Элементы аналитической геометрии §1 Понятие уравнения

Элементы аналитической
геометрии
§1 Понятие уравнения линии.
Составление уравнения линии
Определение 1. Линия на плоскости –
множество
точек
плоскости,
координаты
которых
удовлетворяют
некоторому
уравнению, причем, координаты
точек не лежащих на линии этому
уравнению не удовлетворяют.
Определение 2. Произвольная точка М линии
называется
текущей
точкой
линии,
а
ее
координаты
текущими координатами.
Определение 3. Уравнение, связывающее
переменные х и у, называется
уравнением
линии,
если
ему
удовлетворяют координаты всех
точек, лежащих на линии, и не
удовлетворяют координаты точек,
не лежащих на линии.
Для
составления
уравнения
линии
необходимо:
1. выбрать произвольную (текущую) точку
М (х; у);
2. выписать все условия в виде равенства
отрезков, с выполнением которых эта
точка попадает на линию;
3. выразить все эти отрезки, входящие в
равенство, через данные задачи и
координаты текущей точки;
4. упростить выражение.
Пример: Составить уравнение окружности с
центром в точке С(3;4) и радиусом R=5.
Проверить, лежат ли на этой окружности
точки О(0;0), А(7;1), В(2;3).
у
М ( х ; у)
4
С
0
3
М (х; у)
1)СМ = R = 5
 х  3   у  4   5
2
2)СМ=
3)  х  3
2
2
  у  4   25
2
х
Аналогично можно составить уравнение
окружности с центром в точке С (а; b) и
радиусом R, тогда получим:
 х  а
2
 ( у  b)2  R 2 - нормальное
уравнение окружности
Если центр окружности находится в начале
координат, то a  b  0 и уравнение примет
вид:
х 2  у 2  R 2 - каноническое уравнение
окружности.
Прямая на плоскости
§2 Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
М (x ; y)

А

B
b
0
B1
Пусть прямая l имеет угловой коэффициент k
и отсекает на оси ОУ отрезок равный b.
Составим уравнение этой прямой.
МВ
tg  
АВ
; tg   k
МВ  В1М  ВВ1  у  b
АВ  ОВ1  х
у b
k
; kх  у  b
х
у  kх  b
(1) - уравнение прямой с
угловым коэффициентом,
где х, у – текущие координаты
k – угловой коэффициент
b – отрезок, отсекаемый прямой на оси ОУ.
§3 Уравнение прямой, проходящей
через данную точку в данном
направлении (уравнение пучка
прямых)
Пусть нам дана точка А( х0 ; у0 ) и угловой
коэффициент прямой k. Возьмем уравнение
прямой
с
угловым
коэффициентом
у  kх  b
(1)
. Так как точка
удовлетворяют
координаты
(2)
уравнению  y0  kx0  b
Вычтем из (1)-го уравнения (2)-е:
А  l , то ее
данному
у  kx  b

у0  kx0  b
у  у0  k ( х  х0 )
(2) - уравнение
пучка прямых.
§4 Уравнение прямой, проходящей
через две точки
Пусть даны точки А( х1 ; у1 ) и В ( х2 ; у2 ) . Для
вывода этого уравнения воспользуемся
уравнением пучка прямых. Так как точка
А  l , то ее координаты удовлетворяют
уравнению (2), т.е. пучок прямых проходит
через точку А( х1 ; у1 ) :
у  у1  k ( x  x1 )
(1)
Но точка В также  l  и ее координаты
удовлетворяют уравнению (1):
у2  у1  k ( х2  х1 )
(2)
Разделим почленно уравнение (1) на (2),
у  у1
k ( x  x1 )
получим: у  у  k ( х  х ) 
2
1
2
1
у  у1
x  x1

у2  у1 х2  х1
(3)
- уравнение
прямой, проходящей через две точки.
§5 Уравнение прямой в отрезках
на осях
у
x2
у2
В( 0 ; b )
b
х1
у1
А( а; 0 )
0
Воспользуемся
проходящей
а
х
уравнением
через
две
прямой,
точки
у  у1
х  х1

у2  у1 х2  х1 . Подставим в него вместо
( х1 ; у1 ) координаты точки А, а вместо ( х2 ; у2 )
координаты точки В.
у0 ха

;
Получим: b  0 0  а
у ха
у х
у х

;

1
 1 ,
b
а
b а
b а
х у
  1 (4)
- уравнение прямой в
а b
отрезках на осях,
где а и b – отрезки, отсекаемые прямой на
осях ОХ и ОУ.
§6 Общее уравнение прямой
Теорема. Всякое невырожденное уравнение
Ax  By  C  0
1-й
степени
( А2  В 2  0)
представляет
собой
уравнение некоторой прямой линии на
плоскости ХОУ, т.е.
Ах  Ву  С  0 (5) - общее уравнение
прямой.
§7 Угол между двумя прямыми.
Условия параллельности и
перпендикулярности прямых
у
2

1
1
2
х
0
Если у двух пересекающихся прямых
l1
и l2
известны угловые коэффициенты k1 и k 2 , то
можно найти угол между двумя прямыми:
tg 1  k1
; tg  2  k2
;    2  1
tg   tg( 2  1 ) , а по формуле
тангенса
разности
tg  2  tg 1
k2  k1
tg  

1  tg  2  tg 1 1  k1  k2 или
имеем:
k2  k1
tg  
1  k1  k2
.
Частные случаи:
1) Пусть l1 l2 , тогда угол между ними
равен нулю (  0) . Тогда:
k2  k1
tg   0 ;
0 
1  k1  k2
т.е.,
 k2  k 1  0 ; k1  k2
если угловые коэффициенты равны, то
прямые параллельны.
2) Пусть l1  l2 , тогда α = 90˚, а тангенс
90˚ - не существует
k2  k1
 не существует 
1  k1  k2
1
, т.е.
 1  k1  k2  0  k2  
k1
если угловые коэффициенты обратны по
величине и противоположны по знаку, то
прямые перпендикулярны.
§8 Расстояние от точки до
прямой
Под расстоянием от точки М 0 до прямой
l
понимают длину перпендикуляра М 0 N  d ,
опущенного из точки М на прямую
у

l.
M 0 ( x0 ; y0 )
d
N
0
М0 l
х
; l : Ах  Ву  С  0 ,
тогда
d
Ах0  Ву0  С
А2  В 2
(без вывода)
Чтобы найти расстояние от точки до
прямой, следует в общее уравнение прямой
подставить координаты точки М 0 , взять это
выражение по модулю и разделить на
квадратный корень из
А2  В2 .
§9 Координаты точки
пересечения линий
Для того чтобы найти точки пересечения
двух линий, достаточно совместно решить
систему двух уравнений этих линий.
Пример: Найти точки пересечения параболы
у  х 2 и прямой у  5 х  6
 у  х 2
х2  5х  6

2
у

5
х

6
х
 5х  6  0

х1  2 ; х2  3
у1  4 ; у2  9
 А(2; 4) ; В(3;9)
§10 Точка пересечения двух
прямых
Пусть:
l1 : А1 х  В1 у  С1  0
;
l2 : А2 х  В2 у  С2  0
Чтобы найти точку пересечения двух
прямых, нужно решить систему уравнений,
состоящую из уравнений этих прямых:
 А1 х  В1 у  С1  0



А х  В у  С  0
2
2
 2
 А1 х  В1 у  С1


 А х  В у  С
2
2
 2
1. Система имеет единственное решение, если
0

А1
В1
 А1В2  А2 В1  0 
А2 В2
 А1В2  А2 В1 
А1 В1

А2 В2
Таким образом, чтобы прямые пересекались в
одной точке, коэффициенты при неизвестных
их
общих
уравнений
должны
быть
непропорциональны.
2. Система
не
имеет
решений,
если
  0;  x  0
А1 В1

А2 В2
;
А1 В1 С1


А2 В2 С2
3. Система имеет множество решений, если
  x   y  0
А1 В1 С1


А2 В2 С2
§11 Нахождение координат любой
точки, принадлежащей данной
прямой
Чтобы
найти
координаты
точки,
принадлежащей данной прямой, следует одну
координату взять произвольно, подставить в
уравнение, а вторую координату найти из
уравнения.
Пример:
указать
координаты
точки,
принадлежащей прямой 2х+3y+4=0.
Решение: возьмем х=1.
Подставим в уравнение: 2*1+3y+4=0
Отсюда находим y: y=-2
Ответ: (1;-2) принадлежит прямой.
§12 Кривые второго порядка
Определение 1. Кривой второго порядка
называется
линия,
которая
аналитически
определяется
уравнением
2-й
степени
относительно х и у.
Ах 2  Вху  Су 2  Dх  Еу  F  0 , где
А, В, С, D, Е, F – действительные числа.
В зависимости от значения коэффициентов А,
В, С получаются различные виды кривых,
причем коэффициенты А, В, С не могут
одновременно равняться нулю.
К кривым второго порядка относятся:
1. окружность (см. §1)
2. эллипс
3. гипербола
4. парабола
§13 Эллипс
Определение 1. Множество
точек
плоскости,
сумма
расстояний
которых до двух данных точек,
называемых
фокусами,
есть
величина постоянная, равная 2а,
называется эллипсом.
х2 у 2
 2 1
2
- каноническое уравнение
а
b
эллипса,
где а – большая полуось;
b – малая полуось.
( х  х0 )2 ( у  у0 ) 2

1
2
2
а
b
-
нормальное
уравнение эллипса.
b M
F1
F2 a
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)
с – половина расстояния между фокусами;
Фокусное расстояние и полуоси эллипса
связаны соотношением:
a2 = b2 + c2.
Определение 2. Форма эллипса определяется
характеристикой, которая является
отношением фокусного расстояния к
большей
оси
и
называется
эксцентриситетом:
е = с/a.
Т.к. с < a, то е < 1.
§14 Гипербола
Определение 1. Множество
точек
плоскости, абсолютная величина
разности расстояний, которых до
двух данных точек, называемых
фокусами,
есть
величина
постоянная равная 2а, называется
гиперболой.
х2 у 2
 2 1
2
- каноническое уравнение
а
b
гиперболы,
где а – действительная полуось;
b - мнимая полуось.
( х  х0 )2 ( у  у0 )2

1
2
2
- нормальное
а
b
уравнение гиперболы,
b
у x
a - уравнение асимптот гиперболы.
M(x, y)
b
x
F1
a
F2
c
F1, F2 – фокусы гиперболы.
F1F2 = 2c.
с2 = а2+ b2
c
e  1
a
Определение 2. Отношение
называется
эксцентриситетом
гиперболы, где с – половина
расстояния между фокусами, а –
действительная полуось.
§15 Парабола
Определение 1. Множество
точек
плоскости,
равноудаленных
от
одной точки, называемой фокусом,
и одной прямой,
директрисой,
называемой
называется
параболой.
Расположим начало координат
между фокусом и директрисой.
посередине
у
А
М(х, у)
О
p/2
у 2  2 px
F
x
p/2
каноническое уравнение параболы.
 у  b 2  2 p( x  a)
уравнение параболы со
смещенной вершиной
(нормальное уравнение параболы)
Величина р (расстояние от фокуса до
директрисы) называется параметром параболы.
Уравнение директрисы: x = -p/2.
p
Фокус параболы F ( ;0)
2
Эксцентриситет параболы считается равным 1
§16 Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку
перпендикулярно данному вектору
z
N ( A; B; C )
М 0 ( х0 ; у0 ; z0 )
у

М ( х; у; z )
х
Пусть точка М ( х; у; z )  , тогда вектор
М 0 М  ( х  х0 ; у  у0 ; z  z0 ) .
Так как
N   , то N  M 0 M , тогда
N  M0M  0
- векторное
уравнение плоскости
или
А( х  х0 )  В( у  у0 )  С ( z  z0 )  0
уравнение
координатах
в
плоскости
§17 Общее уравнение плоскости
В уравнении
А( х  х0 )  В( у  у0 )  С ( z  z0 )  0
раскроем скобки и приведем подобные:
Ах  Ах0  Ву  Ву0  Сz  Cz0  0
Ax  By  Cz  ( Ax0  By0  Cz0 )  0
D
Ах  Ву  Сz  D  0
-
общее
уравнение плоскости,
где
А, В, С – координаты нормального
вектора;
х, у, z – координаты точки М.
Частные случаи:
1) А  0 ; В  0
; С0 ; D0
z
у
х
2) D = 0 – плоскость, проходит через начало
координат:
z
у
х
3) Если отсутствует одна из координат, то
плоскость параллельна соответствующей оси:
А0
В0
z
z
х
С 0
z
у
у
х
у
х
4) Если отсутствуют две координаты, то
плоскость
параллельна
соответствующей
координатной плоскости:
В0 ; С 0
А0 ; В0
z
z
z
у
х
А0 ; С 0
у
у
х
х
Для построения плоскости необходимо общее
уравнение, путем деления на свободный член D,
привести к уравнению плоскости в отрезках на
осях:
z
х у z
  1
а b c
у
х
§18 Взаимное расположение двух
плоскостей
1 ||  2
а)
N1
1 : А1 х  В1 у 
 С1 z  Д1  0
1
N1  ( А1; В1; С1 )
 2 : А2 х  В2 у 
 С2 z  Д  0
N2
N 2  ( А2 ; В2 ; С2 )
2
т.к. N1 || N 2 , то
А1 В1 С1
 
А2 В2 С2
1   2
б)
т.к. 1   2 , то N1  N 2  N1  N 2  0
А1  А2  В1  В2  С1  С2  0
N1
1
N2
2
в)
Если плоскости расположены под углом друг к другу, то находят
Cos ( N1 ;^ N 2 ) 
N1  N 2
N1  N 2
§19 Нахождение координат любой
точки, принадлежащей данной
плоскости
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей
плоскости,
две
координаты
выбирают
произвольно,
подставляют
в
уравнение
плоскости, а третью координату находят из
полученного равенства.
Пример: Найти координаты какой-нибудь точки,
принадлежащей плоскости 2x+y-z-3=0
Возьмем х=0, у=0 и подставим в уравнение
плоскости, получим –z-3=0, откуда z=-3.
Следовательно, искомая точка А (0;0;-3)
§20 Прямая в пространстве
R
3
Определение 1.
Прямая в системе ОХУZ
рассматривается
как
линия
пересечения двух плоскостей.
 1   2
1
2
 А1 х  В1 у  С1 z  Д1  0
:
 А2 х  В2 у  С2 z  Д 2  0
общее уравнение прямой в R 3
3
Прямая в R может быть задана с помощью
направляющего вектора.
Определение 2.
S  (m ; n ; p) ,
Вектор
параллельный
называется
вектором прямой.
l
прямой
направляющим
S  (m ; n ; p)

М0
М
Пусть точка М 0  l . Возьмем на этой прямой
М ( х ; у ; z) .
произвольную
точку
Тогда
M 0 M  ( x  x0 ; y  y0 ; z  z0 ) .
S l , то S М 0 М 
Так
как
их
координаты пропорциональны:
х  х0 y  y0 z  z0


(2) - канонические
m
n
p
уравнения прямой,
где m, n, p – любые действительные числа, в
том числе и ноль, т.к. запись символическая.
Но одновременно все три координаты m, n, p
нулю быть равными не могут.
§21 Угол между прямыми в
пространстве
Угол между прямыми  и угол между
направляющими векторами  этих прямых
связаны соотношением:  = 1 или  = 1800 1. Угол между направляющими векторами
находится из скалярного произведения.
Таким образом:
cos   
m1m2  n1n2  p1 p2
m12  n12  p12 m22  n22  p22 .
Условия параллельности и
перпендикулярности прямых в пространстве
Чтобы две прямые были параллельны
необходимо
и
достаточно,
чтобы
направляющие векторы этих прямых были
коллинеарны, т.е. их соответствующие
координаты были пропорциональны.
m1 n1
p

 1
m2 n 2 p 2
Чтобы
две
прямые
были
перпендикулярны необходимо и достаточно,
чтобы направляющие векторы этих прямых
были перпендикулярны, т.е. косинус угла
между ними равен нулю.
m1m2  n1n2  p1 p2  0