ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ

Методика расчета светимости ион-ионного коллайдера с
электронным охлаждением
В.Н.Малахов, А.О.Сидорин
Черновик
1. Введение
Возможность использования электронного охлаждения для поддержания
светимости ион-ионных столкновений рассматривалась и рассматривается во
многих ускорительных проектах. В накопителе DSR (проект MUSES, RIKEN,
Япония) предполагалось осуществить как встречные, так и попутные
столкновения пучков радиоактивных изотопов. Требуемой светимости
предполагалось достичь за счет применения электронного охлаждения [1].
Система электронного охлаждения на энергии эксперимента является ключевой в
проекте увеличения светимости столкновений ионов золота на коллайдере RHIC
(BNL, США) [2]. В эксперименте по столкновениям радиоактивных ионов с
антипротонами в накопителе NESR (проект FAIR, GSI, Германия) независимые
системы электронного охлаждения планируется использовать и для антипротонов
и для ионов [3].
Основной задачей проекта NICA (ОИЯИ, Россия) является создание коллайдера,
обеспечивающего среднюю светимость не менее 1027 см-2с-1 в столкновениях ядер
урана с энергией 2.5 – 3 ГэВ/нукл [4].
Основным процессом, ограничивающим время жизни светимости в коллайдере
NICA, является внутрипучковое рассеяние. Ожидаемые времена роста эмиттансов
при проектной интенсивности могут составить от нескольких десятков до сотни
секунд, что может быть сравнимо со временем приготовления пучка к
эксперименту. Подавление внутрипучкового рассеяния, с помощью одного из
методов охлаждения – электронного или стохастического, позволит увеличить
продолжительность эксперимента на 1-2 порядка и существенно повысить
среднюю светимость. Кроме того, применение охлаждения необходимо, если
накопление ионов осуществляется непосредственно в кольцах коллайдера.
Существенной особенностью электронного охлаждения (в отличии от, например,
стохастического) является нелинейность силы трения, действующей на ионы в
секции охлаждения. Частицы, имеющие малые амплитуды бетатронных и
синхротронных колебаний, охлаждаются намного эффективнее, чем частицы из
«хвостов» функции распределения. Эта особенность ведет к формированию
плотного ядра сгустка при его охлаждении.
При моделировании электронного охлаждения на коллайдере RHIC было
показано, что функция распределения частиц может быть с хорошей точностью
аппроксимирована как суперпозиция двух Гуссовых распределений [5]. Для
расчета внутрипучкового рассеяния в таком случе был разработан алгоритм «ядро
– хвост» и реализован в рамках алгоритма Модельного Пучка в программе
Betacool [6]. При моделировании динамики методом Модельного Пучка,
реальный пучок ионов представляется массивом относительно небольшого
количества частиц (10 – 20 тысяч), для каждой из которых решается уравнение
Ланжевина. При этом трение приводит к регулярному изменению компонент
импульса модельной частицы, а диффузия приводит к случайному изменению и
моделируется при помощи генератора случайных чисел.
При расчете светимости в рамках такого алгоритма необходимо рассчитывать
светимость, приходящуюся на отдельный ион, а полная светимость столкновений
получается при суммировании светимостей отдельных ионов. Для расчета
светимости
в случае функции
распределения встречного сгустка,
аппроксимируемой как суперпозиция двух Гауссовых распределений, достаточно
разработать процедуру расчета светимости, приходящейся на ион при его
столкновении с Гауссовым сгустком. Полная светимость при этом равна сумме
светимостей при столкновении с каждым из Гауссовых сгустков по отдельности.
В данной работе описана методика расчета светимости, приходящейся на
отдельный ион, основанная на вычислении несобственного интеграла методом
Гаусса-Кристоффеля. На ее основе создана процедура на языке C++ и
использована в алгоритме Модельного Пучка в программе Betacool. На примере
моделирования электронного охлаждения в одном из вариантов коллайдера NICA
продемонстрированы возможности предложенного метода.
2
2. Методика расчета светимости
В данном разделе описывается методика рассчета светимости, приходящейся на
отдельный ион, при его взаимодействии со сгустком частиц, имеющим Гауссово
распределения по всем трем степеням свободы. Выберем декартову систему
координат, в которой сгусток как целое движется в отрицательном направлении
оси z со скорость u (Рис. 1), а проекция скорости иона на это направление равна v.
За начало отсчета времени выберем момент, когда центр сгустка располагается в
начале координат.
x
u
v
x
z
z
y
y
Рис. 1. Геометрия столкновения иона со встречным сгустком. Точка встречи
находится в начале координат.
Распределение
выражением:
частиц
 xt , y t , z t  
в
сгустке
по
координатам
задается
следующим
 x 2 t 
y 2 t 
z 2 t  
exp 


.
3
2  x t  y t  z t 
 2 x t  2 y t  2 z t 
N
(1)
Искомая светимость определяется по формуле

L    r ds,
S
где S – траектория иона относительно сгустка. Положение в пространстве сгустка

и иона в момент времени t зададим как Rt   xt , yt , zt  и
3
(2)
ri t   xi t , yi t , z i t  соответственно, а положение иона относительно сгустка



как r t   ri t   Rt  . Начальные координаты иона описываются радиус-вектором

и
в
процессе
движения
изменяются
как
ri 0  x0 , y0 , z 0  ,

/
/
/
/
ri t   x0  x0 z t , y 0  y 0 z t , z t , где z t   z 0  vt , а x 0 , y 0 – углы наклона
траектории иона по отношению к оси z в соответствующих плоскостях в
начальный момент времени (ион движется в промежутке свободном от полей).


Для сгустка R0  0 , Rt   0,0,ut. Исходя из этих выражений, получаем
формулу для положения в пространстве иона относительно сгустка в момент
времени t:


r t   xt , y t , z t   x0  x0/ z 0  vt , y 0  y 0/ z 0  vt , z 0  v  u t

(3)
Для среднеквадратичных размеров сгустка, входящих в формулу (1), справедливы
следующие выражения:

 x2 t    x2 01 

 u 2 t 2 
u 2 t 2 
2
2




,

t


0
1   2 ,  z t    z 0,
y
y
2 
 x 
 y 

(4)
где  x и  y – бетатронные функции накопителя в точке встречи. Поперечные
размеры сгустка изменяются в соответствии с изменением бетатронной функции
на участке дрейфа, а продольный размер остается постоянным. С учетом (1), (3 4) интеграл (2) перепишется в виде
L
2
v  u N

 x 0 y 0 z 0
3




2
2

z 0  v  u t 2 
x0  x  z 0  x  vt
y 0  y  z 0  y  vt
exp 



2
2
2 2
2

2 z2 0 
2 y2 01  u 2 t 2 /  y
 2 x 01  u t /  x
 dt.

2
2

1  u 2 t 2 /  x 1  u 2 t 2 /  y







Отметим, что данный несобственный интеграл требуется считать для каждого
иона в отдельности на каждом шаге интегрирования по времени, в связи с чем
представляется важным выбор метода расчета, обладающего максимальным
быстродействием. Наибольшим быстродействием обладает метод ГауссаКристоффеля, основанный на аппроксимации подынтегрального выражения
ортогональными полиномами (в случае несобственного интеграла с обоими
пределами равными бесконечности это полиномы Эрмита). Высокая точность при
применении данного метода для вычисления интеграла (5) связана с тем, что
4
(5)
заменой переменных  
z 0  u  v t
в числителе подынтегрального выражения в
2 z2 0
явном виде можно выделить весовую функция полиномов Эрмита. При
подстановке этого выражения (5) сводится к
 Ax2   Ay2  
exp 



 Bx   B y   
LC
exp   2 d ,
Bx  B y  



(6)
где
C
N
2   x 0  y 0 
3
,


Ax    x0  x0/ z 0  x 0/


v
2 z2 0   z 0 ,
uv
v
Ay    y 0  y 0/ z 0  y 0/
2 z2 0   z 0 ,
uv
2
2
u
2


B x    1 
2

0


z
,
z
0
u  v 2  x 2

B y    1 
u2
u  v 2  y 2
(7)

 2
2
z
0  z 0  .
2
В соответствии с методом Гаусса – Кристоффеля интеграл (6) может быть
вычислен как сумма следующего ряда
 Ax2   Ay2  
exp 


N
 B x   B y   
L   c k F x k , F    C
,
Bx  B y  
k 1
(8)
где xk – корни полинома Эрмита порядка N, ck – коэффициенты, рассчитываемые
по следующим формулам:

ci 
 h x  exp  x dx,
 x  x 
2
i

hi  x  
j
j 1.. N , j  i
 x
j 1.. N , j  i
5
i
 xj 
.
(9)
Зависимость точности вычисления интеграла (5) от порядка полинома
исследовалась с использованием программы MathCad. В результате было
установлено, что использование полинома Эрмита 8 порядка приводит к
относительной погрешности не выше 10-5 при всех разумных значениях
начальных координат иона z 0 , x0 , y 0 , x0/ , y 0/ (вплоть до 6 отклонений от
математического ожидания). Дальнейшее повышение порядка нецелесообразно.
Числовые значения коэффициентов ряда (8) и корней полинома Эрмита 8-го
порядка (обозначены символом w) приведены ниже:






c






4
1.996040609 10
2
1.707798308 10
0.207802326
0.661147013
0.661147013
0.207802326
2
1.707798308 10
4
1.996040609 10







 w

















2.9306374203 

1.9816567567 
1.1571937124 

0.3811869902 
0.3811869902 

1.1571937125 
1.9816567567 

2.9306374203 
Данный метод был реализован в виде процедуры на языке С++, и в следующих
параграфах приведены некоторые результаты его применения в рамках алгоритма
Модельного Пучка.
6
3. Эффект «песочных часов»
Моделирование динамики частиц осуществлялось для параметров коллайдера,
приведенных в техническом предложении от 2006 года (Таблица 1) [4]. За
прошедшее время технические параметры колец коллайдера уточнялись.
Например, периметр был существенно уменьшен, изменились значения
бетатронных чисел и критической энергии. Была увеличена и энергия
сталкивающихся сгустков. Однако, работа по оптимизации параметров сгустка
частиц, таких как эмиттанс, количество ионов в сгустке, разброс по импульсу,
номера гармоники и амплитуды ВЧ напряжения в настоящее время еще не
закончена. Поэтому, общепринятые значения этих параметров отсутствуют.
Расчеты, представленные в данной работе, призваны, в первую очередь,
продемонстрировать возможности предложенного численного алгоритма и
проиллюстрировать те физические эффекты, которые возникают при
использовании электронного охлаждения, для исследования которых он
разрабатывался.
Таблица 1. Параметры коллайдера NICA, используемые при моделировании.
Энергия ионов
ГэВ/нукл
2.5
Периметр кольца
м
183
Бетатронные числа x/y
6.8/6.85
Фактор Лоренца, соответствующий
~4
критической энергии tr
Среднеквадратичный эмиттанс пучка
0.7
 мм мрад
Среднеквадратичный относительный
0.001
разброс по импульсу
Количество ионов в каждом из колец
51010
коллайдера
Номер гармоники ВЧ
20
Количество ионов в сгустке
2.5109
Частота ВЧ
МГц
31.53
Амплитуда ВЧ напряжения
кВ
200
Среднеквадратичная длина сгустка
см
33
Бетатронная функция в точке встречи
м
0.5
Пиковая светимость
см-2с-1
51027
Прежде всего, хотя данная методика и ориентирована на расчет светимости для
функции распределения, возникающей при электронном охлаждении, формула (5)
записана без упрощающих предположений, и она может быть использована для
расчета светимости в случае столкновения пучков с Гауссовым распределением
плотности. Обычно, при оптимизации параметров пучка и коллайдера, для
предварительной оценки светимости используют приближенные формулы. Так,
если оба сталкивающихся сгустка и оба кольца коллайдера имеют одинаковые
параметры, светимость может быть оценена по следующей формуле:
7
L
N2
1
.
h 4 x y Trev
(10)
Здесь (в отличие от формулы 1) N это полное число ионов в каждом из колец, h –
номер гармоники ВЧ поля (предполагается, что все сепаратриссы заполнены
одинаковыми сгустками), Trev – период обращения частиц в кольце. Если
вертикальный и горизонтальный эмиттансы сгустка равны, то формула может
быть переписана в следующем виде:
L
N2
1
,
h 4*Trev
(11)
где  это эмиттанс пучка.
Эта формула приблизительная, и главный эффект, который в ней не учтен это
изменение размеров сгустка в окрестности точки встречи (так называемый эффект
«песочных часов»). Изменением параметров сгустка можно пренебречь, если его
длина много меньше бетатронной функции в точке встречи  z   * . При
величине z сравнимой (или большей) с бетатронной функцией формула (11)
переоценивает значение светимости. Так, например, для параметров сгустка из
таблицы 1, светимость, рассчитанная в соответствии с (11), равна 4.471027 см-2с-1
(в таблице приведена округленное значение).
Расчет в соответствии с описанным алгоритмом автоматически учитывает эффект
«песочных часов» (см. формулы 5). На рисунке 3 приведена зависимость
отношения реальной светимости к ее оценке по формуле (11) рассчитанная по
предложенной методике для Гауссова пучка.
Светимость, отн.ед
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
120
рмс длина сгустка, см
Рис. 3. Зависимость светимости от среднеквадратичной длины сгустка.
Светимость приведена в единицах, нормированных на светимость при нулевой
протяженности сгустка (формула 11). Расчет для параметров NICA.
8
Как видно из рисунка, оценка (11) является практически точной до длины сгустка
примерно равной 10 см. Для длины сгустка 33 см (таблица 1) реальная светимость
оказывается уже примерно на 10% ниже.
При численном моделировании эволюции параметров сгустка при совместном
действии внутрипучкового рассеяния и охлаждения невозможно заранее
предсказать направление изменения того или иного параметра функции
распределения. Поэтому применение приближенных формул (типа формулы 11)
будет приводить к неконтролируемому изменению погрешности расчета. Это еще
раз подчеркивает важность предложенного алгоритма.
В заключении данного раздела хочется сказать несколько слов о критериях
выбора номера гармоники ВЧ напряжения в проекте NICA. В соответствии с
формулой (11) чем ниже номер гармоники, тем выше светимость. Уменьшая
номер гармоники можно достичь той же светимости при меньшем числе частиц в
коллайдере, при этом N ~ h .
Основным физическим эффектом, ограничивающим снизу выбор номера
гармоники, является эффект встречи. Суть его заключается в том, что когда
величина параметра столкновений , определяемого выражением

Z 2 N rp
,
A h 4
достигает некоторого порогового значения, начинается диффузионный процесс,
приводящий к быстрому росту эмиттанса пучка. Для ион-ионных коллайдеров
пороговое значение параметра встречи составляет примерно 0.005. При
параметрах сгустка, приведенных в таблице 1, величина параметра встречи равна
примерно 0.004, что близко к пороговому значению.
При наличии эффективного охлаждения пучка в процессе эксперимента можно
рассчитывать на существенное увеличения порога эффекта встречи (что имеет
место, например, в электрон позитронных коллайдерах, где работает
синхротронное охлаждение сталкивающихся пучков). Опыт эксплуатации ионоинных коллайдеров с охлаждением на настоящее время отсутствует, однако, в
большинстве проектов, предполагающих охлаждение, пороговое значение
параметра столкновений принимается равным 0.03 – 0.05. Соответственно, выбор
номера гармоники коллайдера NICA должен быть пересмотрен, если
предполагается использование охлаждения на энергии эксперимента.
Техническим ограничением номера гармоники является достижимая амплитуда
ВЧ напряжения. Если группировка пучка осуществляется без применения
охлаждения, то для получения короткого сгустка требуется ВЧ большой
9
(12)
амплитуды (см. таблицу 1), а сам процесс группировки приводит к возрастанию
разброса по импульсу в сгустке.
Применение охлаждения снимает и это ограничение. Короткий сгусток может
быть получен и при относительно небольшой амплитуде ВЧ, когда уменьшение
длины сгустка происходит за счет его охлаждения. При этом продольный
эмиттанс сгустка уменьшается, и группировка может быть проведена без
увеличения разброса по импульсу.
Таким образом, перед оценкой эффективности того или иного метода охлаждения
необходимо провести предварительную оптимизацию параметров коллайдера,
исходя из возможностей планируемого метода охлаждения.
Так, например, при параметрах таблицы 1, если перейти с 20-й гармоники на 5-ю,
полное число частиц можно уменьшить вдвое. Это, с одной стороны, существенно
упростит задачу разработки инжекционного комплекса, а, с другой стороны,
сделает более привлекательным применение стохастического охлаждения. При
числе частиц в кольце примерно 21010 система охлаждения с полосой 2 ГГц
(хорошо освоенный диапазон техники) будет способна обеспечить время
охлаждения 10 – 100 сек, что уже сравнимо с ожидаемыми темпами нагрева из-за
внутрипучкового рассеяния.
10
4. Пример расчета светимости при электронном охлаждении
В отсутствии охлаждения рост эмиттанса пучка определяется процессом
внутрипучкового рассеяния. Для варианта коллайдера, представленного в проекте
NICA, окончательного варианта оптической структуры колец разработано не
было. Поэтому, для иллюстрации возможностей предложенного метода в
расчетах, приведенных в данном разделе, использовалась структура синхротрона
COSY (Рис. 4), периметр которого совпадает с периметрами колец в проекте.
В одной из прямолинейных секций COSY (отметка 110 м на Рис. 1) имеется
участок с большой бетатронной функцией, предназначенный для размещения
секции электронного охлаждения. В противоположной прямолинейной секции (на
отметке примерно 20 м) имеется участок, где можно сформировать малую
бетатронную функцию (примерно до 1 м).
Рис. 4. Структурные функции
внутрипучкового рассеяния.
кольца,
использованные
при
расчетах
Структура COSY не оптимизировалась с целью получить минимальные темпы
внутрипучкового рассеяния, поэтому для параметров сгустка из таблицы 1,
характерное время роста эмиттанса в ней составляет примерно 7 с, а разброса по
импульсу – 70 с. Для оптимизированной структуры и параметров сгустка,
близким к термодинамическому равновесию, можно рассчитывать получить
характерные времена роста порядка 100 с или более.
В расчетах предполагалось наличие связи между поперечными степенями
свободы, вводимой для получения сгустка круглого сечения.
Зависимости от времени эмиттанса пучка, разброса по импульсу и светимости в
отсутствии охлаждения, приведены на Рис. 5. И рост эмиттанса, и рост разброса
11
по импульсу (из-за эффекта «песочных часов») приводят к уменьшению
светимости. В данном примере светимость падает более чем в три раза за 50 с.
Рис. 5. Временные зависимости эмиттанса (верхний график), разброса по
импульсу (средний) и светимости (нижний график) в отсутствии охлаждения.
Для подавления внутрипучкового рассеяния в расчетах использовалось
электронное охлаждение с параметрами секции, приведенными в Таблице 2.
12
Параметры близки к системе охлаждения, предложенной для COSY на энергии
эксперимента 2.7 ГэВ.
Таблица 2. Параметры системы электронного охлаждения
Длина секции охлаждения
м
5
Магнитное поле
кГс
5
Радиус электронного пучка
мм
5
Ток электронного пучка
мА
500
Температура электронов поперечная/продольня
мэВ
200/1
Бетатронные функции в секции охлаждения
м
13
Параметра секции охлаждения не оптимизировались, поэтому приводимые здесь
результаты имеют чисто иллюстративный характер. Сила трения в электронном
пучке вычислялась в соответствии с формулой, предложенной В.В.Пархомчуком,
которая дает несколько заниженную, но разумную оценку для эффективности
охлаждения.
Характерные времена электронного охлаждения составляют примерно 12 с для
поперечных степеней свободы, и примерно 20 с для продольной. Соответственно,
секция с такими параметрами не в состоянии стабилизировать рост поперечного
эмиттанса, а может лишь несколько уменьшить разброс по импульсу.
Расчет динамики среднеквадратичных параметров функции распределения
(моментов второго порядка) (Рис. 6) подтверждает эту оценку. Эмиттанс
монотонно растет со временем. Разброс по импульсу сначала несколько
уменьшается, но затем, из-за снижения эффективности продольного охлаждения
при росте эмиттанса, тоже начинает расти. Светимость монотонно падает, и
выигрыш по средней светимости, по сравнению с Рис. 5 составляет примерно 10 –
20%.
В рамках алгоритма расчета динамики моментов второго порядка предполагается,
что функция распределения ионов в любой момент времени имеет Гауссов вид,
поэтому исследовать влияние плотного ядра на величину светимости невозможно.
Алгоритм Модельного Пучка был разработан и успешно использован
В.В.Пархомчуком при проектировании системы электронного охлаждения
коллайдера RHIC, где ситуация аналогична: система электронного охлаждения не
в состоянии подавить рост среднеквадратичного эмиттанса, однако при этом
можно достичь увеличения светимости примерно на порядок. Главным
недостатком алгоритма Пархомчука было отсутствие учета реального вида
функции распределения на темпы внутрипучкового рассеяния. Кроме того,
светимость оценивалась по приближенной формуле, аналогичной (11).
13
Рис.6. Временные зависимости эмиттанса (верхний график), разброса по
импульсу (средний) и светимости (нижний график) с применением электронного
охлаждения. Расчет проведен в рамках динамики среднеквадратичных параметров
функции распределения.
Результаты расчетв, выполненных с использованием методики, описанной в
данной статье приведены на Рис. 7 и 8. Внутрипучковое рассеяние
моделировалось на основе метода «ядро – хвост» [5], светимость рассчитывалась
14
для сгустка, представляющего собой суперпозицию двух сгустков с Гауссовым
распределением каждый.
Рис. 7. Временные зависимости эмиттанса (верхний график) и светимости
(нижний график) с применением электронного охлаждения. Расчет проведен в
рамках алгоритма Модельного пучка.
Рост среднеквадратичного эмиттанса в рамках данной модели мало отличается от
предсказаний динамики моментов второго порядка. Однако величина светимости,
после незначительного начального снижения, в дальнейшем оказывается
практически постоянной и держится на уровне 31027 см-2с-1. Шум на зависимости
светимости от времени обусловлен шумом алгоритма оптимизации,
аппроксимирующего реальное распределение с помощью двух Гауссовых.
Стабилизация светимости объясняется формированием плотного и стабильного
ядра функции распределения (Рис. 8). В ядре содержится примерно 17 – 19%
частиц пучка, но именно они и определяют величину светимости. При этом
«хвосты» функции распределения медленно растут во времени, и они определяют
величину среднеквадратичного эмиттанса. В этих условиях время проведения
эксперимента может быть значительно дольше, чем без применения охлаждения,
и возможно достичь достаточно большого выигрыша в средней светимости.
15
Рис. 8. Поперечный (левый график) и продольный (правый график) профили
пучка после 50 с охлаждения. По горизонтальной оси отложены размеры пучка в
единицах
начальных
значений
соответствующих
среднеквадратичных
параметров. По вертикальной оси – относительная плотность части в условных
единицах.
Расчет проводился с 10000 модельных частиц при шаге интегрирования по
времени 0.2 с. Время счета в основном определялось временем расчета
внутрипучкового рассеяния. На персональном компьютере расчет одного
варианта динамики занимает примерно 1 час.
16
Заключение
Разработан эффективный алгоритм расчета светимости в рамках алгоритма
Модельного Пучка для случая, когда функция распределения частиц может быть
аппроксимирована как суперпозиция двух Гауссовых распределений.
Предложенные формулы не содержат дополнительных упрощающих
предположений и позволяют учитывать влияние на светимость конечной длины
сгустка.
На примере одного из вариантов параметров коллайдера NICA
продемонстрирована необходимость учета эффекта «песочных часов» при расчете
светимости, и необходимость учета реальной функции распределения частиц в
сгустке при проектировании системы электронного охлаждения.
Параметры секции охлаждения, используемые в расчетах, не оптимизировались,
однако полученные результаты показывают, что и в этом случае, применение
электронного охлаждения может дать существенный выигрыш в средней
светимости. Для моделирования внутрипучкового рассеяния использовалась
также не оптимизированная оптическая структура.
Для оптимизации параметров системы охлаждения необходимо предварительно
провести оптимизацию параметров ионного сгустка и параметров колец
коллайдера для последней его версии.
17
Литература
1. T.Katayama et al. MUSES Conceptual Design Report, RIKEN, May 1999.
2. W. MacKay, I. Ben-Zvi, J.M. Brennan, M. Harrison, J. Kewisch, S. Peggs, T. Roser,
D. Trbojevic, V. Parkhomchuk, UPGRADING RHIC FOR HIGHER LUMINOSITY,
Proceedings of the 2001 Particle Accelerator Conference, Chicago
3. M. Steck, K. Beckert, P. Beller, C. Dimopoulou, A. Dolinskii, F. Nolden, J. Yang
DESIGN OF THE NESR STORAGE RING FOR OPERATION WITH IONS AND
ANTIPROTONS, Proceedings of EPAC 2006, Edinburgh, Scotland, MOPCH080
4. Design and construction of Nuclotron-based Ion Collider fAcility (NICA) and Mixed
Phase Detector (MPD), NICA – project, Dubna, 2006
5. A.V. Fedotov, I. Ben-Zvi, Yu. Eidelman, V. N. Litvinenko, G. Parzen, А.Sidorin,
A.Smirnov, G. Trubnikov, IBS FOR ION DISTRIBUTION UNDER ELECTRON
COOLING, Proceedings of 2005 Particle Accelerator Conference, Knoxville, pp. 42634265
6.
I.N.Meshkov,
I.A.Seleznev,
A.O.Sidorin,
A.V.Smirnov,
E.V.Syresin,
G.V.Trubnikov, BETACOOL program for simulation of beam dynamics in storage
rings, NIM A 558 (2006), 325-328.
18