тд  Т
z 
Числитель

формулы
2
р
(18)
Тр
показывает
резерв
времени
между
запланированным (директивным) и ранним сроком наступления события. Эта
величина может быть как положительной, так и отрицательной.
Знаменатель
продолжительностей
получается
всех
тех
путем
операций,
суммирования
дисперсий
которые использовались
при
вычислении раннего срока наступления соответствующего события Тр, и
извлечения квадратного корня из полученной суммы.
При использовании формулы применительно к времени выполнения
всего проекта, можно сказать, что:
а) вероятность менее
0,25 (25%) свидетельствует о том, что
руководитель, реализующий проект, отказавшись от пересмотра календарного
плана, берет на себя значительный риск в осуществлении проекта к
директивной дате;
б)
вероятность
0,5
(50%)
соответствует
высокому
качеству
планирования и является показателем того, что вы должны уложиться в
директивный срок;
в)
вероятность
более
0,6
(60%)
указывает
на
расточительное
использование ресурсов.
Пример 4
Используя данные примера 2 и 3, оценим и проанализируем:
а) вероятность наступления события 5 на 15 неделе реализации проекта;
б) вероятность выполнения проекта в срок 20 недель.
а) Ранний срок наступления 5 события соответствует 13-й неделе, а
директивный срок -15-й. Согласно формуле (18) имеем:
24
z
15  13
4 16 4 16



36 36 36 36

2
40
36

12
40
 1,9
По вычисленному значению z при помощи таблицы значений
нормальной функции распределения вероятностей (прил.
) находим, что
вероятность наступления события 5 в запланированный срок составляет 0,9713
или 97,13%. Иными словами, в 9713 случаях из 10000 для события 5
запланированный срок в 15 недель с начала проекта будет соблюдаться.
б) Критический срок выполнения проекта tкр равен 23 недели, а
запланированный срок - на 3 недели меньше. Вероятность того, что проект
можно выполнить за 20 недель, равна:


PR  Ф





20  23
  Ф ( 1,8)  0,0359 или 3,59%
4
49
16 

1

36 36
36 
Вероятность
0,0359
(3,59%)
чрезвычайно
мала.
Поэтому,
для
соблюдения директивного срока, целесообразно существенно изменить план
реализации проекта. Для этого, в первую очередь, необходимо пересмотреть
временные оценки критических операций, имеющих наибольшую степень
неопределенности. В нашем примере это работа 1-4. Допустим, в результате
привлечения
дополнительных
средств
на
выполнение
этой
работы
оптимистическая оценка продолжительности этой работы снизилась до 4,5
недель, наиболее вероятная до 5,5 недель, а пессимистическая - до 9,5 недель.
Следовательно, ожидаемая продолжительность этой операции согласно
формуле будет равна:
t
4,5  4  5,5  9,5
 6 недель,
6
а ее дисперсия:
25
25
 9,5  4,5 
 
недель 2
 
6
36


2
2
Поскольку работа 1-4 относилась к критическому пути, необходимо
проверить, не появился ли, в связи с уменьшением продолжительности работы
1-4, новый критический путь. Для этого достаточно рассчитать временные
параметры всех событий.
Очевидно, что критический путь определяется теми же событиями
0,1,4,6,8, а продолжительность его снизилась до 21 недели. В связи с этим:
z
20  21
1

 0,7
4 25
16
81
 1
36 36
36
36
Согласно полученному значению аргумента z, вероятность завершения
проекта в запланированный срок, при условии проведенного изменения плана
(см. прил.2 ), равна 0,2420 (24,2%). Чтобы увеличить этот показатель можно
произвести подобные действия в отношении работы 4-6 (дисперсия равна 1),
либо, без затрат дополнительных средств, перевести специалистов с
некритической операции, имеющей резервы времени (например, 2-5), на
данную критическую (4-6), что позволит увеличить продолжительность
некритической операции и снизить продолжительность критической.
6 Оптимизация сетевого графика
6.1 Оптимизация сетевого графика по трудовым ресурсам
СГ отражает логическую последовательность выполнения операций,
входящих в проект. При этом, выполнение любой операции может
производиться в интервале времени между ее ранними и поздними сроками.
26
Соблюдение ранних сроков имеет свое преимущество - резерв времени на
непредвиденные обстоятельства, возникающие при реализации любого проекта.
В то же время, этот вариант может оказаться нецелесообразным,
поскольку не будет отвечать принципу эффективности использования ресурсов
(в частности, трудовых), т.е. в определенные дни реализации проекта
имеющиеся "рабочая сила" будет перегружена, в другие
же дни -
недоиспользована. Для ликвидации подобной аритмии необходимо в пределах
существующих резервов времени отсрочить выполнение каких-либо операций.
Пример 5.
Используя данные о потребности в работниках для выполнения каждой
операции табл.6, произведем оптимизацию СГ, представленного на рис.9 при
условии наличия 8 чел.
Таблица 6 Исходные данные для расчета
Операция
Потребность
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
3
2
5
6
3
4
5
4
3
2
в
работниках
Для
решения
подобной задачи, можно использовать один
из
простейших алгоритмов, в котором используются и графики ресурсов , и
метод "проб и ошибок". В целях упрощения построения графика ресурсов
строим масштабный СГ по ранним срокам (рис.9). Количество работников,
требуемых для осуществления каждой операции, складывается по всем
операциям, выполняемым одновременно. Суммарная потребность в каждый
момент времени фиксируется в виде столбика (рис.10). Как следует из
построенного графика, иногда потребности в рабочей силе не превышают ее
наличие, но в тоже время общее число требуемых человеко-часов не
превосходит их наличного количества. В период с 7 по 12 и с 13 по 15 недели
идет превышение наличия рабочей силы. Чтобы это ликвидировать,
27
необходимо пересмотреть сроки выполнения операций в эти промежутки
времени. Прежде всего, следует начать с того интервала времени, на котором
наибольшее превышение лимита. Это интервал с 7 по 9 неделю. В этот период
одновременно выполняются работы (2-5), (2-3) и (1-4), но пересматривать
сроки можно только у работ, имеющих резервы времени: у работ (2-5) он равен
5 недель, а у (2-3)-3. Т.е. можно сказать, что начало выполнения работы (2-5)
можно задержать от 1 до5 недель, а работы (2-3) - до 3 недель. Необходимо
проверить и ту, и другую возможность. Начнем с работы (2-3). Чтобы
ликвидировать пиковый расход рабочей силы, начало работы (2-3) следует
отложить как минимум на 2 дня, что позволяет ее резерв. Последующие работы
(3-5) и (4-7) также меняют срок своего начала (рис.11).
В результате численность в период с 7 по 9 неделю, и с 13 по 15
неделю снизилась до 8 чел., с 15 по 17 - увеличилась до 9 чел., с 9 по 11
неделю - до14 чел., с 11 по 12 неделю не изменилась (12 чел.).
Полученный план лучше предыдущего, но не является оптимальным,
т.к. пиковый расход рабочей силы не ликвидирован. Дальнейшее изменение
плана путем отсрочки работы (2-3) на 1 неделю (остаток резерва) к
положительным результатам не приведет, поскольку пиковый расход длится 2
недели. Обратим внимание на работу (2-5).
Рис.10
28
Рис.11
Согласно плану на рис.11 данную работу необходимо прекратить через
9 недель и перенести срок ее продолжения на 3-5 недель.
Меньший срок позволит снизить перерасход ресурсов с 9 по 11 , и с 11
по 12 неделю, соответственно до 11 и 9 человек, но увеличит расход ресурсов
на период 12 по 15 недели до 11 человек.
Если использовать резерв полностью, то будет получен более
приемлемый вариант:
- перерасход ресурсов будет наблюдаться с 9 по 12 и с 14 по 15 недели,
но ликвидировать его без изменения критического срока невозможно. Т.е.
при наличии 8 человек вариант выполнения проекта за 23 недели,
представленный на рис.12 является оптимальным.
Для предотвращения срыва сроков выполнения операций с 9 по 11 и с 14
по 15 недели необходимо привлечь к работе дополнительно 3-х человек, а с 11
по 12 неделю - одного.
29
Альтернативой данной рекомендации может быть введение доплаты за
совмещение имеющимся работникам.
Если же соблюдение срока в
23 недели не является строго
обязательным, а дополнительные затраты исключены, то при наличии 8 человек
ожидаемая скорректированная продолжительность выполнения проекта будет
составлять 25 недель (рис. 13) .
Рис.12
Рис. 13
30
6.2. Оптимизация стоимости и времени выполнения проекта
Общая стоимость проекта зависит от стоимости выполнения
каждой операции:
С 
 С (i,
j)
(19)
i, j
В то же время стоимость выполнения каждой операции тесно связана с
ее продолжительностью - уменьшение стоимости операции пропорционально
увеличению ее продолжительности, и наоборот. В связи с этим существуют
два направления оптимизации:
а) минимизация времени выполнения проекта;
б)
минимизация
стоимости
проекта
при
заданном
времени
выполнения.
Поскольку время выполнения проекта определяется критическим путем,
минимизация времени выполнения сводится к переводу на ускоренные режимы
выполнения операций критического пути. Косвенным последствием такой
меры является увеличение стоимости операций и, как следствие, увеличение
стоимости выполнения проекта на величину:
С y   C y (i  j )   t y (i  j )  hy (i  j )
i, j
где t
y
i, j
,
(20)
(i-j)-разница во времени между нормальным и ускоренным
режимами выполнения (i-j);
hy(i-j) - удельные дополнительные затраты, д.е. в единицу времени.
При минимизации стоимости выполнения проекта производится перевод
на замедленный режим операций, не влияющих на увеличение срока
выполнения проекта, т.е. некритических. При этом экономия стоимости
проекта составит:
31
C0   C0 (i  j )   t 0 (i  j )  h0 (i  j ) ,
i, j
i, j
(21)
где t0(i-j) - разница во времени между нормальным и замедленным
режимами выполнения операции (i-j),
h0(i-j)- удельная величина высвобождения средств, д.е. в единицу
времени.
Стоимость выполнения любой операции состоит из условно постоянной
и условно переменной компонент. Если в качестве последней рассматривать
заработную плату работников, то удельные величины затрат и высвобождения
средств при оптимизации СГ можно определить по формулам:
hy 
hy 

r (i  j )  Q t (i  j )  t y (i  j )

,
t (i  j )  t y (i  j )

r (i  j )  Q t 0 (i  j )  t y (i  j )
t 0 (i  j )  t (i  j )
(22)

,
(23)
где r(i-j)- количество работников, выполняющих операцию (i-j);
Q- заработная плата одного работника, д.е. в единицу времени;
t(i-j)-нормальная продолжительность операции;
ty(i-j) - ускоренная продолжительность операции;
t0(i-j) - замедленная продолжительность операции.
В
зависимости
от
конкретных
целей
указанные
направления
оптимизации могут осуществляться как по отдельности без взаимосвязи
результатов, так и в последовательности "время - стоимость". Последнее будет
означать комплексную оптимизацию, ее результатом будет организация
выполнения проекта в минимальные сроки и с минимальными затратами.
32
Пример 6
Определим минимальное время выполнения проекта, заданного в
примере №3 , и соответствующее ему минимальное значение стоимости.
Как уже отмечалось, общая продолжительность выполнения проекта
определяется продолжительностью критического пути. И чтобы определить
минимальное
время
выполнения
проекта
необходимо
сократить
продолжительность критических, а в отдельных случаях и не критических,
работ. Данные об ускоренной продолжительности работ, а также расчет
удельных величин дополнительных затрат приведены в табл.7.
Таблица 7 Исходные данные для расчетов
Операция
Нормальная
Абсолютное
Ускоренная
продолжител
изменение
продолжител
ьность
продолжител
ьность
выполнения
ьности при
выполнения
операции t ,
ускорении t
нед.
y,
нед.
операции
y,
t
Удельная
Необходимое
величина
количество
дополнительн
работников
ых затрат,
д.е./нед.
нед.
0-1
4
1
3
3
12,50
1-2
3
1
2
2
16,67
1-4
8
3
5
5
18,75
2-3
2
1
1
6
150,00
2-5
5
2
3
3
20,00
3-5
4
2
2
4
50,00
4-6
5
2
3
4
26,67
5-7
2
1
1
5
125,00
6-8
6
2
4
2
8,33
7-8
4
2
2
3
33,50
33
Процесс оптимизации удобно осуществлять поэтапно в табличной
форме (табл.8).
Таблица 8 Ускорение работ (форсирование)
Ускорение работ (форсирование)
Полные пути
6-8
0-1
1-4
t y= 2
t y= 1
t y= 2
1-4
4-6
1-2
3-5
t y= 1
t y= 1
4-6
3-5
Итог
2-5
о
t y= 1
L1: 0-1-2-5- 7-8
18
18-1
17
17-1
16
16-1
15
L2: 0-1-2-3-5-7-
19
19-1
18
18-1
17-1
16-1
15
18
18-1
17
17-1
16-1
15-1
14
20-2
18-1
17
17-1
16-1
15-1
14
21
21-1
20-2
18-1
17-1
16-1
15
23-2
21-1
20-2
18-1
17-1
16-1
15
16,66
12,50
37,50
35,42
76,67
96,67
275,4
8
L3: 0-1-2-3-4-67-8
L4: 0-1-2-3-4-68
L5: 0-1-4-6-7-8
L6: 0-1-4-6-8
Дополнительн
ые затраты,
д.е.  t y ( i - j ) 
h y(i-j)
1 этап.
Из работ критического пути L6 наименьшие удельные дополнительные
затраты имеет работа 6-8:
hymin(i-j)=min hy (0-1);hy (1-4); hy (4-6);hy (6-
8)=min12,50; 18,75; 26,67; 8,33= 8,35, т.е. hy min (i-j)= hy (6-8)= 8,33.
34
Продолжительность работы t(6-8) можно сокращать не более, чем на 2
недели (чтобы не появились при сокращении полные пути, продолжительность
которых превышала бы
продолжительность критического пути). При этом
изменится длина двух путей, проходящих через эту работу: L4 с 20 до 18
недель и критического L6 с 23 до 21 недели. А стоимость проекта за счет
ускорения операции (6-8) согласно формуле увеличится на 2  8,33= 16,66 д.е.
Новые длины путей равны t(L1)=t(L3)=t(L4)=18; t(L2)=19; t(L5)= t(L6) =21.
2 этап.
Теперь мы имеем два критических пути L5 и L6 и сократить срок
выполнения
проекта
можно
за
счет
одновременного
сокращения
их
продолжительности. Сократить одновременно t(L5) и t(L6) можно, уменьшив
продолжительность работ, лежащих на этих путях: либо t(0-1),либо t(1-4), либо
t(4-6). Останавливаемся на t(0-1), поскольку при этом обеспечивается минимум
затрат на ускорение работ: hy min (i-j)=min  hy (0-1); hy (1-4);
hy (4-6)=
min12,50; 18,75; 26,67= 12,50, т.е. hy min (i-j)= hy (0-1)=12,50.
Продолжительность работы t(0-1) можно изменить не более чем на одну
неделю. На эту величину уменьшатся длины критических путей t(L5) и t(L6), а,
следовательно, и срок выполнения проекта. При этом стоимость проекта
увеличится на 12,50 д.е. Новые длины путей равны: t(L1)= t(L3)= t(L4)= 17,
t(L2)= 18, t(L5)= t(L6)= 20.
3 этап.
Продолжаем сокращать продолжительность двух критических путей L5
и L6. hy min (i-j)=minhy (1-4); hy (4-6)=min 18,75; 26,67=18,75, т.е. hy min (ij)= hy (1-4)=18,75. Продолжительность работы t(1-4)можно сократить на срок не
более трех недель.
Если принять максимальное значение (3 недели), то на данном
этапе появится другой критический путь L2, что недопустимо. Поэтому
целесообразно сократить пути L5 и L6 на две недели. В результате длины путей
35
составят: t(L2)= t(L5)= t(L6)=18, t(L1)= t(L3)= t(L4)=17, а стоимость выполнения
проекта увеличится на 2  18,75= 37,50 д.е.
4 этап.
Теперь мы имеем три критических пути L2, L5 и L6. Чтобы сократить
одновременно все эти пути, нужно уменьшить продолжительность работ,
лежащих на этих путях. Таких, "общих" для всех путей, работ нет.
В таком случае необходимо использовать разные работы, но при
условии,
что продолжительность путей L2, L5 и L6 будет сокращаться на
одинаковую величину и при этом не появиться больший по продолжительности
другой путь. Для путей L5 и L6 общими, еще не сокращенными являются hy
min (i-j)=min  hy (1-4); hy (4-6)= min 18,75; 26,67=18,75, т.е. hy min (i-j)= hy
(1-4).
Продолжительность
работы
(1-4)
можно
сократить,
учитывая
оптимизацию предыдущего этапа, на одну неделю.
Чтобы уменьшить продолжительность пути L2 на эту же величину,
нужно из всех неускоренных (т.е. не рассматриваемых ранее) работ этого
пути выбрать ту, которая не содержится в путях L5 и L6 и имеет наименьшие
удельные дополнительные затраты. Это работа (1-2) ,и абсолютное изменение
продолжительности при ее ускорении равно одной неделе.
В результате параллельного сокращения продолжительности работ (1-4)
и (1-2) на одну неделю новые длины путей составят t(L2)= t(L5)= t(L6)=17, t(L1)=
t(L3)= t(L4)=16. При этом стоимость проекта увеличится на 18,75 + 16,67= 35,42
д.е.
5 этап.
Для сокращения продолжительности трех критических путей L2, L5 и L6
используем работы (4-6) и (3-5), продолжительность которых можно
уменьшить не более чем на две недели. В качестве ty примем одну неделю,
поскольку
в
данном
случае
необходимо
избежать
появления
более
продолжительных путей L1, L3 и L4. В результате длины путей составят t(L1)=
36
t(L2)= t(L5)= t(L6)=16, t(L3)= t(L4)=15, а стоимость выполнения проекта
увеличится на 26,67+50,00 = 76,67 д.е.
6 этап.
Из работ критического пути L6
работа (4-6). Резерв времени на
полностью не ускоренной является
ускорение
с учетом оптимизации
предыдущего этапа, равен одной неделе. Но поскольку на данном этапе мы
имеем еще три критических пути L1, L2 и L5, то необходимо сокращать и их
продолжительность на одну неделю посредством работ (2-5), (3-5) и (4-6)
соответственно.
Новые длины путей равны t(L1)= t(L2)= t(L5)= t(L6)=15, t(L3)= t(L4)=14.
Стоимость проекта увеличится на 26,67+50,00+20,00=96,67 д.е.
Поскольку все работы одного из критических путей L6 полностью
переведены на ускоренный режим, процесс оптимизации закончен, т. к.
ускорение каких либо других работ не только не уменьшит время
выполнения проекта, но и повлечет за собой увеличение стоимости
проекта.
В результате оптимизации срок выполнения проекта снизился с 23
до 15 недель. При этом дополнительны затраты составили 275,42 д.е.
Пример 7.
Определим минимально возможную стоимость проекта при сроке его
выполнения установленного ранним сроком наступления завершающего
события. Срок выполнения проекта в размере 23 недель обеспечивается
соблюдением нормальных режимов выполнения критических операций.
В то же время нет никакой необходимости использовать нормальную
продолжительность некоторых критических операций, т.е. целесообразнее
было бы перевести их на замкнутый режим, что позволит сэкономить на
стоимости проекта, при этом необходимо соблюдать условие неизменности
срока выполнения всего проекта.
37
Данные о возможном увеличении продолжительности некритических
операций, а такие рассчитанные удельные величины высвобождении средств
приведены в табл.9 .
1 этап.
Процесс ослабления целесообразно начинать с операции, дающей
наибольшее удельное высвобождение средств.
Т.е. h0max(i-j)=max h0(1-2); h0(2-3); h0(2-5); h0(3-5); h0(5-7); h0(7-8)=
max13,33; 50,00; 11,25; 21,43; 33,33; 7,50=50,00, т.е. h0max (i-j)= h0(2-3).
Выполнение операции (2-3) можно ослабить на 1 неделю. При этом экономия
средств, согласно формуле, составит 50,00 д.е.
Поскольку
через
эту
операцию
проходит
три
пути,
то
продолжительность их увеличится и составит (не превышая критического
срока) t(L2)=20, t(L3)=19, t(L4)=21.
Таблица 9 Ослабление работ сетевого графика
Операция
Нормальная
продолжитель
ность
выполнения
операции, t,
нед.
Абсолютное
изменение
продолжите
льности при
ослаблении,
t0, нед.
1-2
3
2
5
2
2-3
2
1
3
6
2-5
5
3
8
3
3-5
4
3
7
4
5-7
2
1
3
5
7-8
4
1
5
3
Ослабление Необходи
продолжите
мое
льности
количеств
выполнения
о
операции, t0, работнико
нед.
в
Удельная
величина
высвобожд
ения
средств,
д.е./нед.
13,33
50,00
+
11,25
+
21,43

33,33
+
7,50
-
38
Процесс оптимизации производится поэтапно в табличной форме
(табл.10).
Таблица 10 Ослабление операций
Ослабление операций
Полные пути
2-3
5-7
3-5
2-5
t0 =1
t0 =1
t0 =2
t0 =3
18
18+1
18
18+3
21
L2: 0-1-2-3-5-7-8
19+1
20+1
21+2
23
23
L3: 0-1-2-3-4-6-7-8
18+1
19
19
19
19
L4: 0-1-2-3-4-6-8
20+1
21
21
21
21
L5: 0-1-4-6-7-8
21
21
21
21
21
L6: 0-1-4-6-8
23
23
23
23
23
50,00
33,33
42,86
33,75
159,94
L1: 0-1-2-5-7-8
Итого
Высвобождение
средств, д.е. t0(i-j) 
h0(i-j)
2 этап.
После операции (2-3) наибольшее удельное высвобождение средств дает
операция (5-7) - 33,33 д.е. При ослабленном режиме ее выполнения
продолжительность путей L1и L2 увеличится на 1 неделю, причем время
выполнения проекта в целом остается неизменном.
3 этап.
На данном этапе максимальное удельное высвобождение средств дает
перевод на ослабленный режим выполнения операции (3-5). При этом
максимальное изменение продолжительности операции (3-5) (3 недели)
использовать не получается, поскольку в данном случае это повлечет
увеличение критического срока.
39
Поэтому в качестве t0 принимаем 2 недели. Новые длины путей равны
t(L2)=t(L6)=23,
t(L4)=t(L5)=21,
t(L3)=19,
t(L1)=18.
Экономия
средств
от
ослабления операции (3-5) составит: 2  21,43= 42,86 д.е.
4 этап.
Непереведенными на ослабленный режим остались операции (1-2), (2-5)
и (7-8). Но операции (1-2) и (7-8) ослаблять не рекомендуется, т.к. это повлияет
на изменение срока выполнения проекта. Перевод на ослабленный режим
операции (2-5) увеличит продолжительность пути L1 до 21. При этом экономия
средств составит 3  11,25= 33,75 д.е.
В результате произведенной оптимизации удалось снизить стоимость
проекта на 159,94 д.е.
Задания для практических занятий.
Построить график (вершинный и сетевой) на основе следующей
информации (см. табл. 11).
40
Таблица 11 Задания для практических занятий
Работы
график
а
А
Б
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
В
-
А
-
-
-
А
-
-
-
Б
Г
-
А
А
А
-
А
А
В
А
А, В
Д
-
Б
А
А
А
Б
А
В
А
А, В
Е
А
Б
Б, Д
Б, Д
А
В, Г, Д
Б
А
Б
Б
Ж
Б
Г
Г, Е
Б, Д
Б, Е
В, Г, Д
Б
Е
В
Е
З
В
Г
Г, Е
Б, Д
Б, Е
Г, Д
В, Ж
Д, Ж
В
Г
И
В
Г
Б, Д
В
В
Г, Д
В, Ж
А
Г
Г, Д, Ж
К
Г
Д, И
Б, Д
Г, Е
Г
Б
В, Ж
Е
Г
Г, Д, Ж
Л
Д
В, Ж
Б, Д
Г, Е
К
Е, Ж, З
Д
З
М
Г, Л
В, З
В, Л
Ж, Л
Д, Ж
Ж, З
Е
З
В, З
В, Л
Г, М
В, З
И
Л, Ж
Н
О
Предшествующие работы по вариантам
ИИ,
К
Е,
Ж, З
В, Д,
Ж, З
В, Д,
Ж, З
Г
Д, Ж
Д, Е,
Б, Г, З
З
Ж, З
И
Б, Г, З
Е
Л
Г, Д, К
И
М
Ж
И, Л
И
З
И, Л
И
И
О
К, П
К, Л,
М
К, О
К, П
Н, О
К, О
П
И, К
Е, К, О
К, М,
О
Л, Ж
Г, И
Р
И, К
Е, К, О
Т, П
И, З
Г, И
С
М,
Н
Е
З, И
К, Н
Г, И
Т
Р, С
Л, М
И
Г, М
М
У
Е, П
Н
О
К, М,
О
К, М,
О
О
Ф
Л, Н, П,
Р, С
Л, Н, П,
Р, С
П,
О, П
М
Р
Л, М,
Н
Н, О,
П
Н, О,
П
Х
Ф
Р, С
Н, П
О, С, Т
Р
Л, Ф
О, П,
С
О
Т, У
Ц
У
Т, У
Р, С,
Т, У
У
Л, С
Т, У,
Ф, Х
Ч
Т
Ф, Х
Ф, Х
О, Ф
Т, У
Т, Ц
Ф, Х
Ц
Ш
Ч
Ч
Ч
Ч
Х, Ц
Ц
Ф
Ч
Л, К,
М, Р
Н, О,
С
Т, У
Г, Д, К И, К
И, Н,
И, К
О
И, Н, Л, М,
О, П
Н
И, Н, Л, М
О, П
Н
О, П,
М
С
Р, С, У Т, У
Р, С
С
М, Н
П,Р
Т, У
Ф, Х, Ц
Ч
41
Продолжение табл. 11
Предшествующие работы по вариантам
Работы
график
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
А
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Б
-
-
-
-
А
-
А
-
-
-
В
А
-
-
-
А
-
А
-
А
А
Г
А
А
-
А
Б
А
А
А
Б
Д
Б
Б
А
А
Б
А
Б
Б
Б
Е
Г, Д
Б
А
Б
Б
Б
Б
Б
Г
Ж
Г, Д
Б
Б
Б
В, Г
Б
В
В
Г
З
В, Е
Б, В
В
В
Ж
В
В
А
А, Б,
В
А, Б,
В
А, Б,
В
В
Г, Д
Е
И
В, Е
Б, В
Г
Г
Д
Г
Г
Ж, З
Г, Д
Ж
К
Ж
В, Е,
К
В, Е,
К
Г, Д
Г
Д, Е
Е, З
Д, Е
Г
Г, Д
Г, Д
Ж
Е
Д
В, Ж
Е, З
Ж, З
Д
Е
Е, К
З, И
Ж, З
Д
В, Ж
Л
Ж, З
Е, Ж
Е
Е, К
В
Е, Б
З
Ж
М
З, И
Е, К
В
З
Л, Н
Л, Н
Е, Л
Ж, З
З, И
И, К, Л
К, Л
М
З, М
И, О
Ж, И, Л
М, Л
И, К,
О
К, Н
М, Н
М
О, П
Л
М
Н
И, Л
Ж, З
О
В, Е,
К
И
П
И, Л
И
Р
З, М
Н
К
С
П, Р
Г, Л,
М
Т
ПП,
Р
Н, О
М, Н,
О
М, Н,
О
У
О
П
Ф
О
Р, С
Х
Н
Р, С
Ц
Р, Х
Т, Х
Ч
С
Ш
Т, У
Ж, З,
И, К
Ж, З,
И, К
И, К, Л М, Н
А, Б,
В
А, Б,
В
М, Н
И, П
Л, Н
О, П,
Р
Г, Л
М
К
О
О
Р
О, П
Г, Л
М
Д
П
Р, С,
Т
О, П
К
Н
Т
Р, С
Т
И, К,
П, С
И, К,
П, С
С, Т
Т, У
О, П, Р
Д
Р, С
С
Т, У
С, Т
М, Н
О, П, Р
Ф
П, Р, Ф,
Т,У
У, Ф
Ф, Х
Т, У
У
С, Х
,С
Х
У
Х
М, Н,
Х, Т
У, Ц
Х
Х, Ц
П,
Т, У
П, Р,
С, У,
Ц
Ч
Х
Ч
У, Ц
Ф, Х
Ч
Ф
Ц
Ч
Л, С
М, Н,
О
П, Р,
Ф
42
Окончание табл. 11
Предшествующие работы по вариантам
Работы
графика
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
А
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Б
-
-
-
-
-
-
А
-
-
-
В
А
А
-
-
-
-
А
А
-
-
Г
Б
А
-
А
А
А
Б
А
А
Б
Д
Б
Б
Г
Б
А
Б
А
А
Б
Г
Е
Б, В
Б
А
Б
Б, Д
В
В
А
В
А, Д
Ж
Б, В
Б
А
В, Е
Г, Е
Г
А
Е
В
А, Д
З
Б, В
Б
Б, Ж
В, Е
Г, Е
Г
Г, Д
Ж
Г
Б
И
Д
В
Б, Ж
Г
Б, Д
Д
Е
З
В
К
Г, И, З
В
В
Д
Б, Д
Д, Е
Г, Д
Б
Л
Д
В
Д
Б, Д
Ж
К,
Г, Е
И, К
Г
А, В,
Д
А, В,
Д
М
Г, И, З
В, Д
Ж
В, Л
Ж
З
Д
Е, Л
Ж
Н
Г, И, З
Л, М
Ж
В, Л
З, И,
М
З
В
Ж
Е
О
Е, Ж,
К
Е, Ж,
М
К, Н
З
И
З, И,
М
И,
Л,
М
В
З
Е
П
Ж, К
Ж
К, Н
И, К
О, К,
М
К
Ж
Г
З
З
Р
Ж, К
З
Е, З
Л, М
Ж
К
Н
Г
С
Ж, К
П, Р
И, П
Л, М
З, И
К
Н
Т
М
П, Р
Л, М
Н
И
Л
О,
П, Р
О,
П
О,
П
У
Л, Н
К, Л
Л, М
Ж, О
Т
С, Т
Т
Ф
О, П
К, Л
О, Т
Ж, О
Л, Н
У
Х
Р
Ц
С, М
Ч
Ш
Г, Д,
И
Г, Д,
И
Г, Д,
И
О, К,
М
О, К,
М
Н, О,
У
Н, О,
У
Р, С
П, Р
Н, П
О, П
Ф
У, Ф ,
Х
П, С,
Т, У
Ф, С,
Т, У
Р
Ф
Т, У
Ц, Т
Ц
Ф
Ф, Х
С
Х,
Ц
М,
С
У,
Ф
Л,
Ф
М,
Р, Ц
Ф
Ч
Ц
Ч
Ф, Х
Х, Ц,
Ч
Ч
Х, Ч
И, К,
М
И, К,
М
Е, Н,
Л, С
Е, Н,
Л, С
П, Р,
Т
В
Ж
З
И
К
О, Р,
С
Т, У
О
О, Н
П, Р,
Т
М
У, Ф
Л
Ч
Ф, Х,
Ц
43
Литература.
1. Глущенко В.В. Менеджмент. Системные основы. Железнодорожный:
"Крылья", 1998, с.224.
2. Задания и методические указания для практических занятий по
математическим
методам
планирования
и
управления.
Новосибирск,
НИИЖТ,1974, с.80.
3. Исследование операций в экономике. Под ред. Н.Ш.Кремера.М.:
"Юнити", 1997, с. 408.
4. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. М.: "Юнити",
1997, с.592.
5. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели
исследования операций: Учебник. М.: Издательско-торговая корпорация,
«Дашков и К», 2004.
6. Математические методы: учебник. 2 –е издание, испр. и доп.М.:ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007.- 464с.: ил.
7.
Исследование
операций
в
экономике./
под
ред.
Профессора
Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1997, 408с.
8. Методические указания к решению задач по курсу "Математическое
моделирование экономических
процессов на транспорте". – Новосибирск,
НИИЖТ, 1978.
9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании: Учеб. – М.: Дело, 2000. -688 с.
10.
Лопатников
Л.И.
Экономико-математический
словарь.
М.:
Издательство «АВF», 1996. -704 с.
44