Обозначения. Механика

Обозначения физических величин и некоторые формулировки
МЕХАНИКА
r
r
Кинематический закон движения: r  r (t ) или
r
r
r
Вектор перемещения: r  r2  r1
 x  x(t )

 y  y (t )
 z  z (t )

dx

v

 х dt  x&

r
r dr r&
dy

 y&
 r или vy 
Скорость: v 
dt
dt

dz

v

 z&
z

dt

dS
2
2
2
Модуль скорости: v =
или v = vх  vy  vz
dt
t

Путь: S  vdt
0
r
r
r d v d 2r &
r
 2  r&
Ускорение: a 
dt dt
Кинематический закон движения в случае постоянного ускорения
( а =соnst):
r
r r r
at 2
r  r0  v0t 
.
2
Ускорение в случае плоской криволинейной траектории
r
r
r r v2 r d v
a  an n  aτ τ  n  τ .
ρ
dt
Аксиальный вектор углового перемещения d .
r
r d r&

Угловая скорость: ω 
dtr
r dω &
r
 &
Угловое ускорение: ε 
dt
r r
r
Связь между угловым и линейным перемещениями dr  [d , r ].
r r
r
Связь между угловой и линейной скоростями v = [ω, r ].
Связь между ускорениями при движении материальной точки по
окружности:
r r
r r
r
r
r
a  an n  aτ τ  [ω, v]  [ε, r ];
aτ  εR
an  ω2 R,
где R – радиус окружности, по которой вращается материальная точка.
Частота вращения материальной точки по окружности – ;
Период вращения – Т, .
Сила – мера механического воздействия на данное материальное тело со
стороны других тел.
Поле – объективная реальность, посредством которого передается
взаимодействие.
Инерция – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и
прямолинейного движения.
Масса – мера инертности тела в поступательном движении.
r N r
Второй закон Ньютона: ma   Fi
или
i 1
r
N r
dp
  Fi , где
dt i 1
r
r
p  mv – импульс материальной точки.
r N r
Равнодействующая сил, приложенных к материальной точке: R   Fi .
i 1
r r
Второй закон Ньютона: p  R  t – изменение импульса материальной
точки равно импульсу равнодействующей.
Преобразования Галилея:
r r
r
r  v0t  r 

t  t 
r
r
r
Сложение скоростей: vабс  vотн  vпер
Физические величины не изменяющиеся при каком-либо преобразовании
называются инвариантными по отношению к этому преобразованию.
r
Сила инерции в поступательно ускоренно движущейся (a0  const) системе
отсчета:
r
r
Fи  ma0
Центробежная сила инерции во вращающейся системе отсчета:
r
r
Fц.б .  man n
Кориолисова сила инерции:
r r
 ].
Fк  2m[ω, vотн
r
Внутренние силы ( f ) – это силы с которыми тела, входящие в систему,
взаимодействуют друг с другом.
r
Внешние силы ( F ) – силы, с которыми тела не входящие в систему, действуют
на тела рассматриваемой системы.
Центр масс системы материальных точек:
N
r
 mi ri
r
rc 
i 1
M
N
, где M   mi
i 1
Импульс системы материальных точек:
N
r N
r
P   рi   mi vi .
i 1
i 1
Теорема об изменении импульса системы материальных точек:
r
dP N r
  Fi .
dt i 1
Система материальных тел называется замкнутой, если на тела системы не
действуют внешние силы.
r
r
В замкнутой системе выполняется закон сохранения импульса Pн  Рк или
 Рнх  Ркх

 Рну  Рку

 Рнz  Ркz
Условия применимости:
r
r
1. Внешние силы скомпенсированы, тогда Pн  Рк .
2. Система условно замкнута в некотором направлении:
Pнх  Ркх
3. Fi  f i
 Fx  0 , тогда
и t – мало, тогда Pн  Рк .

r
r
Механическая работа A  F  dr .
L
Потенциальные (консервативные) силы – такие силы, работа которых
зависит лишь от начальной и конечной точек траектории и не зависит от ее
вида. Работа потенциальной силы по замкнутой траектории всегда равна нулю.
Полем сил называется область пространства, в каждой точке которого
действуют рассматриваемые силы.
Критерий потенциальности поля: Циркуляция вектора силы F по любому
замкнутому контуру L равна нулю:
r r
Fdr
Ñ
  0.
L
Энергия (E,W) – общая количественная мера движения и взаимодействия всех
видов материи.
Общефизический закон сохранения энергии: Энергия никогда не создается и
не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую.
Теорема об изменении кинетической энергии для материальной точки:
Wк   A( Fвсех )
Изменение кинетической энергии материальной точки равно алгебраической
сумме работ всех сил к ней приложенных.
Кинетическая энергия системы материальных точек:
Wк
системы
Для системы материальных точек
N

i 1
mi vi 2
2
Wк   A  F   A  f 
системы
Для системы материальных точек, между которыми действуют потенциальные
r
силы ( f п ) можно ввести характеристику состояния системы, называемую
потенциальной энергией (Wп) по следующему правилу:
Wп   A( f пот ), или Wп1  Wп2  A( f п ) .
Если выбран нулевой уровень потенциальной энергии (Wп0 = 0), то
потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе
потенциальных сил взаимодействия при переходе системы из этого состояния в
положение условно принятое за нулевое.
Связь потенциальной силы с потенциальной энергией:
r
r
 W r Wп r Wп r 
F  Wп    п i 
j
k .
y
z 
 x
Механической энергией системы материальных тел называется
кинетическая энергия всех тел и потенциальная энергия их взаимодействия:
Wмех  Wк  Wп
Теорема об изменении механической энергии: Wмех  A( Fнепот )
Изменение механической энергии системы материальных тел равно работе
внутренних и внешних непотенциальных сил.
Закон сохранения механической энергии:
Если работа непотенциальных сил равна нулю, то механическая энергия
системы сохраняется:
Wмех = 0, или Wк + Wп = 0 или Wк1 + Wп1 =Wк2 + Wп2
Моментом инерции дискретной
относительно оси О называется
системы
J 0   mi ri
материальных
точек
2
Моментом инерции сплошного твердого тела относительно оси называется
J 0   r 2 dm
m
Момент силы относительно полюса (начала) 0 называется
r
r r
M 0 ( F )  [r , F ].
Момент силы относительно оси, проходящей через полюс 0 называется
r
r
проекция вектора M 0 на эту ось: M z  Пр z M
r
r r
r r
M z  Пр z M 0 ( F )  Пр z r , F    F  r sin(r , F )   F  h.
Моментом импульса материальной точки относительно полюса (начала 0
называется:
r
r r
r r
l0   r ; mv    r ; p .
Момент импульса системы материальных точек или твердого тела:
N r
r
L0   l0i ;
i 1
r
L0 

r
dl0
потелу
Момент импульса материальной точки относительно оси и момент импульса
твердого тела или системы материальных точек относительно оси, проходящей
через точку 0:
r
r r
lz  Пр z l0  Пр  r , Pр    р h
r
Lz  Пр z L0
Уравнение моментов для материальной точки:
r
dl0 N r
  M 0 ( Fi )
dt i 1
Скорость изменения момента импульса материальной точки относительно
неподвижного начала равна сумме моментов всех сил, действующих на точку
относительно того же начала.
Закон сохранения момента импульса для материальной точки:
r
r
Если  M 0 ( Fi )  0, то l0  const (траектории всех планет плоские)
N
i 1
Уравнение моментов для системы материальных точек или твердого
тела: Скорость изменения момента импульса системы материальных точек или
твердого тела относительно неподвижного начала равна сумме моментов всех
внешних сил относительно того же начала
r
dL0 N r
  M 0 ( Fi ).
dt
i 1
Закон сохранения момента импульса для системы материальных точек
или твердого тела: Если сумма моментов внешних сил относительно
некоторого неподвижного начала равна нулю, то момент импульса системы
r
материальных точек или твердого тела L0 относительно того же начала
остается постоянным.
Если твердое тело или система материальных точек вращается относительно
неподвижной оси, то момент импульса этого тела или системы материальных
точек относительно этой оси может быть представлен: Lz  J z  ω .
В этом случае уравнение моментов имеет вид:
N
d
  J (z) ω    M ( Fi ),
dt
i 1
где J(z) – момент инерции системы относительно оси вращения, вдоль которой
выбрана ось z.
Следствие 1. Если J(z) = const, то
N
J (z) ε   M z ( Fi ) – основное уравнение динамики вращательного движения
i 1
N
Следствие 2. Если
J (z)  ω  const
 M z ( Fi )  0 , то
i 1
Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной
оси 0:
J 0 ω2
Wк 
2
Работа силы, вращающей тело относительно неподвижной оси z:

A   M z d
0
Плоское движение – такое, при котором все точки тела перемещаются в
параллельных плоскостях. Плоское движение твердого тела можно представить
состоящим из двух движений: поступательного движения центра масс и
вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс
(ц.м.) и имеющей неизменное направление в пространстве.
r r
r r
v = vс  ω, r ,
r
r
где v – скорость произвольной точки твердого тела; vс – скорость центра масс
r
твердого тела; r – радиус-вектор произвольной точки твердого тела; ω –
угловая скорость вращения твердого тела относительно оси, проходящей через
центр масс.
Кинетическая энергия тела при плоском движении складывается из
кинетической энергии поступательного движения со скоростью равной
скорости ц.м. и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей
через центр масс
mv c2 J c ω2
Wк 

2
2
Движение твердого тела описывается двумя векторными уравнениями:
r
r

mac   F

r
 
r
dL0
  M 0 (F )
dt

или 6 уравнений в проекции на оси координат.