! 7 35 4

Игра «Домино». 9-11 класс. Решения. 10.02.2015.
0–0. Оклейте без наложения поверхность куба прямоугольником так,
чтобы он закрыл ровно половину каждой грани. Пример
покажите на развёртке куба.
0–1. Найдите наибольшее натуральное число из 10 различных цифр
такое, что у любой пары соседних цифр НОД (наибольший общий
делитель) равен 1. (9876543210)
0–2. Известно, что 5x2=3y3. Число y увеличили в три раза. Во сколько
раз увеличилось число x, если равенство сохранилось? (в
27  3 3 раз)
0–3. Сколько существует треугольников с вершинами в семи точках, никакие три из
7!
3
 35 треугольников)
которых не лежат на одной прямой? ( C7 
3!4!
0–4. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга королей можно расставить на
шахматной доске 99? Приведите ответ и пример. (25 королей, через одну клетку,
по обоим направлениям, начиная с угла. Заметим, что на доске 99 количество
королей не больше, чем на большей по размеру доске – 1010. А доску 1010
можно разбить на 25 квадратов 22, в каждом из которых не более 1 короля.
Значит, и всего королей не более 25.)
0–5. Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b.
a2
Вычислите радиус его описанной окружности. ( R 
. Пусть O – центр
4a 2  b 2
описанной окружности равнобедренного треугольника ABC, B1 – середина
основания AC, A1 – середина боковой стороны BC. Так как BOA1 подобен
a2
BCB1, то BO:BA1=BC:BB1, а значит, R  BO 
.)
4a 2  b 2
0–6.
Упростите
числовое
3 5  3 5 .
выражение
5  2 5 1
5  2 5 1
5 1
5 1 2 5
( 10. 3  5  3  5 




 10 )
2
2
2
2
2
1–1. Решите неравенство: x²>|x|. ((-;-1)(1;+))
1–2. Найдите наименьшее значение суммы x  x  1  x  2  x  3  x  4 . (6. Это
выражение равно сумме расстояний на числовой прямой от точки х до точек 0,
-1, -2, -3, -4. При х=-2 эта сумма равна 6, а при удалении от точки (–2) эта сумма
будет увеличиваться.)
1–3. В начале каждого летнего месяца цена товара увеличивалась. В августе цена была
на 7% больше, чем в июне. Средняя цена товара за три летних месяца оказалась на 4%
больше цены в июне. На сколько процентов была повышена цена в июле? (На 5%.
Пусть х – цена товара в июне, у – цена в июле. Тогда из условий задачи имеем:
x  y  1,07 x
 1,04 x . Отсюда у=1,05х.)
3
1–4. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором сумма
любых трёх подряд идущих цифр делится на 8. (98710. Должна быть цикличность
остатков по модулю 8, т.е. цифры, стоящие через две, должны быть сравнимы
по модулю 8, а у нас всего две таких пары (0, 8) и (1, 9), значит, в нашем числе
не более 2∙2+1=5 цифр. Эти соображения дадут нам число 98710.)
1–5. В треугольнике АВС (АВ=1, ВС=3)
медиана АМ пересекает биссектрису ВЕ в
точке Р. Найдите отношение АР:РМ?
(2:3.
Если
рассмотреть
систему
материальных точек 3А, 1В, 1С, то
точка Р окажется её барицентром, т.к.
ВМ:СМ=1:1,
а
АЕ:ЕС=АВ:ВС=1:3.
Тогда из теоремы о группировки масс и правила рычага следует, что
АР:РМ=2:3.)
1–6. Найдите целую часть числа A  6  6  6  ...  6
(2012 радикалов). (2.
Заметим, что A  B  6  6  6  ...  9  3 и A> 6 >2, т.е. 2<A<3, значит,
целая часть А равна двум.)
2–2. Сколько существует трёхзначных чисел, в которых все цифры – чётные? (100=4∙5∙5
– первая цифра выбирается четырьмя способами (2, 4, 6, 8), вторая и третья –
пятью (0, 2, 4, 6, 8))
2–3. Сколько цифр содержит десятичная запись числа (0,5)2012? (2013, т.к. фактически
изначально мы имеем 0,5=1/2, а при нахождении каждой следующей степени мы
делим имеющееся число на 2 и получаем число, имеющее на одну цифру
больше и снова оканчивающееся на 5.)
2–4. Найдите наибольшую степень двойки, на которую делится 100!=123…100.
100  100  100  100  100  100  100 
 2  3  4  5  6  7  ...  50  25  12  6  3  1  0 )
( 97  
 2   2   2   2   2   2   2 
2–5. Найдите наибольшее возможное значение
отношения суммы длин биссектрис треугольника к
сумме длин его медиан. (1. Каждая биссектриса
расположена между высотой и медианой
треугольника, что легко доказывается с
использованием описанной окружности. Тогда
сумма длин биссектрис не превосходит суммы
длин медиан, при этом в случае равностороннего
треугольника эти суммы равны.)
2–6. Дана последовательность, состоящая из 26 первых
натуральных чисел, записанных в некотором
порядке. Известно, что какие бы 15 членов последовательности ни взять,
наименьший из них имеет наименьший номер, а наибольший из них – наибольший
номер. Приведите пример, когда последовательность
не будет монотонно
возрастающей. (Рассмотрим последовательность из 26 первых натуральных
чисел: 1, 2,…, 26 и поменяем местами 13 и 14. Тогда среди любых 15 членов этой
последовательности ни наименьшим, ни наибольшим не может быть ни 13, ни
14. Таким образом, для этой немонотонной
последовательности
условие
задачи
выполняется.)
3–3. Пусть (x0;y0)  решение системы уравнений

 y  16  x 2  0,

Какие значения может

 y 1  x  5.
принимать разность y0x0? (4, т.к. из графиков сразу видно единственное
решение системы  это точка (4; 0))
3–4. У кубического многочлена три корня расположены симметрично относительно 1, а
их произведение равно (1). Найдите наибольший корень. ( 2  1 . В силу
симметрии эти корни равны 1, 1, 1+ (где 0), тогда (1)1(1+)= 1,
откуда   2 .)
3–5. Диагональ BD делит выпуклый пятиугольник ABCDE на ромб ABDE и
равносторонний треугольник BCD. Какие значения
может принимать угол ACE? (30. Т.к. ABCD –
ромб, а BCD – равносторонний треугольник, то
AB=BC=CD=DE=AE=BD. Отсюда треугольник
ABC – равнобедренный, BAC=BCA=α. Тогда
ABC=1802α.
Но
CBD=60,
отсюда
ABD=1202α. Т.к. AB параллельно DE, то
BDE=60+2α.
Тогда
CDE=120+2α.
Но
треугольник
CDE
равнобедренный,
DCE=DEC=(180CDE)/2=30α.
Значит,
ACE=BDCBCADCE= 60α(30α)=30.)
3–6. Найдите все натуральные n3, обладающие
следующим свойством: при любом разбиении числа
n на три натуральных слагаемых сумма сумм цифр
этих слагаемых равна одну и тому же числу. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 – каждое из
разбиений этих чисел состоит из однозначных чисел, значит, соответствующая
сумма сумм цифр равна самой сумме слагаемых, т.е. постоянна. Для n12
выделим два разных разбиения (n-11)+10+1=(n-11)+9+2, в которых суммы сумм
цифр различаются на 9.)
4–4. Рассматриваются квадратичные функции y=x2+px+q, для которых p+q=2012.
Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций. ((1;2013), т.к.
это точка при x=1, когда y(1)=12+p∙1+q=1+p+q=1+2012=2013)
4–5.
Стороны
АВ
и
DC
правильного
шестиугольника ABCDЕF со стороной, равной 1,
продолжены за точки В и С до пересечения в
точке К. Найдите длину отрезка ЕK. ( 7 .
Соединим точки B и D (см.рис.). Треугольник
BDK – прямоугольный, причём ВК=1, DK=2.
По теореме Пифагора BD  DK 2  BK 2  3 .
Треугольник ELK – тоже прямоугольный,
причём EL=2DE=2, KL=BD= 3 . Поэтому,
EK  EL2  KL2  4  3  7 .)
4–6. Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые
делят координатную плоскость на углы в 1°. Найдите сумму абсцисс всех точек
пересечения этих прямых с прямой y=100–x. (8950. Картинка симметрична
относительно прямой y=x, поэтому сумма абсцисс равна сумме ординат. Через
начало координат проведено 180 прямых, прямая y=100–x пересекает 179 из
них. Для каждой точки на прямой y=100–x сумма координат равна 100, значит,
общая сумма абсцисс и ординат равна 17900, а сумма абсцисс – вдвое меньше.)
5–5. Найдите наибольшее значение функции: y=asinx + bcosx. ( a  b .
Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца и получим, что
2
2
y  a sin x  b cos x  a sin x  b cos x  a 2  b 2  sin 2 x  cos 2 x  a 2  b 2 . Тогда
максимум достигается в случае b0 при условии
a sin x

 tg x
b cos x
и в случае b=0
при sinx=sign(a)=1 в зависимости от знака a0.)
5–6.
Найдите
две
последние
цифры
числа,
равного
(2012!2012)+(2011!2011)+...+(2!2)+(1!1). (Напомним, что n!=123…n.) (35.
Заметим, что факториалы всех чисел, больших 10, оканчиваются на не менее
чем два нуля, значит, они не влияют на две последних цифры. Тогда у нас на
последние две цифры влияют числа 9!, 8!,...,2!, 1! и число

(1  2012)  2012
 2025078 , т.е. если рассуждать по модулю 100, получим, что
2
последние
две
цифры
(78+1!+2!+3!+…+9!78+1+2+6+24+20+20+40+20+806535 (mod 100).)
6–6. Пусть Q – единичный куб. Назовём правильный
тетраэдр хорошим, если все его вершины лежат на
границе Q. Найдите все возможные объёмы хороших
тетраэдров. (0 < V 
1
.
3
Четыре попарно несмежные
вершины куба образуют тетраэдр с ребром
объёмом
равны
2
и
1
. Заметим, что расстояние между его
3
скрещивающимися рёбрами равно 1. Произведя
гомотетию относительно одной из его вершин с
соответствующим
коэффициентом,
мы
можем
получить хороший тетраэдр любого меньшего объема. Предположим, что
существует хороший тетраэдр Т с ребром длины, большей 2 . Рассмотрим
описанную вокруг куба Q сферу. Длины хорд, на которых расположены рёбра
тетраэдра Т, также больше 2 , поэтому они находится от центра сферы на
2
расстоянии, меньшем, чем
2
 3  2
1

 

 2   2   2 .

 

Таким образом, расстояние
между скрещивающимися рёбрами Т меньше 1. Противоречие. Замечание. На
самом деле объём любого (не обязательно правильного) тетраэдра, вершины
которого принадлежат Q, не превосходит
сложнее.)
1
. Но доказать это несколько
3